Gelöste Aufgaben/W8Zu

Aufgabenstellung

Zu den tabellierten Standardlösungen für den Euler-Bernoulli-Blaken berechnen wir eine Näherungslösung für einen beidseitig gelenkig gelagerten Euler-Bernoulli-Balken:

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Gesucht ist eine Lösung in Anlehnung an das Verfahren von Ryleigh-Ritz.

Die Lösung nach einer Variante zu diesem Standardverfahren finden Sie hier in W8Zt.

Lösung mit Maxima

Mit dem Föppl-Symbol "<>", sowie

$\alpha =a/\ell$, $\beta =1-\alpha$ und $\xi =x/\ell$

ist die analytische Lösung:

$EIw(x)=\frac{F{\ell }^3}{6}[\beta \xi (1-{\beta }^2-{\xi }^2)+<\xi -\alpha {>}^3]$.

Bei dieser Lösung hat die unabhängige Koordinate x ihren Ursprung in A - wir verwenden unten einen anderen Ursprung!

Mit den passenden Ansatzfunktionen nach Ritz berechnen Sie eine Näherungslösung des Problems nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

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Header

Wir lösen das Problem mit Maxima.

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Declarations

In Maxima treffen wir die Annahme ℓ>0, damit einige Integrale richtig gelöst werden.

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Als unabhängige Koordinaten des Balkens wählen wir "x" entlang der Neutralen Faser mit Ursprung in der Mitte zwischen A und B.

Wir entscheiden uns zunächst für zwei abhängige Koordinaten des Systems

$\underset{\_}{q}=\left(\begin{array}{c}V\\ \mathrm{\Psi }\end{array}\right)$

Trial-Functions

und wählen V und ψ  als die Verschiebung und Verdrehung (=Neigung) des Querschnitts im Punkt x=0 des Balkens.

Jetzt brauchen wir zwei Ansatzfunktionen, die unseren Koordinaten V und ψ entsprechen. Wir wollen diese beiden anschaulich denken können - wir wählen einfache Polynome: eine achsensymmetrische und eine punktsymmetrische Funktion mit den noch unbestimmten Konstanten c_ij:

• $v_1\left(x\right):=c_{1,2}\cdot x^2+c_{1,0}$
• $v_2(x):=c_{2,3}\cdot x^3+c_{2,1}\cdot x$

Diese beiden Funktionen müssen

1. Geometrische Randbedingungen erfüllen und
2. jeweils mit den Koordinaten V und ψ verknüpft werden.

Die zugehörigen Gleichungen (= die Randbedingungen) sind

• $c_{1,0}=V,\frac{c_{1,2}\cdot {\ell }^2}{4}+c_{1,0}=0$ und
• $c_{2,1}=\mathrm{\Psi },\frac{c_{2,3}\cdot {\ell }^3}{8}+\frac{c_{2,1}\cdot \ell }{2}=0$

mit der Lösung

$\begin{array}{l}{c}_{1,0}=V,\\ c_{1,2}=-\frac{4\cdot V}{{\ell }^2},\\ c_{2,1}=\mathrm{\Psi },\\ c_{2,3}=-\frac{4\cdot \mathrm{\Psi }}{{\ell }^2}\end{array}$

Anstatt der exakten, bekannten Lösung, verwenden wir in diesem Näherungsansatz also nun die Funktion

$w\left(x\right)=-\frac{4\cdot x^2\cdot V}{{\ell }^2}+V-\frac{4\cdot \mathrm{\Psi }\cdot x^3}{{\ell }^2}+\mathrm{\Psi }\cdot x$,

mit den beiden Koordinaten V und ψ. die wir nun bestimmen müssen. Anschaulich können wir nun

$w(\xi )=V\cdot {\varphi }_1(\xi )+\mathrm{\Phi }\cdot {\varphi }_2(\xi )$

mit

$\begin{array}{ll}{\varphi }_1(\xi )& =1-4\cdot {\xi }^2\\ {\varphi }_2(\xi )& =\ell \cdot \xi -4\cdot \ell \cdot {\xi }^3\end{array}$

Trial-Functions ϕ₁, ϕ₂

schreiben. So sehen die beiden Trial-Funktionen aus:

Klar ist: die exakte Lösung dieses Lastfalls ist eine Funktion, die im Querkraftverlauf am Kraftangriffspunkt (x=a - ℓ/2) einen Sprung hat. Dagegen ist der Querkraftverlauf unserer Näherungslösung stetig differenzierbar und obendrauf noch konstant!

