Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. April 2022, 15:45 Uhr

Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.

Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel ϕ um eine Rotationsachse

\vec{r} = r_{x} {\vec{e}}_{x} + r_{y} {\vec{e}}_{y} + r_{z} {\vec{e}}_{z}

beschreiben. Bei Einheits-Quaternionen gilt

\sqrt{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}} = 1

.

Die Rotation wird dann durch das [Quadruple]

\underline{q} = [\cos φ, r_{x} \cdot \sin φ, r_{y} \cdot \sin φ, r_{z} \cdot \sin φ]

erfasst.

Die Transformationsmatrix können wir dann durch

{\underline{\underline{D}}}_{Q} (\underline{q} (t)) = (\begin{matrix} 1 - 2 ({q_{3} (t)}^{2} + {q_{2} (t)}^{2}) & 2 (q_{1} (t) q_{2} (t) - q_{0} (t) q_{3} (t)) & 2 (q_{1} (t) q_{3} (t) + q_{0} (t) q_{2} (t)) \\ 2 (q_{0} (t) q_{3} (t) + q_{1} (t) q_{2} (t)) & 1 - 2 ({q_{3} (t)}^{2} + {q_{1} (t)}^{2}) & 2 (q_{2} (t) q_{3} (t) - q_{0} (t) q_{1} (t)) \\ 2 (q_{1} (t) q_{3} (t) - q_{0} (t) q_{2} (t)) & 2 (q_{2} (t) q_{3} (t) + q_{0} (t) q_{1} (t)) & 1 - 2 ({q_{2} (t)}^{2} + {q_{1} (t)}^{2}) \end{matrix})

abgebildet.

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 ::<math>\displaystyle \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2} = 1</math>.
 Die Rotation wird dann durch das [[https://en.wikipedia.org/wiki/Tuple Quadruple]]
-::<math>\displaystyle \underline{q} = \left\[\cos\varphi, r_x\cdot\sin\varphi, r_y\cdot\sin\varphi, r_z\cdot\sin\varphi \right\]</math>
+::<math>\displaystyle \underline{q} = \left[\cos\varphi, r_x\cdot\sin\varphi, r_y\cdot\sin\varphi, r_z\cdot\sin\varphi \right]</math>
 erfasst.