Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen

Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.

3D visualization einer Rotation bzgl. der Euler-Axe $\displaystyle {\vec {r}}$ um den Winkel ϕ.

Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel ϕ um eine Rotationsachse

$\displaystyle {\vec {r}}=r_{x}{\vec {e}}_{x}+r_{y}{\vec {e}}_{y}+r_{z}{\vec {e}}_{z}$

beschreiben. Bei Einheits-Quaternionen gilt

$\displaystyle {\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}}=1$.

Die Rotation wird dann durch das [Quadruple]

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \underline{q} = \left\[\cos\varphi, r_x\cdot\sin\varphi, r_y\cdot\sin\varphi, r_z\cdot\sin\varphi \right\]}

erfasst.

Die Transformationsmatrix können wir dann durch

${\underline {\underline {D}}}_{Q}({\underline {q}}(t))={\begin{pmatrix}1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{2}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{2}}(t)-{q_{0}}(t){q_{3}}(t)\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)\\2\left({q_{0}}(t){q_{3}}(t)+{q_{1}}(t){q_{2}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)\\2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{2}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)\end{pmatrix}}$

abgebildet.