Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten

Definition

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ₁, φ₂ eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x₁, x₂,x₃.

So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P

$\overrightarrow{r}=r\cdot {\overrightarrow{e}}_r$

mit

${\overrightarrow{e}}_r=\left(\begin{array}{c}\sin ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)\\ \sin ({\phi }_1)\sin ({\phi }_2)\\ \cos ({\phi }_1)\end{array}\right)$.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Neben dem Flächen-Normalenvektor ${\overrightarrow{e}}_r$ spannen dabei die Tangentialvektoren ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ zu φ₁ und φ₂ eine neue Basis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K$ auf.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis ${\overrightarrow{\underset{\_}{e}}}_K=[{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2},{\overrightarrow{e}}_r]$, die in Punkt P der Kugel mit ${\overrightarrow{e}}_r$ die Flächennormale definieren und mit ${\overrightarrow{e}}_{\phi ,1},{\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}$ die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

$\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{\phi ,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{\phi ,2}\\ {\overrightarrow{e}}_r\end{array}\right)={\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_{x,1}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,2}\\ {\overrightarrow{e}}_{x,3}\end{array}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underset{\_}{\underset{\_}{D}}}_{12}({\phi }_1(t),{\phi }_2(t))=\left(\begin{array}{ccc}\cos ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& -\sin ({\phi }_1(t))\\ -\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_2(t))& 0\\ \sin ({\phi }_1(t))\cos ({\phi }_2(t))& \sin ({\phi }_1(t))\sin ({\phi }_2(t))& \cos ({\phi }_1(t))\end{array}\right)$

Transformation von Euler-Winkeln

Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.

Dabei geben wir von einem Punkt P in Euler-Koordinaten mit

${\displaystyle }$

\begin{array}{l}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\ \sin{\left( {{\theta }_2}\right) }=-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\ \cos{\left( {{\theta }_2}\right) }=\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\ \sin{\left( {{\theta }_1}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\ \cos{\left( {{\theta }_1}\right) }=\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\ {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}=\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}

${\displaystyle }$

Links

1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel
3. Quaternionen für Drehungen
4. Geographische Koordinaten

Literature

• ...