Gelöste Aufgaben/W8Zt

Aufgabenstellung

Zu den tabellierten Standardlösungen für den Euler-Bernoulli-Blaken berechnen wir eine Näherungslösung für einen beidseitig gelenkig gelagerten Euler-Bernoulli-Balken:

Caption

Gesucht ist eine Lösung in Anlehnung an das Verfahren von Ritz - bei dem wir mit Formfunktionen arbeiten, die sich über die gesamte Balkenlänge erstrecken, wir aber im dann mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen arbeiten.

Üblich ist bei Verfahren von Rayleigh-Ritz nämlich sonst das Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

Lösung mit Maxima

Mit dem Föppl-Symbol "<>",

$\alpha =a/\ell$, $\beta =1-\alpha$ und $\xi =x/\ell$

ist die analytische Lösung:

$EIw(x)={\frac {\displaystyle F\ell ^{3}}{\displaystyle 6}}\left[\beta \xi (1-\beta ^{2}-\xi ^{2})+<\xi -\alpha >^{3}\right]$.

Bei dieser Lösung hat die unabhängige Koordinate x ihren Ursprung in A - wir verwenden unten einen anderen Ursprung!

Mit den passenden Ansatzfunktionen nach Ritz berechnen Sie eine Näherungslösung des Problems.

tmp

Hier arbeiten wir mit Maxima.

Header

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Wir definieren zunächst die Symbole für die virtuellen Arbeiten und die virtuellen Verrückungen - die in Maxima nicht standardmäßig verfügbar sind.

Die Annahme ℓ>0 brauchen wir, damit Maxima Wurzel-Ausdrücke mit diesem Parameter richtig vereinfachen kann.

Declarations

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tmp

Als unabhängige Koordinaten des Balkens wählen wir "x" entlang der Neutralen Faser mit Ursprung in der Mitte zwischen A und B.

Wir entscheiden uns zunächst für zwei abhängige Koordinaten des Systems und deren Variationen (δ)

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}V\\\Psi \end{array}}\right),\delta {\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}\delta V\\\delta \Psi \end{array}}\right),$

und wählen V und ψ  als die Verschiebung und Verdrehung (=Neigung) des Querschnitts im Punkt x=0 des Balkens.

Jetzt brauchen wir zwei Ansatzfunktionen, die unseren Koordinaten V und ψ entsprechen. Wir wollen diese beiden anschaulich denken können - wir wählen einfache Polynome: eine achsensymmetrische und eine punktsymmetrische Funktion mit den noch unbestimmten Konstanten c_ij:

• ${{v}_{1}}\left(x\right):={{c}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+{{c}_{1,0}}$
• $v_{2}(x):=c_{2,3}\cdot x^{3}+c_{2,1}\cdot x$

Diese beiden Funktionen müssen

1. Geometrische Randbedingungen erfüllen und
2. jeweils mit den Koordinaten V und ψ  verknüpft werden.

Die zugehörigen Gleichungen (= die Randbedingungen) sind

• ${{c}_{1,0}}=V,{\frac {\displaystyle {{c}_{1,2}}\cdot {{\ell }^{2}}}{\displaystyle 4}}+{{c}_{1,0}}=0$ und
• ${{c}_{2,1}}=\Psi ,{\frac {\displaystyle {{c}_{2,3}}\cdot {{\ell }^{3}}}{\displaystyle 8}}+{\frac {\displaystyle {{c}_{2,1}}\cdot \ell }{\displaystyle 2}}=0$

mit der Lösung

${{c}_{1,0}}=V,{{c}_{1,2}}=-{\frac {\displaystyle 4\cdot V}{{\displaystyle \ell }^{2}}},{{c}_{2,1}}=\Psi ,{{c}_{2,3}}=-{\frac {\displaystyle 4\cdot \Psi }{\displaystyle {{\ell }^{2}}}}$

Trial-Functions

Anstatt der exakten, bekannten Lösung, verwenden wir in diesem Näherungsansatz also nun die Funktion

$\mathrm {w} \left(x\right)=-{\frac {\displaystyle 4\cdot {{x}^{2}}\cdot V}{\displaystyle {\ell }^{2}}}+V-{\frac {\displaystyle 4\cdot \Psi \cdot {{x}^{3}}}{\displaystyle {\ell }^{2}}}+\Psi \cdot x$,

die beiden Koordinaten V und ψ müssen wir noch bestimmen. Die Funktionen, die zu V und ψ gehören, sind rechts aufgetragen:

Klar ist: die exakte Lösung dieses Lastfalls ist eine Funktion, die im Querkraftverlauf am Kraftangriffspunkt (x=a - ℓ/2) einen Sprung hat. Dagegen ist der Querkraftverlauf unserer Näherungslösung stetig differenzierbar und obendrauf noch konstant!