Formfunctions

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Mit dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie sind die Gleichgewichtsbedingungen

$\frac{\partial U}{\partial q_i}\stackrel{!}{=}0\text{ für alle Koordinaten }i.$,

dabei ist

$U=\mathrm{\Pi }-A,\text{ mit }\mathrm{\Pi }\text{: elastisches Potential und }A\text{: Arbeit der Kraft F.}$.

Einsetzen der Trial-Funktionen liefert

$\begin{array}{l}A=F\cdot (-{\alpha }^2\cdot V+V-\frac{{\alpha }^3\cdot \ell \cdot \mathrm{\Psi }}{2}+\frac{\alpha \cdot \ell \cdot \mathrm{\Psi }}{2})\\ \mathrm{\Pi }={E}{I}\cdot \underset{-\frac{\ell }{2}}{\overset{\frac{\ell }{2}}{\int }}{(\frac{d^2}{d{x}^2}\cdot (\mathrm{\Psi }\cdot x-\frac{4\cdot \mathrm{\Psi }\cdot x^3}{{\ell }^2}+V-\frac{4\cdot x^2\cdot V}{{\ell }^2}))}^{2}dx\end{array}$

und wir finden nach dem Ausführen der Differentiation und Integration

$U=-\frac{64\cdot {E}{I}\cdot V^2}{{\ell }^3}-{\alpha }^2\cdot F\cdot V+F\cdot V-\frac{{\alpha }^3\cdot \ell \cdot \mathrm{\Psi }\cdot F}{2}+\frac{\alpha \cdot \ell \cdot \mathrm{\Psi }\cdot F}{2}-\frac{48\cdot {\mathrm{\Psi }}^2\cdot {E}{I}}{\ell }$

Achtung: hier bezeichnet nun α=-1 den Punkt A, α=+1 den Punkt B.

Die Koordinaten fassen wir zu

$\underset{\_}{q}=\left(\begin{array}{c}V\\ \mathrm{\Psi }\end{array}\right)$

zusammen und schreiben damit

$U(\underset{\_}{q})=\frac{1}{2}{\underset{\_}{q}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{q}-{\underset{\_}{q}}^T\cdot \underset{\_}{b}$

mit

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{64\cdot {E}{I}}{{\ell }^3}& 0\\ 0& -\frac{48\cdot {E}{I}}{\ell }\end{array}\right)$

und

$\underset{\_}{b}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }^2\cdot F-F\\ \frac{{\alpha }^3\cdot \ell \cdot F}{2}-\frac{\alpha \cdot \ell \cdot F}{2}\end{array}\right)$

Mit dieser Formulierung sind wir bei den Minimum Prinzipen angekommen, die Lösung kommt aus dem linearen Gleichungssystem

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{q}=\underset{\_}{b}$

Equilibrium Conditions

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Die Lösung für die Koordinaten q ist

$\begin{array}{l}V=-\frac{({\alpha }^2-1)\cdot {\ell }^3\cdot F}{64\cdot {E}{I}}\\ \mathrm{\Psi }=-\frac{({\alpha }^3-\alpha )\cdot {\ell }^2\cdot F}{96\cdot {E}{I}}\end{array}$

Solve

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Die Lösung normieren wir noch für das Post-Processing mit der analytischen maximalen Auslenkung im symmetrischen Belastungsfall (wenn F in der Mitte zwischen A und B angreift):

Wir tragen sie für verschiedene Kraft-Angriffspunkte (α=-1,...α=+1) auf:

Auslenkung w(x) am Kraftangriffspunkt

⚠ Wissen Sie ...:

... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Koeffizienten bzgl. von α an - was erkennen Sie?

Post-Process

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Title

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Und wir schauen uns für α=1/2 die Verschiebung der Ritz- und analytischen-Lösung im Vergleich an:

Vergleich von analytischer / numerischer Lösung für w(x)

✔ Und wissen Sie auch ...:

... wie der Verlauf der Querkraft im Vergleich Ritz / analytisch aussieht?

Post-Process: Compare with Analytic Solution

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