Gelöste Aufgaben/GYRQ

Aufgabenstellung

Die Bewegung eines Kreisels kann man auch anderes als in Aufgabe GYRO mit Euler-Drehwinkeln abbilden, die nicht immer leicht zu interpretieren sind. Natürlich könnten wir dafür in der Ergebnisdarstellung die Euler-Winkel z.B. in Quaternionen umrechnen. Aber hier wollen wir ausprobieren, wie die Bewegungsgleichungen selbst in anderen Koordinaten (vgl. Drehgruppe) aussehen. Und ob wir dadurch numerische Vorteile erwarten können.

Alles andere ist so wie in GYRO.

Kreisel mit gelenkiger Fußpunktlagerung.

Gesucht ist die Präzessions-Bahn eines Kreisels mit Quaternionen / Kugelkoordinanten. Unser Kreisel ist ein Kegel der Höhe H und Radius R. Die Bewegungsgleichungen sollen mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen aufgestellt werden. Wir suchen nach der Trajektorie des Mittelpunktes des Kreisels für große Kippwinkel.

Lösung mit Maxima und Matlab^®

Wir arbeiten mit Maxima und Matlab.

Maxima brauchen wir zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen, die zunächst mal recht komplex aussehen. Dabei nehmen wir die Bewegungsgleichungen wie sie aus den Gleichgewichtsbedingungen kommen und lösen sie als Anfangswertproblem.

Geomertrie des Kreisels

Header

Für die Beschreibung von Drehungen werden oft Quaternionen genutzt. Dabei wird eine Drehung durch die neue Lage der x₃-Achse sowie eine Drehung um diese Achse beschreiben. Für die Ermittlung von Bewegungsgleichungen - z.B. eines Kreisels - eignen sich Quaternionen aber nicht gut: für die Abbildung muss man dafür sorgen, dass die Euler-Achse ein Einheits-Vektor ist.

Mit einer kleinen Änderungen können wir diese Idee trotzdem weiter verfolgen. Wir nutzen Kugelkoordinaten, um ein Kippen um die Winkel φ₁, φ₂ zu erfassen, genau wie bei der Beschreibung von Länge- und Breitengraden auf der Erde. Die Transformationsmatrix zu diesem Ansatz ist

${\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)={\begin{pmatrix}\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\\-\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&0\\\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\end{pmatrix}}$

Wir lösen hier das Anfangswertproblem mit den nichtlinearen Bewegungsgleichungen zu den Koordinaten

${\underline {\varphi }}=\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}(t)\\\varphi _{2}(t)\\\varphi _{3}(t)\end{array}}\right)$,

wobei φ₁, φ₂ Kippwinkel bezüglich der x₁- und x₂-Achsen sind, φ₃ ist der Rotationswinkel um die Kreisel-Symmetrieachse.

Euler-Kippwinkel φ₁, φ₂

Die Kippwinkel φ₁, φ₂ sind im nebenstehenden Bild eingetragen, die aus einer Transformation hervorgehenden Koordinatensysteme erhalten jeweils einen >'< zur Kennzeichnung. Dabei steht am Anfang das blue Koordinatensystem, das durch Kippung um φ₂ in das grüne und dann durch Kippung um φ₁ in das rote überführt wird. Nicht dargestellt ist die folgende Drehung um den Rotationwinkel φ₃.

Die Gleichgewichtsbedingungen kommen aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen. Für diese Gleichungen brauchen wir die virtuelle Arbeit der D'Alembert'schen Trägheitskräfte und die virtuelle Arbeit der Gewichtskraft des Kreisels.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 21.05.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2022-03-27                            */
/* ref: gyroscopic precession                          */
/* description: solve using principle of virt. work    */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen zunächst die Transformationsmatrizen der Euler-Rotation, also die Drehmatrizen, die unser inertiales Koordinatensystem in das Kreiselfeste Koordinatensystem überführt. Wir kippen zunächst um die x₂-Achse, dann um die resultierende x'₁-Achse und schließlich um die Rotationsachse x"₂. Die Koordinatentransformation ist dann

${\underline {\underline {D}}}_{0\to K}={\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi _{3}(t))\cdot {\underline {\underline {D}}}_{1}(\varphi _{1}(t))\cdot {\underline {\underline {D}}}_{2}(\varphi _{2}(t))$.