Formfunctions

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tmp

Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen ist die Gleichgewichtsbedingung immer

$\delta W=\delta A-\delta \Pi$

Mit den Beiträgen

$\delta A=F\cdot \delta w\left({{x}_{F}}\right),\delta \Pi =\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\left({\frac {{d}^{2}}{d\,{{x}^{2}}}}\cdot w\left(x\right)\right)\cdot \left({\frac {{d}^{2}}{d\,{{x}^{2}}}}\cdot \delta w\left(x\right)\right)dx\cdot EI$

und dem Einsetzen der Ansatzfunktionen und deren Variation finden wir

${\begin{array}{ll}\delta W=&-{\frac {\displaystyle \left(64\cdot EI\cdot V+({{\alpha }^{2}}-1)\cdot {{\ell }^{3}}\cdot F\right)}{\displaystyle {\ell }^{3}}}\cdot \delta V\\&+{\frac {\displaystyle {{\ell }^{2}}\cdot \left(\alpha \cdot ({{\alpha }^{2}}-1)\cdot {{\ell }^{2}}\cdot F+96\cdot \Psi \cdot EI\right)}{\displaystyle 2\cdot {{\ell }^{3}}}}\cdot \delta \Psi \end{array}}$

Achtung: hier bezeichnet nun α=-1 den Punkt A, α=+1 den Punkt B.

Diese virtuelle Arbeit des Gesamtsystems spalten wir jetzt nach den virtuellen Verrückungen auf und erhalten zwei unabhängige Gleichungen in V und ψ:

${\begin{array}{cc}-{\frac {\displaystyle \left({{\alpha }^{2}}-1\right)\cdot {{\ell }^{3}}\cdot F+64\cdot EI\cdot V}{\displaystyle {{\ell }^{3}}}}&=0\\-{\frac {\displaystyle 96\cdot \Psi \cdot EI+\left({{\alpha }^{3}}-\alpha \right)\cdot {{\ell }^{2}}\cdot F}{\displaystyle 2\cdot \ell }}&=0\end{array}}$

Und die können wir leicht lösen:

Equilibrium Conditions

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In Matrix-Schreibweise stellen wir diesen Ausdruck gewöhnliches lineares Gleichungssystem dar:

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$

mit

${\underline {\underline {A}}}=EI\cdot {\begin{pmatrix}-{\frac {\displaystyle 64}{\displaystyle {{\ell }^{3}}}}&0\\0&-{\frac {\displaystyle 48}{\displaystyle \ell }}\end{pmatrix}},{\underline {b}}=F\cdot (\alpha ^{2}-1)\cdot {\begin{pmatrix}{1}\\{\frac {\displaystyle \alpha \cdot \ell }{\displaystyle 2}}\end{pmatrix}}$

sieht das Gleichungssystem wieder handlich aus, die Lösung ist:

$V=-{\frac {\displaystyle \left({{\alpha }^{2}}-1\right)\cdot {{\ell }^{3}}}{\displaystyle 64\cdot EI}}\cdot F,\;\;\;\Psi =-{\frac {\displaystyle \left({{\alpha }^{3}}-\alpha \right)\cdot {{\ell }^{2}}}{\displaystyle 96\cdot EI}}\cdot F$

⚠ Und wissen Sie auch ....:

... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Koeffizienten bzgl. von α an - was erkennen Sie?

Solve

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Die Lösung normieren wir noch für das Post-Processing mit der analytischen maximalen Auslenkung im symmetrischen Belastungsfall (wenn F in der Mitte zwischen A und B angreift):

$s={\frac {\displaystyle \ell ^{3}}{\displaystyle 48EI}}\cdot F$

Wir tragen sie für verschiedene Kraft-Angriffspunkte (α=-1,...α=+1) auf:

Parameterstudie: Auslenkung w(a) des Kraft-Einleitungspunktes

Post-Process

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<Links

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Literature

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Koordinaten

Lageplan

Vergleich der Biegelinie für analytische / numerische Lösung