Sources/Lexikon/Axiome der Statik

Gleichgewicht für zwei Kräfte am starren Körper

Axiom 1: Ein freier, starrer Körper Κ ist unter der Wirkung von zwei Kräften F1, F2 dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn sie in die Verbindungslinie ihrer beiden Angriffspunkte A1, A2 fallen, entgegengesetzt orientiert und gleich groß sind. Bild A1-1: Körper im Gleichgewicht Bild A1-2: Körper nicht im Gleichgewicht Formal bedeutet dies zweierlei (vgl. Bilder A1-1 und -2): Die Vektorsumme aus F1, F2 und der Abstand a müssen verschwinden: Durch die erste Gleichung wird der Teil des Axioms „entgegengesetzt orientiert und gleich groß" erfasst, erst mit a = 0 werden die Kräfte auch in die Verbindungslinie der beiden Angriffspunkte gezwungen.

Kräfte-Parallelogramm

Axiom 2: Greifen zwei Kräfte F1 und F2 an einem gemeinsamen Angriffspunkt A an, so können sie durch eine Kraft R ersetzt werden, die sich als die Diagonale des durch die beiden Kräfte aufgespannten Parallelogramms ergibt, Bild 3. Gemäß Bild 3, ist die Diagonale R die (geometrische) Summe der beiden Vektoren F1 und F2 : ${\vec {R}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}$. Das Kräfteparallelogramm (Bild 3) enthält den Angriffspunkt A, im Kräftedreieck (Krafteck, Kräfteplan) bleibt der Angriffspunkt unberücksichtigt (vgl. Bild). Bild A2-1: Kräftesumme A2-2a: im Kräftepallelogramm A2-2b: im Kräftedreieck Definition: Gemäß dem Kräfteparallelogramm in Bild  führt man ${\textstyle {\vec {R}}}$ als resultierende Kraft - kurz Resultierende - der beiden (Einzel-)Kräfte ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$ und ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ ein. Die Resultierende ersetzt die (Wirkung der) Einzelkräfte! 🖌 "Hinweis 1:": "Bildet man die Resultierende für zwei Kräfte in einem Lageplan oder Schnittbild, so muß man mit dem Kräfteparallelogramm und darf nicht mit dem Krafteck arbeiten." 🖌 "Hinweis 2:": "Man kann auch die Wirkung einer (resultierenden) Kraft ${\textstyle {\vec {R}}}$ gemäß Kräfteparallelogramm (Bild) durch die Wirkung der beiden Kräfte ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$ und ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ ersetzen. dann heißen ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$ und ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ Komponenten von ${\textstyle {\vec {R}}}$." 🖌 "Hinweis 3:": "Die erste Gleichung von Axiom 1 kann man nun als ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$ und ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ = ${\textstyle {\vec {R}}}$ und ${\textstyle {\vec {R}}}$ = ${\textstyle {\vec {0}}}$ interpretieren. Notwendig für das Gleichgewicht des in Bild 1-3-2 gezeigten Körpers ist es, daß die Resultierende der beiden Kräfte ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$ und ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ verschwindet."

Hinzufügen oder Wegnehmen einer Gleichgewichtsgruppe

Definition: Eine Gruppe von zwei oder mehr Kräften, die sich - allein auf einen freien, starren Körper Κ wirkend - im Gleichgewicht hält, heißt Gleichgewichtsgruppe. Beispiel: Die beiden Kräfte aus Axiom 1. Axiom 3: Befindet sich ein freier, starrer Körper Κ (unter der Wirkung von irgendwelchen Kräften) im Gleichgewicht, so bleibt er im Gleichgewicht, wenn eine Gleichgewichtsgruppe hinzugefügt oder weggenommen wird. In dem als Beispiel skizzierten System von Bild A3-1 sei der Körper Κ unter der Wirkung der Kräfte ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$, ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$ im Gleichgewicht (vgl. Axiom 1). Die hinzugefügte Gleichgewichtsgruppe ${\textstyle {\vec {F}}_{3}}$, ${\textstyle {\vec {F}}_{4}}$ die ihrerseits Axiom 1 genügt, ändert den Gleichgewichtszustand des Körpers Κ nicht! Folgerung 1: Ist ein freier, starrer Körper nicht im Gleichgewicht, so kommt er auch durch Hinzufügen einer Gleichgewichtsgruppe nicht ins Gleichgewicht. Folgerung 2: Das Gleichgewicht eines freien, starren Körpers ändert sich nicht, wenn man eine Kraft längs ihrer Wirkungslinie verschiebt. Bild A3-1: Körper mit hinzugefügter Gleichgewichtsgruppe Bild A3-2: Kraftverschiebung So sei der in Bild A3-2 gezeigte Körper unter der Wirkung der Kräfte ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$, ${\textstyle {\vec {F}}_{2}}$, ${\textstyle {\vec {F}}_{3}}$ im Gleichgewicht. Wir legen die Gleichgewichtsgruppe ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$, ${\textstyle {\vec {F}}_{1}}$  (in Bild A3-2 gestrichelt) so auf den Körper, dass ${\textstyle -{\vec {F}}_{1}}$, bei A1 und ${\textstyle +{\vec {F}}_{1}}$ im Punkt A* angreift. Dann heben sich die bei A1 angreifenden Kräfte auf (ihre Resultierende verschwindet), wir erhalten die „längs der Wirkungslinie W nach A1 verschobene Kraft ${\textstyle -{\vec {F}}_{1}}$."

Axiom 6-a

Axiom 6-b

Axiom 7-a

Axiom 7b

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