Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.

Maxima-Code für die Element-Matrizen

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Element-Matrizen.

/*Maxima Quellcode für die Erzeugung Inhalte dieser Seite */
/* Maxima version 16.04.2*/

declare( "ℓ", alphabetic);

/*Trial-Fucntions*/
phi : [       (xi-1)^2*(2*xi+1),
         ℓ[i]* xi     *(  xi-1)^2,
        -      xi^2   *(2*xi-3), 
         ℓ[i]* xi^2   *(  xi-1)];

/* depict independant and dependant coordinates */
preamble: "set yrange [] reverse";
plot2d(subst([ℓ[i]=1],[0.9,1/2,0.1,1/3].phi),[xi,0,1],
    [x,0,1], [legend, "w(x)"],
    [xlabel, "ξ →"], [ylabel, "← w"],
    [gnuplot_preamble, preamble]);

/* plot trial-functions parameters */
scale: [1,1/ℓ[i],1,1/ℓ[i]];
colours: [blue, red, green, magenta];
legends: ["ϕ1","ϕ2/ℓ[i]","ϕ3","ϕ4/ℓ[i]"];
for j:1 thru 4 do
     (plot2d(scale[j]*phi[j],[xi,0,1], [xlabel,"ξ →"],[ylabel,"ϕ →"], [legend,legends[j]],[color,colours[j]], [style, [lines,3]], same_xy,
              [gnuplot_preamble, "set xtics 1;set ytics 1;set tics font \",11\""]))$	

/* Element-Mass Matrix */
M[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(rho*A*integrate(phi[j]*phi[k],xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (rho*A*ℓ[i])*matrix([13/35,(11*ℓ[i])/210,9/70,-(13*ℓ[i])/420],
                             [(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105,(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140],
                             [9/70,(13*ℓ[i])/420,13/35,-(11*ℓ[i])/210],
                             [-(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140,-(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105])  */
/* Element-Striffness Matrix */
K[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(EI*integrate(diff(phi[j],xi,2)/ℓ[i]^2*diff(phi[k],xi,2)/ℓ[i]^2,xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (EI/ℓ[i]^3)*matrix([12,6*ℓ[i],-12,6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2],
                            [-12,-6*ℓ[i],12,-6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2])   */

Koordinaten

Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

$\underset{\_}{Q}(t)=\left(\begin{array}{l}{W}_{i-1}(t)\\ {\mathrm{\Phi }}_{i-1}(t)\\ W_i(t)\\ {\mathrm{\Phi }}_i(t)\end{array}\right)$.

Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung w(x,t) ist

$w(x,t)=\sum _{i=1}^4{Q}_i(t)\cdot {\varphi }_i(x)$

Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 

$\frac{d}{dx}w(x){|}_{x=x_i}={\mathrm{\Phi }}_i$.

Nodal and independent Coordinates

Trialfunctions

Die einzelnen Trial-Functions sind:

linker Rand (Knoten "i-1")	rechter Rand (Knoten "i")
Trial-Function for Wi-1	Trial-Function for Wi
${\varphi }_1(\xi )=(\xi -1{)}^2\cdot (2\xi +1)$	${\varphi }_3(\xi )={\xi }^2\cdot (3-2\xi )$
Trial-Function für Φi-1	Trial-Function für Φi
${\varphi }_2(\xi )={\ell }_i\cdot \xi \cdot (\xi -1{)}^2$	${\varphi }_4(\xi )={\ell }_i\cdot {\xi }^2\cdot (\xi -1)$

Faltungsintegrale

... für die symmetrische Massenmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

$\frac{m_{ij}}{\varrho A}=\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{\varphi }_i\cdot {\varphi }_{j}dx$

	${\varphi }_1$	${\varphi }_2$	${\varphi }_3$	${\varphi }_4$
${\varphi }_1$	$\frac{13}{35}{\ell }_i$	$\frac{11}{210}{\ell }_i^2$	$\frac{9}{70}{\ell }_i$	$-\frac{13}{420}{\ell }_i^2$
${\varphi }_2$		$\frac{1}{105}{\ell }_i^3$	$\frac{13}{420}{\ell }_i^2$	$-\frac{1}{140}{\ell }_i^4$
${\varphi }_3$			$\frac{13}{35}{\ell }_i$	$\frac{11}{210}{\ell }_i^2$
${\varphi }_4$	symm.			$\frac{1}{105}{\ell }_i^3$

... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

$\frac{k_{ij}}{EI}=\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{{\varphi }_i}^{″}\cdot {{\varphi }_j}^{″}dx$

	${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_1$	${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_2$	${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_3$	${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_4$
${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_1$	$\frac{12}{{\ell }_i^3}$	$\frac{6}{{\ell }_i^2}$	$-\frac{12}{{\ell }_i^3}$	$\frac{6}{{\ell }_i^2}$
${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_2$		$\frac{4}{{\ell }_i}$	$-\frac{6}{{\ell }_i^2}$	$\frac{2}{{\ell }_i}$
${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_3$			$\frac{12}{{\ell }_i^3}$	$-\frac{6}{{\ell }_i^2}$
${\varphi }^{\prime }{\text{'}}_4$	symm.			$\frac{4}{{\ell }_i}$

Maxima-Code für die Rechte-Seite

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Spalten-Matrizen der Rechten-Seite des Gleichungssystems.

