Gelöste Aufgaben/DGEB

Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe starten wir von "first principles" - hier das Prinzip der virtuellen Verrückungen - und entwicklen die Bewegungsgleichunge für einen schlanken Stab unter Langskräft und Biegemoment.

Lageplan.

Gesucht sind die Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts für den schlanken Stab mit Rechteck-Querschnitt unter Längs- und Querkraft, ausgehend von der Virtuellen Formänderungsenergie δΠ.

Wir finden so die bekannten Differentialbeziehungen für das Timoshenko / Euler-Bernoulli-Modell eines Balkens.

Lösung mit Maxima

Wie alle zentralen Begriffe der Elastizitätstheorie ineinandergreifen, um die virtuelle Formänderungsenergie für den Euler-Bernoulli-Balken zu ermitteln, zeigt diese Aufgabe.

Header

Hier kommen

• das Hook'sche Gesetz in seiner allgemeinen, 3D-Fassung,
• die allgemeinen Verschiebungs-Verzerrungs-Bedingungen,
• die klassischen Annahmen zur Theorie von Stäben zum Einsatz sowie
• die Gleichgewichtsbedingungen nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

zum Einsatz.

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/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2016-03-27                            */
/* ref: Euler-Bernoulli Beam                           */
/* description: derives the equations of motion for    */
/*              the Timoshenko and EBB beam            */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen das volle Instrumentarium der Elastizitätstheorie - angefangen bei einfachen Abkürzungen wie der Querschnittsfläche A bis zu den Flächenmomenten 2. Grades I_y und I_z:

$\begin{array}{ccc}{I}_y& =& \frac{b\cdot h^3}{12},\\ I_z& =& \frac{h\cdot b^3}{12},\\ A& =& b\cdot h\end{array}$

über Lame's Konstante

$\lambda =\frac{E\cdot \nu }{(1-2\cdot \nu )\cdot (\nu +1)},\mu =\frac{E}{2\cdot (\nu +1)}$,

und dem linearen Werkstoffgesetz (Spannungs-Dehnungs-Beziehung / Hook's Gesetz)

$\underset{\_}{\underset{\_}{E}}=\left(\begin{array}{cccccc}2\cdot \mu +\lambda & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & 2\cdot \mu +\lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda & 2\cdot \mu +\lambda & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mu \\ \end{array}\right)$.

Und schließlich wollen wir die Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung für einen materiellen Punkt P angeben. Grundlage ist die Verschiebung eines Punkte P=[x,y,z] und die gesuchten Koeffizienten u, v, w der Verschiebung in die drei Raumrichtungen

${\underset{\_}{r}}_P$,

Die Koeffizienten u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) des Ortsvektors r_P beschreiben dabei das Verscheibungsfeld des Balkens. Wir erhalten mit den allgemeinen Komponenten u, v und w des Verschiebungsfeldes

${\underset{\_}{r}}_P=\left(\begin{array}{l}u(x,y,z)\\ v(x,y,z)\\ w(x,y,z)\end{array}\right)$

die Verzerrungen allgemein zu

$\begin{array}{ll}{\epsilon }_{x,x}& =\frac{d}{dx}\cdot u(x,y,z)\\ {\epsilon }_{y,y}& =\frac{d}{dy}\cdot v(x,y,z)\\ {\epsilon }_{z,z}& =\frac{d}{dz}\cdot w(x,y,z)\\ {\epsilon }_{x,y}& =\frac{\frac{d}{dy}\cdot u(x,y,z)+\frac{d}{dx}\cdot v(x,y,z)}{2}\\ {\epsilon }_{x,z}& =\frac{\frac{d}{dz}\cdot u(x,y,z)+\frac{d}{dx}\cdot w(x,y,z)}{2}\\ {\epsilon }_{y,z}& =\frac{\frac{d}{dz}\cdot v(x,y,z)+\frac{d}{dy}\cdot w(x,y,z)}{2}\end{array}$.

Damit das "schöner" aussieht,, kürzen wir im Folgenden ab

$\frac{d}{dx}(.):=(.{)}_x,\frac{d}{dy}(.):=(.{)}_y,\frac{d}{dz}(.):=(.{)}_z,$

und erhalten als Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung

$\begin{array}{ll}{\epsilon }_{x,x}& =u_x\\ {\epsilon }_{y,y}& =v_y\\ {\epsilon }_{z,z}& =w_z\\ {\epsilon }_{x,y}& =\frac{1}{2}(u_y+v_x)\\ {\epsilon }_{x,z}& =\frac{1}{2}(u_z+w_x)\\ {\epsilon }_{y,z}& =\frac{1}{2}(v_z+w_y)\\ \end{array}$.

Für unser Problem suchen wir jetzt ein konkretes Verschiebungsfeld, das unseren Anforderungen an das Problem genügt.

