Gelöste Aufgaben/W8Zu

Aufgabenstellung

Zu den tabellierten Standardlösungen für den Euler-Bernoulli-Blaken berechnen wir eine Näherungslösung für einen beidseitig gelenkig gelagerten Euler-Bernoulli-Balken:

Caption

Gesucht ist eine Lösung in Anlehnung an das Verfahren von Ryleigh-Ritz.

Die Lösung nach einer Variante zu diesem Standardverfahren finden Sie hier in W8Zt.

Lösung mit Maxima

Mit dem Föppl-Symbol "<>", sowie

$\alpha =a/\ell$, $\beta =1-\alpha$ und $\xi =x/\ell$

ist die analytische Lösung:

$EIw(x)={\frac {\displaystyle F\ell ^{3}}{\displaystyle 6}}\left[\beta \xi (1-\beta ^{2}-\xi ^{2})+<\xi -\alpha >^{3}\right]$.

Bei dieser Lösung hat die unabhängige Koordinate x ihren Ursprung in A - wir verwenden unten einen anderen Ursprung!

Mit den passenden Ansatzfunktionen nach Ritz berechnen Sie eine Näherungslösung des Problems nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

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Header

Wir lösen das Problem mit Maxima.

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Declarations

In Maxima treffen wir die Annahme ℓ>0, damit einige Integrale richtig gelöst werden.

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Als unabhängige Koordinaten des Balkens wählen wir "x" entlang der Neutralen Faser mit Ursprung in der Mitte zwischen A und B.

Wir entscheiden uns zunächst für zwei abhängige Koordinaten des Systems

${\underline {q}}=\left({\begin{array}{c}V\\\Psi \end{array}}\right)$

Trial-Functions

und wählen V und ψ  als die Verschiebung und Verdrehung (=Neigung) des Querschnitts im Punkt x=0 des Balkens.

Jetzt brauchen wir zwei Ansatzfunktionen, die unseren Koordinaten V und ψ entsprechen. Wir wollen diese beiden anschaulich denken können - wir wählen einfache Polynome: eine achsensymmetrische und eine punktsymmetrische Funktion mit den noch unbestimmten Konstanten c_ij:

• ${{v}_{1}}\left(x\right):={{c}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+{{c}_{1,0}}$
• $v_{2}(x):=c_{2,3}\cdot x^{3}+c_{2,1}\cdot x$

Diese beiden Funktionen müssen

1. Geometrische Randbedingungen erfüllen und
2. jeweils mit den Koordinaten V und ψ verknüpft werden.

Die zugehörigen Gleichungen (= die Randbedingungen) sind

• ${{c}_{1,0}}=V,\;\;\;{\frac {\displaystyle {{c}_{1,2}}\cdot {{\ell }^{2}}}{\displaystyle 4}}+{{c}_{1,0}}=0$ und
• ${{c}_{2,1}}=\Psi ,\;\;\;{\frac {\displaystyle {{c}_{2,3}}\cdot {{\ell }^{3}}}{\displaystyle 8}}+{\frac {\displaystyle {{c}_{2,1}}\cdot \ell }{\displaystyle 2}}=0$

mit der Lösung

${\begin{array}{l}{{c}_{1,0}}=V,\\{{c}_{1,2}}=-{\frac {\displaystyle 4\cdot V}{{\displaystyle \ell }^{2}}},\\{{c}_{2,1}}=\Psi ,\\{{c}_{2,3}}=-{\frac {\displaystyle 4\cdot \Psi }{\displaystyle {{\ell }^{2}}}}\end{array}}$

Anstatt der exakten, bekannten Lösung, verwenden wir in diesem Näherungsansatz also nun die Funktion

$w\left(x\right)=-{\frac {\displaystyle 4\cdot {{x}^{2}}\cdot V}{\displaystyle {\ell }^{2}}}+V-{\frac {\displaystyle 4\cdot \Psi \cdot {{x}^{3}}}{\displaystyle {\ell }^{2}}}+\Psi \cdot x$,

mit den beiden Koordinaten V und ψ. die wir nun bestimmen müssen. Anschaulich können wir nun

$w(\xi )=V\cdot \phi _{1}(\xi )+\Phi \cdot \phi _{2}(\xi )$

mit

${\begin{array}{ll}\phi _{1}(\xi )&=1-4\cdot {{\xi }^{2}}\\\phi _{2}(\xi )&=\ell \cdot \xi -4\cdot \ell \cdot {{\xi }^{3}}\end{array}}$

Trial-Functions ϕ₁, ϕ₂

schreiben. So sehen die beiden Trial-Funktionen aus:

Klar ist: die exakte Lösung dieses Lastfalls ist eine Funktion, die im Querkraftverlauf am Kraftangriffspunkt (x=a - ℓ/2) einen Sprung hat. Dagegen ist der Querkraftverlauf unserer Näherungslösung stetig differenzierbar und obendrauf noch konstant!

