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Version vom 13. April 2021, 08:36 Uhr
Aufgabenstellung
Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch eine linear veränderliche Streckenlast belastet. Gesucht ist die Lösung für w(x) mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Functions.
Lösung mit Matlab
Für dieses Problem finden wir in der Literatur die tabellierte Musterlösung
.
Die verwenden wir als Referenz, um die Qualität unserer Näherungslösung zu bewerten. Die Auslenkung der analytischen Lösung ist am rechten Rand (x=l) ist maximal und beträgt
Damit können wir die beiden Lösungen vergleichen und die Bewegungsgleichung nach Ritz dimensionslos machen.
Für den Ritz-Ansatz brauchen wir die Terme der Potentiellen Energie des Systems
,
wobei Π die Formänderungsenergie ist und A die Arbeitsfunktion der äußeren Last q(x).
Es ist
Für den Ritz-Ansatz verwenden wir Ganzfeld-Ansätze - also Formfunktionen für die Näherung der exakten Lösung, die sich über die gesamte Balkenlänge erstrecken.
Der Ansatz ist allgemein
,
wobei die ϕi die linear unabhängigen Formfunktionen und die Wi die Wichtungsfaktoren sind, die wir so bestimmen, dass die Gesamtlösung bestmöglich die gesuchte Funktion approximiert.
Für die wählen wir ausschließlich Polynome - die können wir bequem differenzieren und integrieren.
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Header
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Formfunctions
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Potential Energy
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