Gelöste Aufgaben/Kitb

Aufgabenstellung

Diese Aufgabe ist eine Variante der Aufgabe „Kita“, bei der die analytische Lösung gesucht ist.

Lageplan

Das skizzierte System ist ein Mast unter einer linear veränderlichen Windlast, der durch drei gleichmäßig über den Umfang verteilten Stäbe abgestützt wird.

Gesucht ist die Näherungslösung für ein FE-Modell des Masts (Euler-Bernoulli-Balken) und der drei Dehnstäbe.

Sicht auf den Mast

Der Mast steht senkrecht dabei auf einer ebenen Unterlage mit dem festen Gelenklager „O“ und ist durch drei Stäbe abgestützt. Alle Stäbe sind in Punkt „H“ mit dem Mast verbunden und in den Punkten „A“, „B“ und „C“ gelenkig gelagert. Die Lager A, B und C sind gleichmäßig in einem Radius von R um O herum auf der Unterlage verteilt. Die Windlast hat den Maximalwert q_T und wirkt in der Ebene, die durch die Punkte A, O und H aufgespannt werden. Für die Geometrie des Masts gilt h₁ = 2 h₂, h₂ = √2 R, außerdem sei die Dehnsteifigkeiten der Stäbe E A₂=2 E A₁,E A₃=E A₁.

Der Mast hat ein zylindrisches Profil mit Innen- und Außendurchmesser d_i, d_a.

Mastprofil

Ein Knicken der drei Stäbe sei ausgeschlossen.

Lösung mit Maxima

Mit Maxima berechnen wir die Lösung des Problems mit der Methode der Finiten Elemente. Da wir in Aufgabe „Kita“ bereits die Knoten-Variablen als Hilfsgrößen eingeführt haben, können wir die Nomenklatur, Parameter und abgeleitete Größen direkt übernehmen - und die Ergebnisse auch vergleichen.

Header

Kern der Lösung ist die Komposition der Element-Steifigkeitsmatrix sowie der "rechten Seite" des Gleichungssystems.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 21.05.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2022-08-19                            */
/* ref: NMM, Labor 2                                   */
/* Mast unter linear-veränderlicher Windlast           */
/* - Lösung mit der Methode der FE                     */
/*******************************************************/

Declarations

Die Parameter können wir direkt aus Kita übernehmen. Hinzu kommt die Definition der Trial-Functions aus FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken – die wir anstelle der allgemeinen Lösung der Differentialbeziehung für w(x), v(x) ansetzen:

${\underline {\varphi }}=\left({\begin{array}{c}2{{\xi }^{3}}-3{{\xi }^{2}}+1\\{\ell _{i}}\left({{\xi }^{3}}-2{{\xi }^{2}}+\xi \right)\\3{{\xi }^{2}}-2{{\xi }^{3}}\\{\ell _{i}}\left({{\xi }^{3}}-{{\xi }^{2}}\right)\end{array}}\right){\text{ mit }}\xi =x_{i}/\ell _{i}$

/*******************************************************/
/* declarations                                        */
/* *****************************************************/

/* parameter selection */
params: [[EA[2]=2*EA[1],EA[3]=EA[1], EA[1] = α*EI/R^2], [h[1] = 2*h[2], h[2]=sqrt(2)*R]];
assume(R>0);

/* trial-functions     */
φ : [ 2*ξ^3-3*ξ^2+1,
       (ξ^3-2*ξ^2+ξ)*ℓ[i],
        3*ξ^2-2*ξ^3,
       (ξ^3-ξ^2)*ℓ[i]];

/* non-sclar variables */
declare(r,nonscalar,
        e,nonscalar);

