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# [https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten Geographische Koordinaten]
'''Literature'''
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Version vom 4. April 2022, 12:27 Uhr
In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.
Kugelkoordinaten r, φ1 , φ2 eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x1 , x2 ,x3 . So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P
r
→
=
r
⋅
e
→
r
{\displaystyle {\vec {r}}=r\cdot {\vec {e}}_{r}}
mit
e
→
r
=
(
sin
(
φ
1
)
cos
(
φ
2
)
sin
(
φ
1
)
sin
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{r}=\left({\begin{array}{c}\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\\cos(\varphi _{1})\end{array}}\right)}
Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen.
Neben dem Flächen-Normalenvektor
e
→
r
{\displaystyle {\vec {e}}_{r}}
e
→
φ
,
1
,
e
→
φ
,
2
{\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}}
φ1 und φ2 eine neue Basis
e
_
→
K
{\displaystyle {\vec {\underline {e}}}_{K}}
Einheitsvektoren der Orthogonalbasis
e
_
→
K
=
[
e
→
φ
,
1
,
e
→
φ
,
2
,
e
→
r
]
{\displaystyle {\vec {\underline {e}}}_{K}=\left[{\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2},{\vec {e}}_{r}\right]}
P der Kugel mit
e
→
r
{\displaystyle {\vec {e}}_{r}}
e
→
φ
,
1
,
e
→
φ
,
2
{\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}}
Die Koordinatentransformation erfolgt über
(
e
→
φ
,
1
e
→
φ
,
2
e
→
r
)
=
D
_
_
12
(
φ
1
(
t
)
,
φ
2
(
t
)
)
(
e
→
x
,
1
e
→
x
,
2
e
→
x
,
3
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{\varphi ,1}\\{\vec {e}}_{\varphi ,2}\\{\vec {e}}_{r}\end{array}}\right)={\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{x,1}\\{\vec {e}}_{x,2}\\{\vec {e}}_{x,3}\end{array}}\right)}
mit der Transformationsmatrix
D
_
_
12
(
φ
1
(
t
)
,
φ
2
(
t
)
)
=
(
cos
(
φ
1
(
t
)
)
cos
(
φ
2
(
t
)
)
cos
(
φ
1
(
t
)
)
sin
(
φ
2
(
t
)
)
−
sin
(
φ
1
(
t
)
)
−
sin
(
φ
2
(
t
)
)
cos
(
φ
2
(
t
)
)
0
sin
(
φ
1
(
t
)
)
cos
(
φ
2
(
t
)
)
sin
(
φ
1
(
t
)
)
sin
(
φ
2
(
t
)
)
cos
(
φ
1
(
t
)
)
)
{\displaystyle {\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)={\begin{pmatrix}\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\\-\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&0\\\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\end{pmatrix}}}
Links
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![{\displaystyle {\vec {\underline {e}}}_{K}=\left[{\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2},{\vec {e}}_{r}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe4b620c3267b60b67ff1f2c2989fc9fbf27702)