Formfunctions

Text

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Mit dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie sind die Gleichgewichtsbedingungen

$\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0{\text{ für alle Koordinaten }}i.$,

dabei ist

$U=\Pi -A,\;\;{\text{ mit }}\Pi {\text{: elastisches Potential und }}A{\text{: Arbeit der Kraft F.}}$.

Einsetzen der Trial-Funktionen liefert

${\begin{array}{l}\displaystyle A=F\cdot \left(-{{\alpha }^{2}}\cdot V+V-{\frac {{{\alpha }^{3}}\cdot \ell \cdot \Psi }{2}}+{\frac {\alpha \cdot \ell \cdot \Psi }{2}}\right)\\\displaystyle \Pi ={\mathit {EI}}\cdot \int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}{{\left({\frac {{d}^{2}}{d\,{{x}^{2}}}}\cdot \left(\Psi \cdot x-{\frac {4\cdot \Psi \cdot {{x}^{3}}}{{\ell }^{2}}}+V-{\frac {4\cdot {{x}^{2}}\cdot V}{{\ell }^{2}}}\right)\right)}^{2}}dx\end{array}}$

und wir finden nach dem Ausführen der Differentiation und Integration

$\displaystyle U=-{\frac {64\cdot {\mathit {EI}}\cdot {{V}^{2}}}{{\ell }^{3}}}-{{\alpha }^{2}}\cdot F\cdot V+F\cdot V-{\frac {{{\alpha }^{3}}\cdot \ell \cdot \Psi \cdot F}{2}}+{\frac {\alpha \cdot \ell \cdot \Psi \cdot F}{2}}-{\frac {48\cdot {{\Psi }^{2}}\cdot {\mathit {EI}}}{\ell }}$

Achtung: hier bezeichnet nun α=-1 den Punkt A, α=+1 den Punkt B.

Die Koordinaten fassen wir zu

${\underline {q}}=\left({\begin{array}{c}V\\\Psi \end{array}}\right)$

zusammen und schreiben damit

$\displaystyle U({\underline {q}})={\frac {1}{2}}\;{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}-{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$

mit

${\underline {\underline {A}}}={\begin{pmatrix}\displaystyle -{\frac {64\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }^{3}}}&0\\0&\displaystyle -{\frac {48\cdot {\mathit {EI}}}{\ell }}\end{pmatrix}}$

und

${\underline {b}}={\begin{pmatrix}{{\alpha }^{2}}\cdot F-F\\\displaystyle {\frac {{{\alpha }^{3}}\cdot \ell \cdot F}{2}}-{\frac {\alpha \cdot \ell \cdot F}{2}}\end{pmatrix}}$

Mit dieser Formulierung sind wir bei den Minimum Prinzipen angekommen, die Lösung kommt aus dem linearen Gleichungssystem

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}={\underline {b}}$

Equilibrium Conditions

Text

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Die Lösung für die Koordinaten q ist

${\begin{array}{l}V=\displaystyle -{\frac {\left({{\alpha }^{2}}-1\right)\cdot {{\ell }^{3}}\cdot F}{64\cdot {\mathit {EI}}}}\\\Psi =\displaystyle -{\frac {\left({{\alpha }^{3}}-\alpha \right)\cdot {{\ell }^{2}}\cdot F}{96\cdot {\mathit {EI}}}}\end{array}}$

Solve

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Die Lösung normieren wir noch für das Post-Processing mit der analytischen maximalen Auslenkung im symmetrischen Belastungsfall (wenn F in der Mitte zwischen A und B angreift):

Wir tragen sie für verschiedene Kraft-Angriffspunkte (α=-1,...α=+1) auf:

Auslenkung w(x) am Kraftangriffspunkt

⚠ Wissen Sie ...:

... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Koeffizienten bzgl. von α an - was erkennen Sie?

Post-Process

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Title

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Und wir schauen uns für α=1/2 die Verschiebung der Ritz- und analytischen-Lösung im Vergleich an:

Vergleich von analytischer / numerischer Lösung für w(x)

✔ Und wissen Sie auch ...:

... wie der Verlauf der Querkraft im Vergleich Ritz / analytisch aussieht?

Post-Process: Compare with Analytic Solution

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