/* geometry           **********************************/
/* points */
geo: [r[H] = matrix([ h[1], 0, 0]),
      r[A] = matrix([   0 , R*sin(    0   ),-R*cos(    0   )]),
      r[B] = matrix([   0 , R*sin(-2*%pi/3),-R*cos(-2*%pi/3)]),
      r[C] = matrix([   0 , R*sin(+2*%pi/3),-R*cos(+2*%pi/3)])];
geo: append(geo, subst(geo, [r[1] = r[A]-r[H],
                             r[2] = r[B]-r[H],
                             r[3] = r[C]-r[H]]));
geo: append(geo, [L = sqrt(subst(geo,r[1]).subst(geo,r[1]))]);
/* unit-vecotor coefficients */
geo: append(geo, makelist(e[i]=subst(geo,r[i]/L),i,1,3));

Kinematics

Die Koordinaten der drei beweglichen Knoten O, H und T definieren die Kinematik des Systems. Wie in Kita sind dies die Verschiebungen und Verdrehungen der Knoten-Querschnitte in H und T in die zwei Raumrichtungen z und y, also

$W_{H},\Phi _{H},V_{H},\Psi _{H},W_{T},\Phi _{T},V_{T},\Psi _{T}$,

sowie die Verdrehung des Querschnitts in „O“ mit den Kippwinkeln, also

$\Phi _{O},\Psi _{O}$.

Diese System-Variablen fassen wir elementweise zusammen, z.B. für w_i(x) als

${\underline {C}}_{w,i}=\left({\begin{array}{c}W_{i-1}\\\Phi _{i-1}\\W_{i}\\\Phi _{i}\end{array}}\right)$

Die Verschiebung der Querschnitte eines FE-Elements können wir dann – hier am Beispiel von w_i(x) – über die Funktion

$w_{i}(x)={\underline {C}}_{w,i}\cdot {\underline {\phi }}(x),$

darstellen, wobei für die Elementlänge hier

$\ell _{i}=h_{i}$

gilt. Alle Knotenvariablen des Systems fassen wir nun unter

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}\Phi _{O}\\\Psi _{O}\\W_{H}\\\Phi _{H}\\V_{H}\\\Psi _{H}\\W_{T}\\\Phi _{T}\\V_{T}\\\Psi _{T}\end{array}}\right)$

zusammen, die Variation der Knotenvariablen entsprechend unter

${\underline {\delta Q}}=\left({\begin{array}{c}\delta \Phi _{O}\\\delta \Psi _{O}\\\delta W_{H}\\\delta \Phi _{H}\\\delta V_{H}\\\delta \Psi _{H}\\\delta W_{T}\\\delta \Phi _{T}\\\delta V_{T}\\\delta \Psi _{T}\end{array}}\right)$

/**********************************************************/
/* kinematics                                             */
/* ********************************************************/
/* coordinates */
δQ : [δΦ[O],δW[H],δΦ[H],δW[T],δΦ[T],δΨ[O],δV[H],δΨ[H],δV[T],δΨ[T]];
 Q : [ Φ[O], W[H], Φ[H], W[T], Φ[T], Ψ[O], V[H], Ψ[H], V[T], Ψ[T]];

Equlibrium Condition

Die Gleichgewichtsbedingungen nach dem Prinzip_der_virtuellen_Verrückungen sind

${\begin{array}{lll}\delta W&=&\delta W_{q}-\delta W_{mast}-\delta W_{rods}\\&{\stackrel {!}{=}}&0\end{array}}$

Virtuelle Formänderungsenergie des Masts

Diese Anteile können wir direkt aus der Anleitungen „FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken“ übernehmen. Wir haben zwei Elemente (von O nach H und von H nach T) und schreiben entsprechend

$\delta W_{Mast}=\sum _{i=1}^{2}\delta W_{EBB,i}$.