/*Loadiung-Fucntions*/
psi: [1,
      (1-xi),
      xi,
      4*(-xi^2+xi)];

for j:1 thru length(psi) do
   plot2d(psi[j],[xi,0,1], [y,-0.1,1.1],
      [box, false], grid2d,
      [yx_ratio, 1], [axes, solid], [xtics, 0, 1, 1],
      [ytics, 0, 1, 1],
      [ylabel, simplode (["ϕ[",j,"] →"])],
      [xlabel, "ξ →"],
      [style,[lines,3,2]])$

/* convolution integrals */
for i:1 thru length(phi) do
   (print("***************************", i),
    for j:1 thru length(psi) do 
       print(integrate(phi[i]*psi[j],xi,0,1)))$

... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten q₀∙ψ

Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist

$\delta W^a=q_0\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}\psi (x)\cdot \delta w(x)dx$

                       Hier stehen die Faltungsintegrale beispielhaft für 

$\begin{array}{l}{\psi }_1=1\\ {\psi }_2=1-\xi \\ {\psi }_3=\xi \\ {\psi }_4=4\cdot (\xi -{\xi }^2)\end{array}$

Werte von $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\varphi }_i\cdot {\psi }_{j}d\xi$	${\varphi }_1$	${\varphi }_2$	${\varphi }_3$	${\varphi }_4$
${\psi }_1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{{\ell }_i}{12}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{{\ell }_i}{12}$
${\psi }_2$	$\frac{7}{20}$	$\frac{{\ell }_i}{20}$	$\frac{3}{20}$	$-\frac{{\ell }_i}{30}$
${\psi }_3$	$\frac{3}{20}$	$\frac{{\ell }_i}{30}$	$\frac{7}{20}$	$-\frac{{\ell }_i}{20}$
${\psi }_4$	$\frac{1}{3}$	$\frac{{\ell }_i}{15}$	$\frac{1}{3}$	$-\frac{{\ell }_i}{15}$

Virtuelle Arbeiten

... der D'Alembert'sche Trägheitskräfte eines Finiten Elements

$\delta W^a=\underset{{\ell }_i}{\int }\varrho A{\ddot{w}}_i\cdot \delta w_{i}d{x}_i$

sind

$\delta W_i^a=-({{\delta }{W}}_{i-1},{{\delta }\mathrm{\Phi }}_{i-1},{{\delta }{W}}_i,{{\delta }\mathrm{\Phi }}_i)\cdot {\varrho }{A}{{\ell }}_{{i}}\cdot \left(\begin{array}{cccc}\frac{13}{35}& \frac{11{\ell }_i}{210}& \frac{9}{70}& -\frac{13{\ell }_i}{420}\\ \frac{11{\ell }_i}{210}& \frac{{\ell }_i^2}{105}& \frac{13{\ell }_i}{420}& -\frac{{\ell }_i^2}{140}\\ \frac{9}{70}& \frac{13{\ell }_i}{420}& \frac{13}{35}& -\frac{11{\ell }_i}{210}\\ -\frac{13{\ell }_i}{420}& -\frac{{\ell }_i^2}{140}& -\frac{11{\ell }_i}{210}& \frac{{\ell }_i^2}{105}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\ddot{W}}_{i-1}\\ {\ddot{\mathrm{\Phi }}}_{i-1}\\ {\ddot{W}}_i\\ {\ddot{\mathrm{\Phi }}}_i\end{array}\right)$

... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements

$\delta {\mathrm{\Pi }}_i=\underset{{\ell }_i}{\int }EI{w_i}^{″}\cdot \delta {w_i}^{″}d{x}_i$

sind

$\delta {\mathrm{\Pi }}_i=({{\delta }{W}}_{i-1},{{\delta }\mathrm{\Phi }}_{i-1},{{\delta }{W}}_i,{{\delta }\mathrm{\Phi }}_i)\frac{{E}{I}}{{\ell }_i^3}\left(\begin{array}{cccc}12& 6{\ell }_i& -12& 6{\ell }_i\\ 6{\ell }_i& 4{\ell }_i^2& -6{\ell }_i& 2{\ell }_i^2\\ -12& -6{\ell }_i& 12& -6{\ell }_i\\ 6{\ell }_i& 2{\ell }_i^2& -6{\ell }_i& 4{\ell }_i^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{W}_{i-1}\\ {\mathrm{\Phi }}_{i-1}\\ W_i\\ {\mathrm{\Phi }}_i\end{array}\right)$.

⚠ Drehrichtung der Koordinate ${\mathrm{\Phi }}_j$:

Die Drehung in diesem Modell ist entgegen der Rotation um die y-Achse definiert. Ein anderer Drehsinn führt zu anderen Vorzeichen in den System-Matrizen.

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Links

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Literature

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