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/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic); /* virtual work */
declare("δA", alphabetic); /* virtual work of implied external forces */
declare("δΠ", alphabetic); /* virtual strain energy */
declare("δu", alphabetic); /* variation of u */
declare("δw", alphabetic);
declare("δφ", alphabetic);
declare("δη", alphabetic);
declare("δθ", alphabetic);
declare("λ" , alphabetic); /* otherwise, this is the lambda fct. */
declare("μ" , alphabetic);
declare("Δr", alphabetic); /*displacement of material point [x,y,z] */
declare("δΔr",alphabetic); /* variation of Δr */
declare("δZ", alphabetic); /* variation of strain */

/*******************************************************/
/* parameters */
/* abbreviate: */
geometry  : [h^3 = 12*I[y]/b, b^3 = 12*I[z]/h, b = A/h];
/* Lame's Constants                                */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
lameConst : [λ = e*nu/((1+nu)*(1-2*nu)), μ = e/(2*(1+nu))];

/* relation: hook's law, modulus of elasticity     */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
E :  matrix([2*μ+λ,     λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ, 2*μ+λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ,     λ, 2*μ+λ,  0,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  μ,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  μ,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  0,  μ]);

/* Strain Displacement Relation */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
StrainDispl(arg) := [epsilon[x,x] =      diff(arg[1],x),
                     epsilon[y,y] =      diff(arg[2],y),
                     epsilon[z,z] =      diff(arg[3],z),
                     epsilon[x,y] = 1/2*(diff(arg[1],y) + diff(arg[2],x)),
                     epsilon[x,z] = 1/2*(diff(arg[1],z) + diff(arg[3],x)),
                     epsilon[y,z] = 1/2*(diff(arg[2],z) + diff(arg[3],y))];

Euler Rotation

Wir definieren später ein Modell, bei dem Querschnitte um eine Achse senkrecht zur Papierebene kippen kann. Das beschreiben wir mit der linearisierten Euler-Rotation:

$D_2\left({a}{r}{g}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -{a}{r}{g}\\ 0& 1& 0\\ {a}{r}{g}& 0& 1\end{array}\right)$,

die für arg << 1 gilt.

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/* kinematics: Euler-rotation about y-Axis */
D[2](arg) := [[  1   ,   0  ,-arg ],
              [  0   ,   1  ,  0  ],
              [+arg  ,   0  ,  1  ]];

Stress-Strain-Relations for a Rod

Die Komponenten des Spannungs- und Verzerrungs-Tensors fassen in den Matrizen

$\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{x,x}\\ {\sigma }_{y,y}\\ {\sigma }_{z,z}\\ {\sigma }_{y,z}\\ {\sigma }_{x,z}\\ {\sigma }_{x,y}\end{array}\right)$

und

$\underset{\_}{\epsilon }=\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{x,x}\\ {\epsilon }_{y,y}\\ {\epsilon }_{z,z}\\ {\epsilon }_{y,z}\\ {\epsilon }_{x,z}\\ {\epsilon }_{x,y}\end{array}\right)$

zusammen - und damit können wir nun anfangen zu arbeiten.

Die wichtigsten Annahmen zu Spannungen in einem einfachen Stab mit symmetrischen Profil sind:

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{y,y}=0\\ {\sigma }_{z,z}=0\\ {\sigma }_{y,z}=0\\ {\sigma }_{x,y}=0\end{array}\right)$

Die ersten beiden Zeilen sind klar: die Hauptspannungen senkrecht zur Stab-Längsachse verschwinden. Ausnahmen machen hier nur Stäbe, die z.B. durch großen Drücke belastet sind wie bei Bohrsträngen.

Scherung - nicht betrachtet.

Die Zeilen 3 und 4 gehören zu Spannungen, die einen Querschnitt in der skizzierten Weise verformen (schweren) würden. Das passiert bei symmetrischen Querschnitten wie hier einem Rechteck-Querschnitt nicht.

Mit diesen vier Annahmen können wir aus der Beziehung

$\underset{\_}{\sigma }=\underset{\_}{\underset{\_}{E}}\cdot \underset{\_}{\epsilon }$

vier Gleichungen herausnehmen und wählen

$\begin{array}{ll}{\epsilon }_{x,y}& =0\\ {\epsilon }_{y,z}& =0\\ {\epsilon }_{y,y}& =-\frac{{\epsilon }_{x,x}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }\\ {\epsilon }_{z,z}& =-\frac{{\epsilon }_{x,x}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }\end{array}$.

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/* definitions: components of stress / strain tensors */
Sigma   : matrix([sigma[x,x]], [sigma[y,y]], [sigma[z,z]], 
                 [sigma[y,z]], [sigma[x,z]], [sigma[x,y]]);
Epsilon : matrix([epsilon[x,x]], [epsilon[y,y]], [epsilon[z,z]],
                 [epsilon[y,z]], [epsilon[x,z]], [epsilon[x,y]]);

/* Stress Strain Relation */
StressStrain : solve(args(transpose(Sigma - E.Epsilon)[1]),args(transpose(Sigma)[1]))[1];

/* assumptions for stresses: */
assumptions : [sigma[y,y]=0,sigma[z,z]=0,sigma[y,z]=0, sigma[x,y]=0];

/* this implies for the strains: */
consequence : solve(subst(StressStrain, assumptions),
                       [epsilon[x,y],epsilon[y,z],epsilon[y,y],epsilon[z,z]])[1];

tmp

Displacement Variables

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Virtual Strain Energy

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Timoshenko-Beam

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Euler-Bernoulli-Balken

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