Gelöste Aufgaben/DGEB: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Februar 2021, 10:15 Uhr

Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe starten wir von "first principles" - hier das Prinzip der virtuellen Verrückungen - und entwicklen die Bewegungsgleichunge für einen schlanken Stab unter Langskräft und Biegemoment.

Gesucht sind die Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts für den schlanken Stab mit Rechteck-Querschnitt unter Längs- und Querkraft, ausgehend von der Virtuellen Formänderungsenergie δΠ.

Wir finden so die bekannten Differentialbeziehungen für das Timoshenko / Euler-Bernoulli-Modell eines Balkens.

Lösung mit Maxima

Wie alle zentralen Begriffe der Elastizitätstheorie ineinandergreifen, um die virtuelle Formänderungsenergie für den Euler-Bernoulli-Balken zu ermitteln, zeigt diese Aufgabe.

Header

Hier kommen

das Hook'sche Gesetz in seiner allgemeinen, 3D-Fassung,
die allgemeinen Verschiebungs-Verzerrungs-Bedingungen,
die klassischen Annahmen zur Theorie von Stäben zum Einsatz sowie
die Gleichgewichtsbedingungen nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

zum Einsatz.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2016-03-27                            */
/* ref: Euler-Bernoulli Beam                           */
/* description: derives the equations of motion for    */
/*              the Timoshenko and EBB beam            */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen das volle Instrumentarium der Elastizitätstheorie - angefangen bei einfachen Abkürzungen wie der Querschnittsfläche A bis zu den Flächenmomenten 2. Grades I_y und I_z:

{\begin{array}{ccc}\displaystyle I_{y}&=&{\frac {b\cdot h^{3}}{12}},\\\displaystyle I_{z}&=&{\frac {h\cdot b^{3}}{12}},\\\displaystyle A&=&b\cdot h\end{array}}

über Lame's Konstante

\lambda ={\frac {E\cdot \nu }{\left(1-2\cdot \nu \right)\cdot \left(\nu +1\right)}},\mu ={\frac {E}{2\cdot \left(\nu +1\right)}}

,

und dem linearen Werkstoffgesetz (Spannungs-Dehnungs-Beziehung / Hook's Gesetz)

{\underline {\underline {E}}}={\begin{pmatrix}2\cdot \mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\cdot \mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\cdot \mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}

.

Und schließlich wollen wir die Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung für einen materiellen Punkt P angeben. Grundlage ist die Verschiebung eines Punkte P=[x,y,z] und die gesuchten Koeffizienten u, v, w der Verschiebung in die drei Raumrichtungen

{\underline {r}}_{P}

,

Die Koeffizienten u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) des Ortsvektors r_P beschreiben dabei das Verscheibungsfeld des Balkens. Wir erhalten mit den allgemeinen Komponenten u, v und w des Verschiebungsfeldes

{\underline {r}}_{P}=\left({\begin{array}{l}u(x,y,z)\\v(x,y,z)\\w(x,y,z)\end{array}}\right)

die Verzerrungen allgemein zu

{\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,x}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot u\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot v\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot w\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{x,y}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot u\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot v\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\\{{\varepsilon }_{x,z}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot u\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot w\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\\{{\varepsilon }_{y,z}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot v\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot w\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\end{array}}

.

Damit das "schöner" aussieht,, kürzen wir im Folgenden ab

\displaystyle {\frac {d}{dx}}(.):=(.)_{x},\;\;{\frac {d}{dy}}(.):=(.)_{y},\;\;{\frac {d}{dz}}(.):=(.)_{z},

und erhalten als Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung

{\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,x}}&=u_{x}\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=v_{y}\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=w_{z}\\{{\varepsilon }_{x,y}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(u_{y}+v_{x}\right)\\{{\varepsilon }_{x,z}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(u_{z}+w_{x}\right)\\{{\varepsilon }_{y,z}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(v_{z}+w_{y}\right)\\\end{array}}

.

Für unser Problem suchen wir jetzt ein konkretes Verschiebungsfeld, das unseren Anforderungen an das Problem genügt.

