Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 19. April 2021, 13:19 Uhr

Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.

Maxima-Code für die Element-Matrizen

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Element-Matrizen.

Trial-Functions

Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

\underline{Q} (t) = (\begin{array}{l} W_{i - 1} (t) \\ Φ_{i - 1} (t) \\ W_{i} (t) \\ Φ_{i} (t) \end{array})

.

Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung w(x,t) ist

w (x, t) = \sum_{i = 1}^{4} Q_{i} (t) \cdot ϕ_{i} (x)

Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass

\frac{d}{d x} w (x) |_{x = x_{i}} = Φ_{i}

.

Trialfunctions

Die einzelnen Trial-Functions sind:

linker Rand (Knoten "i-1")	rechter Rand (Knoten "i")
Trial-Function for W_i-1	Trial-Function for W_i
$ϕ_{1} (ξ) = (ξ - 1)^{2} \cdot (2 ξ + 1)$	$ϕ_{3} (ξ) = ξ^{2} \cdot (3 - 2 ξ)$
Trial-Function für Φ_i-1	Trial-Function für Φ_i
$ϕ_{2} (ξ) = ℓ_{i} \cdot ξ \cdot (ξ - 1)^{2}$	$ϕ_{4} (ξ) = ℓ_{i} \cdot ξ^{2} \cdot (ξ - 1)$

Faltungsintegrale

... für die symmetrische Massenmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

\frac{m_{i j}}{ϱ A} = \int_{0}^{ℓ} ϕ_{i} \cdot ϕ_{j} d x

	$ϕ_{1}$	$ϕ_{2}$	$ϕ_{3}$	$ϕ_{4}$
$ϕ_{1}$	$\frac{13}{35} ℓ_{i}$	$\frac{11}{210} ℓ_{i}^{2}$	$\frac{9}{70} ℓ_{i}$	$- \frac{13}{420} ℓ_{i}^{2}$
$ϕ_{2}$		$\frac{1}{105} ℓ_{i}^{3}$	$\frac{13}{420} ℓ_{i}^{2}$	$- \frac{1}{140} ℓ_{i}^{4}$
$ϕ_{3}$			$\frac{13}{35} ℓ_{i}$	$\frac{11}{210} ℓ_{i}^{2}$
$ϕ_{4}$	symm.			$\frac{1}{105} ℓ_{i}^{3}$

... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

\frac{k_{i j}}{E I} = \int_{0}^{ℓ} {ϕ_{i}}^{″} \cdot {ϕ_{j}}^{″} d x

	$ϕ^{'}'_{1}$	$ϕ^{'}'_{2}$	$ϕ^{'}'_{3}$	$ϕ^{'}'_{4}$
$ϕ^{'}'_{1}$	$\frac{12}{ℓ_{i}^{3}}$	$\frac{6}{ℓ_{i}^{2}}$	$- \frac{12}{ℓ_{i}^{3}}$	$\frac{6}{ℓ_{i}^{2}}$
$ϕ^{'}'_{2}$		$\frac{4}{ℓ_{i}}$	$- \frac{6}{ℓ_{i}^{2}}$	$\frac{2}{ℓ_{i}}$
$ϕ^{'}'_{3}$			$\frac{12}{ℓ_{i}^{3}}$	$- \frac{6}{ℓ_{i}^{2}}$
$ϕ^{'}'_{4}$	symm.			$\frac{4}{ℓ_{i}}$

Maxima-Code für die Rechte-Seite

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Spalten-Matrizen der Rechten-Seite des Gleichungssystems.

====... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten q₀∙ψ.

Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist

δ W^{a} = q_{0} \int_{0}^{ℓ} ψ (x) \cdot δ w (x) d x

Hier stehen die Faltungsintegrale beispielhaft für

\begin{array}{l} ψ_{1} = 1 \\ ψ_{2} = 1 - ξ \\ ψ_{3} = ξ \\ ψ_{4} = 4 \cdot (ξ - ξ^{2}) \end{array}

Links

...