Die liefern dann den Anteil des Masts an der virtuellen Arbeit, den wir in der Form

$\delta W_{mast}={\underline {\delta Q}}\cdot {\underline {\underline {K}}}_{mast}\cdot {\underline {Q}}$

anschreiben können

Da der untere Knoten keine Verschiebungs-Freiheitsgrade hat, streichen wir die entsprechenden Zeilen und Spalten der Element-Steifigkeitsmatrix aus FEM:_Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome, der Beitrag des Masts zur Gesamtsteifigkeitsmatrix ist dann

${\underline {\underline {K}}}_{mast}=EI\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {4}{h_{1}}}&-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {2}{h_{1}}}&0&0&0&0&0&0&0\\-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}+{\frac {12}{{h}_{1}^{3}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&-{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&0&0&0&0&0\\{\frac {2}{h_{1}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {4}{h_{2}}}+{\frac {4}{h_{1}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {2}{h_{2}}}&0&0&0&0&0\\0&-{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&0&0&0&0&0\\0&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {2}{h_{2}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {4}{h_{2}}}&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&{\frac {4}{h_{1}}}&-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {2}{h_{1}}}&0&0\\0&0&0&0&0&-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}+{\frac {12}{{h}_{1}^{3}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&-{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}\\0&0&0&0&0&{\frac {2}{h_{1}}}&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}-{\frac {6}{{h}_{1}^{2}}}&{\frac {4}{h_{2}}}+{\frac {4}{h_{1}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {2}{h_{2}}}\\0&0&0&0&0&0&-{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {12}{{h}_{2}^{3}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}\\0&0&0&0&0&0&{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {2}{h_{2}}}&-{\frac {6}{{h}_{2}^{2}}}&{\frac {4}{h_{2}}}\end{pmatrix}}$

Man sieht in der Matrix sehr schön, wie die Anteile in die beiden Raumrichtungen z und y in der Matrix getrennt sind. Die z-Richtung bevölkert den oberen, linken Teil, die y-Richtung den unteren, rechten Teil. Die Auslenkungen in diese beiden Richtungen sind durch die Steifigkeitsmatrix nicht gekoppelt. Das wird sich ändern, wenn wie die Stäbe mit einbauen.

Virtuelle Formänderungsenergie der Stäbe

Die virtuelle Formmänderungsarbeit des Stabes können wir direkt aus der Stabkraft S_i anschreiben, die wir in Kita schon hergeleitet haben. So gilt für

$\delta W_{rod}=\sum _{i=1}^{3}\delta W_{rod,i}$

mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta W_{rod,i} = \underline{S}_i \cdot \left(\begin{array}0\\\delta V_H, \delta W_H\end{array}\right). }

Dabei ist

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{array}“): {\displaystyle \left(\begin{array}0\\\delta V_H, \delta W_H\end{array}\right) }

die virtuelle Verrückung des Kraftangriffspunktes.

Einsetzen liefert dann die Anteile der Stäbe an der virtuellen Arbeit, den wir wieder in der Form

$\delta W_{rod}={\underline {\delta Q}}\cdot {\underline {\underline {K}}}_{rod}\cdot {\underline {Q}}$

formulieren, ausgeschreiben ist dann

${\underline {\underline {K}}}_{rod}={\frac {\displaystyle {{R}^{2}}}{\displaystyle 4{{\left({{R}^{2}}+{{h}_{1}^{2}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&4{\color {red}EA_{1}}+{\color {green}EA_{2}}+{\color {blue}EA_{3}}&0&0&0&0&-{\sqrt {3}}{\color {green}EA_{2}}+{\sqrt {3}}{\color {blue}EA_{3}}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-{\sqrt {3}}{\color {green}EA_{2}}+{\sqrt {3}}{\color {blue}EA_{3}}&0&0&0&0&3{\color {blue}EA_{2}}+3{\color {green}EA_{3}}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Hier habe wir die Elemente nach den Stäben eingefärbt. Man sieht gut, wie der Term $-{\sqrt {3}}{\color {green}EA_{2}}+{\sqrt {3}}{\color {blue}EA_{3}}$ zu einer Kopplung der beiden Auslenkungen, führt, wenn $EA_{1}\neq EA_{3}$.

Virtuelle Arbeit der Windlast

1+1

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