Und wir führen noch Abkürzungen für die Systemparameter

${I_{y}}={\frac {\displaystyle 3\left({{R}^{2}}+4{{H}^{2}}\right)m}{20}},{I_{z}}={\frac {\displaystyle 3{{R}^{2}}m}{10}},m={\frac {\displaystyle {\pi }H{{R}^{2}}\rho }{3}}$

und die Zustandsgrößen

${\frac {d}{dt}}{{\varphi }_{i}}(t)={{\omega }_{i}}(t)$

ein.

/* Euler-Drehmatrizen */
D[1](φ) := matrix([1,0,0],[0,cos(φ),-sin(φ)],[0,sin(φ),cos(φ)]);
D[2](φ) := matrix([cos(φ),0,sin(φ)],[0,1,0],[-sin(φ),0,cos(φ)]);
D[3](φ) := matrix([cos(φ),-sin(φ),0],[sin(φ),cos(φ),0],[0,0,1]);

coord: [[ φ[1](t), φ[2](t), φ[3](t)],
        [δφ[1]   ,δφ[2]   ,δφ[3]   ]];
q: funmake('matrix,makelist([coord[1][i]],i,1,3));

abbr: makelist(diff(φ[i](t),t)=ω[i](t),i,1,3);

params: [
  I[y] =      m       * 3/20*( R^2+4*H^2),
  I[z] =      m       * 3/10*  R^2,
   m   = ρ*%pi*R^2*H/3           ];
params: append(subst(params[3], [params[1], params[2]]),[params[3]]);
params: [params, makelist(solve(params[i], [H^3,R^4,R^2][i])[1],i,1,3)];

Equations of Motion

Die Gleichgewichtsbedingungen für den starren Kreisel (die virtuelle Formänderungenergie $\delta \Pi$ ist Null) kommen aus

${\begin{array}{lll}\delta W&=&\displaystyle \sum _{i}({\vec {F}}_{i}\cdot \delta r_{i})-\rho \int _{V}{\ddot {\vec {r}}}_{P}\cdot \delta {\vec {r}}_{P}\\&{\stackrel {!}{=}}&0\end{array}}$,

wobei wir nur eine Kraft F - die Gewichtskraft $mg(-{\vec {e}}_{3})$ - haben und V das Kreisel-Volumen ist.

Mit dem Ortsvektor zu einem Punkt des Kreisels

${\vec {r}}_{P}=\left(r\;\;0\;\;z\right)\cdot {\underline {\underline {D}}}_{3}(\alpha )\cdot {\underline {\underline {D}}}_{0\to K}(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})\cdot \left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{1}\\{\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{3}\end{array}}\right)$

können wir nun die virtuelle Gesamtarbeit des Systems ausrechnen. Die Parameter mit R und H ersetzen wir durch die oben definierten Abkürzungen und erhalten die gekoppelten Bewegungsgleichungen

${\begin{pmatrix}{I_{y}}&0&0\\0&\left(1-{{\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}}^{2}}\right){I_{z}}+{{\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}}^{2}}{I_{y}}&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}{I_{z}}\\0&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}{I_{z}}&{I_{z}}\end{pmatrix}}\cdot {\ddot {\underline {\varphi }}}+{\begin{pmatrix}\left({{{\omega }_{2}}^{2}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}-{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\right){I_{z}}-{{{\omega }_{2}}^{2}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}{I_{y}}\\\left({{\omega }_{1}}{{\omega }_{3}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}-2{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\right){I_{z}}+2{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}{I_{y}}\\{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}{I_{z}}\end{pmatrix}}={\frac {\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}Hmg{\begin{pmatrix}\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\\\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\\0\end{pmatrix}}$

Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante

$\det {\underline {\underline {M}}}=\cos(\phi _{1})^{2}\;I_{y}^{2}\;I_{z}$

Für den Kippwinkel muss also cos(φ₁)≠0 oder 0 < φ₁ < 90° gelten. Das können wir für unsere Problemstellung gut einhalten.