Literature

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 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Maxima-Code
+{{MyCodeBlock|title=Maxima-Code für die Element-Matrizen
 |text=
-Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Elelemt-Matrizen.
+Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Element-Matrizen.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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 === Faltungsintegrale ===
-... für die symmetrische Massenmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
+====... für die symmetrische Massenmatrix====
+Tabelliert sind die Werte der Integrale
 ::<math>\displaystyle \frac{m_{ij}}{\varrho A} = \int_0^\ell \phi_i \cdot \phi_j \; dx</math>
 <table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
-<tr><th>                 </th><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th></tr>
+<tr><th>                 </th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2</math></td><td><math>\displaystyle \frac{9}{70}\;\ell_i</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi_1</math></th><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2</math></td><td><math>\displaystyle \frac{9}{70}\;\ell_i</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td><td><math>\displaystyle \frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td><td><math>\displaystyle -\frac{1}{140}\;\ell_i^4</math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi_2</math></th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td><td><math>\displaystyle \frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td><td><math>\displaystyle -\frac{1}{140}\;\ell_i^4</math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi_3</math></th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th><td>symm.</td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi_4</math></th><td>symm.</td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td></tr>
 </table>
-.. für die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
+====... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix====
+Tabelliert sind die Werte der Integrale
 ::<math>\displaystyle \frac{k_{ij}}{EI} = \int_0^\ell \phi_i'' \cdot \phi_j'' \; dx</math>
 <table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
-<tr><th>                 </th><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th></tr>
+<tr><th>                 </th><th><math>\phi''_1</math></th><th><math>\phi''_2</math></th><th><math>\phi''_3</math></th><th><math>\phi''_4</math></th></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>1</sub>''</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi''_1</math></th><td><math>\displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{6}{\ell_i^2}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{6}{\ell_i^2} </math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>2</sub>''</th><td>             </td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi''_2</math></th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{4}{\ell_i}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} </math></td><td><math>\displaystyle \frac{2}{\ell_i}</math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>3</sub>''</th><td>             </td><td>             </td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi''_3</math></th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} </math></td></tr>
-<tr><th>''ϕ<sub>4</sub>''</th><td>symm.        </td><td>             </td><td>             </td><td><math></math></td></tr>
+<tr><th><math>\phi''_4</math></th><td>symm.        </td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{4}{\ell_i} </math></td></tr>
 </table>
+{{MyCodeBlock|title=Maxima-Code für die Rechte-Seite
+|text=
+Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Spalten-Matrizen der Rechten-Seite des Gleichungssystems.
+|code=
+<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
+/*Loadiung-Fucntions*/
+psi: [1,
+      (1-xi),
+      xi,
+*(-xi^2+xi)];
+for j:1 thru length(psi) do
+   plot2d(psi[j],[xi,0,1], [y,-0.1,1.1],
+      [box, false], grid2d,
+      [yx_ratio, 1], [axes, solid], [xtics, 0, 1, 1],
+      [ytics, 0, 1, 1],
+      [ylabel, simplode (["ϕ[",j,"] →"])],
+      [xlabel, "ξ →"],
+      [style,[lines,3,2]])$
+/* convolution integrals */
+for i:1 thru length(phi) do
+   (print("***************************", i),
+    for j:1 thru length(psi) do
+       print(integrate(phi[i]*psi[j],xi,0,1)))$
+</syntaxhighlight>
+}}
+====... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten ''q<sub>0</sub>∙ψ''.
+Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist
-<hr/>
+::<math>\displaystyle \delta W^a = q_0 \int_0^\ell \psi(x)\cdot \delta w(x) \;\,dx</math>
+Hier stehen die Faltungsintegrale beispielhaft für
-<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
-<tr><th>                 </th><th><math>\Phi_1</math></th><th><math>\Phi_2</math></th><th><math>\Phi_3</math></th><th><math>\Phi_4</math></th></tr>
-<tr><th><math>\Phi_1</math></th><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2</math></td><td><math>\displaystyle \frac{9}{70}\;\ell_i</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
-<tr><th><math>\Phi_2</math></th><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td><td><math>\displaystyle \frac{13}{420}\;\ell_i^2 </math></td><td><math>\displaystyle -\frac{1}{140}\;\ell_i^4</math></td></tr>
-<tr><th><math>\Phi_3</math></th><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i </math></td><td><math>\displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2 </math></td></tr>
-<tr><th><math>\Phi_4</math></th><td>symm.</td><td>             </td><td>             </td><td><math>\displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3</math></td></tr>
-</table>
-.. für die symmetrische Steifigkeitsmatrix. Tabelliert sind die Werte der Integrale
-::<math>\displaystyle \frac{k_{ij}}{EI} = \int_0^\ell \phi_i'' \cdot \phi_j'' \; dx</math>
-<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
-<tr><th>                 </th><th><math>\Phi''_1</math></th><th><math>\Phi''_2</math></th><th><math>\Phi''_3</math></th><th><math>\Phi''_4</math></th></tr>
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-</table>
+::<math>\begin{array}{l}\psi_1 = 1\\\psi_2=1-\xi\\\psi_3=\xi\\\psi_4=4\cdot \left( \xi-{{\xi}^{2}}\right) \end{array}</math>
 <hr/>

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Faltungsintegrale

... für die symmetrische Massenmatrix

... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix

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