/*******************************************************/
/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic); /* virtual work */
declare("δA", alphabetic); /* virtual work of implied external forces */
declare("δΠ", alphabetic); /* virtual strain energy */
declare("δu", alphabetic); /* variation of u */
declare("δw", alphabetic);
declare("δφ", alphabetic);
declare("δη", alphabetic);
declare("δθ", alphabetic);
declare("λ" , alphabetic); /* otherwise, this is the lambda fct. */
declare("μ" , alphabetic);
declare("Δr", alphabetic); /*displacement of material point [x,y,z] */
declare("δΔr",alphabetic); /* variation of Δr */
declare("δZ", alphabetic); /* variation of strain */

/*******************************************************/
/* parameters */
/* abbreviate: */
geometry  : [h^3 = 12*I[y]/b, b^3 = 12*I[z]/h, b = A/h];
/* Lame's Constants                                */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
lameConst : [λ = e*nu/((1+nu)*(1-2*nu)), μ = e/(2*(1+nu))];

/* relation: hook's law, modulus of elasticity     */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
E :  matrix([2*μ+λ,     λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ, 2*μ+λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ,     λ, 2*μ+λ,  0,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  μ,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  μ,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  0,  μ]);

/* Strain Displacement Relation */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
StrainDispl(arg) := [epsilon[x,x] =      diff(arg[1],x),
                     epsilon[y,y] =      diff(arg[2],y),
                     epsilon[z,z] =      diff(arg[3],z),
                     epsilon[x,y] = 1/2*(diff(arg[1],y) + diff(arg[2],x)),
                     epsilon[x,z] = 1/2*(diff(arg[1],z) + diff(arg[3],x)),
                     epsilon[y,z] = 1/2*(diff(arg[2],z) + diff(arg[3],y))];

Euler Rotation

Wir definieren später ein Modell, bei dem Querschnitte um eine Achse senkrecht zur Papierebene kippen kann. Das beschreiben wir mit der linearisierten Euler-Rotation:

{{D}_{2}}\left({\mathit {arg}}\right)={\begin{pmatrix}1&0&-{\mathit {arg}}\\0&1&0\\{\mathit {arg}}&0&1\end{pmatrix}}

,

die für arg << 1 gilt.

/*******************************************************/
/* kinematics: Euler-rotation about y-Axis */
D[2](arg) := [[  1   ,   0  ,-arg ],
              [  0   ,   1  ,  0  ],
              [+arg  ,   0  ,  1  ]];

tmp

Die Komponenten des Spannungs- und Verzerrungs-Tensors fassen in den Matrizen

{\underline {\sigma }}={\begin{pmatrix}{{\sigma }_{x,x}}\\{{\sigma }_{y,y}}\\{{\sigma }_{z,z}}\\{{\sigma }_{y,z}}\\{{\sigma }_{x,z}}\\{{\sigma }_{x,y}}\end{pmatrix}}

und

{\underline {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}{{\varepsilon }_{x,x}}\\{{\varepsilon }_{y,y}}\\{{\varepsilon }_{z,z}}\\{{\varepsilon }_{y,z}}\\{{\varepsilon }_{x,z}}\\{{\varepsilon }_{x,y}}\end{pmatrix}}

zusammen - und damit können wir nun anfangen zu arbeiten.

Die wichtigsten Annahmen zu Spannungen in einem einfachen Stab mit symmetrischen Profil sind:

{\begin{pmatrix}{{\sigma }_{y,y}}=0\\{{\sigma }_{z,z}}=0\\{{\sigma }_{y,z}}=0\\{{\sigma }_{x,y}}=0\end{pmatrix}}

Die ersten beiden Zeilen sind klar: die Hauptspannungen senkrecht zur Stab-Längsachse verschwinden. Ausnahmen machen hier nur Stäbe, die z.B. durch großen Drücke belastet sind wie bei Bohrsträngen.

Die Zeilen 3 und 4 gehören zu Spannungen, die einen Querschnitt in der skizzierten Weise verformen würden. Das passiert bei symmetrischen Querschnitten wie hier einem Rechteck-Querschnitt nicht.

Mit diesen vier Annahmen können wir aus der Beziehung

${\underline {\sigma }}={\underline {\underline {E}}}\cdot {\underline {\varepsilon }}$

vier Gleichungen herausnehmen und wählen

${\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,y}}&=0\\{{\varepsilon }_{y,z}}&=0\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=\displaystyle -{\frac {{{\varepsilon }_{x,x}}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=\displaystyle -{\frac {{{\varepsilon }_{x,x}}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\end{array}}$ .===Stress-Strain-Relations for a Rod=== Text

1+1

Displacement Variables

Text

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Virtual Strain Energy

Text

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Timoshenko-Beam

Text

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Euler-Bernoulli-Balken

Text

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+<!-------------------------------------------------------------------------------->
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+Wir definieren später ein Modell, bei dem Querschnitte um eine Achse senkrecht zur Papierebene kippen kann. Das beschreiben wir mit der linearisierten Euler-Rotation:
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+die für ''arg'' << 1 gilt.
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+/* kinematics: Euler-rotation about y-Axis */
+D[2](arg) := [[  1   ,   0  ,-arg ],
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+Die Komponenten des Spannungs- und Verzerrungs-Tensors fassen in den Matrizen
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+und
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Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Euler Rotation

tmp

Displacement Variables

Virtual Strain Energy

Timoshenko-Beam

Euler-Bernoulli-Balken

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