/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
/* virtual work of d'Alembert forces */ 
δW[a] :-ρ*diff(r[p],t,2).δr[p]$
/* integrate over body               */
δW[a] : integrate(integrate(integrate(r*δW[a], α,0,2*%pi), r,0,R*(z/H)), z,0,H)$
δW[a] : expand(expand(expand(expand(expand(expand(expand(δW[a])))))))$
δW[a] : expand(subst(params[2],δW[a]));

/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
/* virtual work of external (gravitational) force */ 
r[m] : subst([r=0, z=2*H/3], r[p]);
δr[m] : sum(subst([ε=0],diff(subst([coord[1][i]=coord[1][i]+ε*coord[2][i]],r[m]),ε)),i,1,3);
δW[g] : m*matrix([0,0,-g]).δr[m];
δW[g] : expand(δW[g]);

Solving

Mit der Spaltenmatrix der Zustandsgrößen

${\underline {q}}(t)=\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}(t)\\\varphi _{2}(t)\\\varphi _{3}(t)\\\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\\\omega _{3}(t)\\\end{array}}\right)$

lösen wir die gewöhnlichen Differentialgleichungen

${\underline {\dot {q}}}(t)={\underline {f}}({\underline {q}}(t))$

Dazu formulieren wir die Bewegungsgleichungen zunächst in Maxima und übertragen sie dann in ein Matlab^©-Script. Die Bewegungsgleichungen machen wir mit der Zeit

$T={\sqrt {\frac {\displaystyle 2Hmg}{3I_{y}}}}$

dimensionslos (die Winkel selbst sind ja bereits dimensionslos). Die dimensionslose Zeit $\tau =t/T$.

/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
/* equations of motion */
eom: makelist(coeff(-δW[a],coord[2][row]),row,1,3);

/* mass matrix */
M: makelist(makelist(coeff(eom[row],diff(coord[1][col],t,2)),col,1,3),row,1,3);
M: trigsimp(funmake('matrix,M));
/* M^(-1) */
Mi : trigsimp(invert(M));

/* the rest ... */
gyr: trigsimp(expand(eom - M.diff(q,t,2)));
P:  makelist(coeff(-δW[g],coord[2][row]),row,1,3);

Matlab^©-files

Folder Structure

Die Datei-Struktur zeit das Skript GYRQ.m. Classes und Functions sind in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.

Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.

archive

download compressed archive →

Postprocessing

Die Ergebnisse der numerischen Integration tragen wir für die Winkel φ₁(t), φ₂(t) sowie für die Winkelgeschwindigkeiten ω₁(t), ω₂(t) auf. Es folgen noch die Trajektorie des Mittellinien-Endpunkts des Kreisels und die Phasendiagramme.

Winkel	Winkelgeschwindigkeit
Trajektorie	Phasendiagramme

... in Matlab (vgl. zip-Datei)

Nachtrag

Meist linearisiert man die Bewegungsgleichungen, indem man von kleinen Kippwinkeln ausgeht (φ₁<<1, φ₂<<1). Für den Kreisel gilt außerdem ω₁<<ω₃, ω₂<<ω₃ so dass man außerdem ω₃ = constant setzten darf. Damit erhalten wir die "übliche" vereinfachte Bewegungsgleichung

${\begin{pmatrix}{I_{y}}&0&0\\0&{I_{y}}&0\\0&0&{I_{z}}\end{pmatrix}}\cdot {\ddot {\underline {\varphi }}}+\omega _{3}\cdot {\begin{pmatrix}0&-I_{z}&0\\I_{z}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\dot {\underline {\varphi }}}={\frac {\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}Hmg{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\underline {\varphi }}$

/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
/* simplify */
MS: subst([cos(φ[1](t))=1, sin(φ[1](t))=0], M);
gyrS: subst([ε^2=0, ε=1],expand(subst([cos(φ[1](t))=1, sin(φ[1](t))=φ[1](t), ω[1](t)=ε*ω[1](t), ω[2](t)=ε*ω[2](t)],subst(abbr,gyr))));
PS: subst([cos(φ[1](t))=1, cos(φ[2](t))=1, sin(φ[1](t))=φ[1](t), sin(φ[2](t))=φ[2](t)], P);

Dieses lineare System von gewöhnlichen Bewegungsgleichungen kann man dann hervorragend als Eigenwertproblem analysieren.

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Links

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Literature

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