Gelöste Aufgaben/DGEB

Koordinaten

Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe starten wir von "first principles" - hier das Prinzip der virtuellen Verrückungen - und entwicklen die Bewegungsgleichunge für einen schlanken Stab unter Langskräft und Biegemoment.

Lageplan.

Gesucht sind die Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts für den schlanken Stab mit Rechteck-Querschnitt unter Längs- und Querkraft, ausgehend von der Virtuellen Formänderungsenergie δΠ.

Wir finden so die bekannten Differentialbeziehungen für das Timoshenko / Euler-Bernoulli-Modell eines Balkens.

Lösung mit Maxima

Wie alle zentralen Begriffe der Elastizitätstheorie ineinandergreifen, um die virtuelle Formänderungsenergie für den Euler-Bernoulli-Balken zu ermitteln, zeigt diese Aufgabe.

Header

Hier kommen

• das Hook'sche Gesetz in seiner allgemeinen, 3D-Fassung,
• die allgemeinen Verschiebungs-Verzerrungs-Bedingungen,
• die klassischen Annahmen zur Theorie von Stäben zum Einsatz sowie
• die Gleichgewichtsbedingungen nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

zum Einsatz.

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/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2016-03-27                            */
/* ref: Euler-Bernoulli Beam                           */
/* description: derives the equations of motion for    */
/*              the Timoshenko and EBB beam            */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen das volle Instrumentarium der Elastizitätstheorie - angefangen bei einfachen Abkürzungen wie der Querschnittsfläche A bis zu den Flächenmomenten 2. Grades I_y und I_z:

$\begin{array}{ccc}{I}_y& =& \frac{b\cdot h^3}{12},\\ I_z& =& \frac{h\cdot b^3}{12},\\ A& =& b\cdot h\end{array}$

über Lame's Konstante

$\lambda =\frac{E\cdot \nu }{(1-2\cdot \nu )\cdot (\nu +1)},\mu =\frac{E}{2\cdot (\nu +1)}$,

und dem linearen Werkstoffgesetz (Spannungs-Dehnungs-Beziehung / Hook's Gesetz)

$\underset{\_}{\underset{\_}{E}}=\left(\begin{array}{cccccc}2\cdot \mu +\lambda & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & 2\cdot \mu +\lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda & 2\cdot \mu +\lambda & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mu \\ \end{array}\right)$.

Und schließlich wollen wir die Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung für einen materiellen Punkt P angeben. Grundlage ist die Verschiebung eines Punkte P=[x,y,z] und die gesuchten Koeffizienten u, v, w der Verschiebung in die drei Raumrichtungen

${\underset{\_}{r}}_P$,

Die Koeffizienten u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) des Ortsvektors r_P beschreiben dabei das Verscheibungsfeld des Balkens. Wir erhalten mit den allgemeinen Komponenten u, v und w des Verschiebungsfeldes

${\underset{\_}{r}}_P=\left(\begin{array}{l}u(x,y,z)\\ v(x,y,z)\\ w(x,y,z)\end{array}\right)$

die Verzerrungen allgemein zu

$\begin{array}{ll}{\epsilon }_{x,x}& =\frac{d}{dx}\cdot u(x,y,z)\\ {\epsilon }_{y,y}& =\frac{d}{dy}\cdot v(x,y,z)\\ {\epsilon }_{z,z}& =\frac{d}{dz}\cdot w(x,y,z)\\ {\epsilon }_{x,y}& =\frac{\frac{d}{dy}\cdot u(x,y,z)+\frac{d}{dx}\cdot v(x,y,z)}{2}\\ {\epsilon }_{x,z}& =\frac{\frac{d}{dz}\cdot u(x,y,z)+\frac{d}{dx}\cdot w(x,y,z)}{2}\\ {\epsilon }_{y,z}& =\frac{\frac{d}{dz}\cdot v(x,y,z)+\frac{d}{dy}\cdot w(x,y,z)}{2}\end{array}$.

Damit das "schöner" aussieht,, kürzen wir im Folgenden ab

$\frac{d}{dx}(.):=(.{)}_x,\frac{d}{dy}(.):=(.{)}_y,\frac{d}{dz}(.):=(.{)}_z,$

und erhalten als Verzerrungs-Verscheibungs-Beziehung

$\begin{array}{ll}{\epsilon }_{x,x}& =u_x\\ {\epsilon }_{y,y}& =v_y\\ {\epsilon }_{z,z}& =w_z\\ {\epsilon }_{x,y}& =\frac{1}{2}(u_y+v_x)\\ {\epsilon }_{x,z}& =\frac{1}{2}(u_z+w_x)\\ {\epsilon }_{y,z}& =\frac{1}{2}(v_z+w_y)\\ \end{array}$.

Für unser Problem suchen wir jetzt ein konkretes Verschiebungsfeld, das unseren Anforderungen an das Problem genügt.

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/*******************************************************/
/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic); /* virtual work */
declare("δA", alphabetic); /* virtual work of implied external forces */
declare("δΠ", alphabetic); /* virtual strain energy */
declare("δu", alphabetic); /* variation of u */
declare("δw", alphabetic);
declare("δφ", alphabetic);
declare("δη", alphabetic);
declare("δθ", alphabetic);
declare("λ" , alphabetic); /* otherwise, this is the lambda fct. */
declare("μ" , alphabetic);
declare("Δr", alphabetic); /*displacement of material point [x,y,z] */
declare("δΔr",alphabetic); /* variation of Δr */
declare("δZ", alphabetic); /* variation of strain */

/*******************************************************/
/* parameters */
/* abbreviate: */
geometry  : [h^3 = 12*I[y]/b, b^3 = 12*I[z]/h, b = A/h];
/* Lame's Constants                                */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
lameConst : [λ = e*nu/((1+nu)*(1-2*nu)), μ = e/(2*(1+nu))];

/* relation: hook's law, modulus of elasticity     */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
E :  matrix([2*μ+λ,     λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ, 2*μ+λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ,     λ, 2*μ+λ,  0,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  μ,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  μ,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  0,  μ]);

/* Strain Displacement Relation */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
StrainDispl(arg) := [epsilon[x,x] =      diff(arg[1],x),
                     epsilon[y,y] =      diff(arg[2],y),
                     epsilon[z,z] =      diff(arg[3],z),
                     epsilon[x,y] = 1/2*(diff(arg[1],y) + diff(arg[2],x)),
                     epsilon[x,z] = 1/2*(diff(arg[1],z) + diff(arg[3],x)),
                     epsilon[y,z] = 1/2*(diff(arg[2],z) + diff(arg[3],y))];

Euler Rotation

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Stress-Strain-Relations for a Rod

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Displacement Variables

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Virtual Strain Energy

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Timoshenko-Beam

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Euler-Bernoulli-Balken

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