Gelöste Aufgaben/TkPb: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 9. April 2021, 09:14 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stabwerk aus 5 Stäben wird durch eine Kraft F belastet. Alle Stäbe haben die Länge a.

Hier soll eine einfache Stabwerksaufgabe gelöste werden - aber im Hintergrund geht es eigentlich darum, wie dieser Lösungsprozess in einer Software - hier Maxima - umgesetzt wird.

Gesucht sind die Stab- und Lagerreaktionskräfte des Systems nach dem Knotenpunktverfahren.

Lösung "per Hand" und mit Maxima

Beide Lösungsansätz verfolgen wir parallel - bis wir zur Lösung des Gleichungssystems kommen.

tmp

Hier steht nur die Maxima-Headerdatei. Sie soll später helfen, die richtige Versionsnummer der Software zu finden und Ansprechpartner für Nachfragen zu identifizieren.

Header

Text

tmp

Wir nummerieren zunächst die Knoten und Stäbe, damit wir sie im weiteren Lösungsverlauf eindeutig ansprechen können.

Und ein bischen Geometrie Geometrie müssen wir auch ansetzen, um die sin- und cos-Beziehungen von α zu bekommen:

Wir setzen also

$\cos (α) = \frac{1}{2}, \sin (α) = \frac{1}{2} \sqrt{3} .$

Declarations

Text

tmp

Wir schreiben je Knoten die zwei Gleichgewichtsbedingungen an, die Koeffizienten schreiben wir dabei schon mal so an, wie sie hinterher in der System-Matrix auftauchen sollen:

Equilibrium Conditions

Text

tmp

Haben wir genug Gleichungen für alle Unbekannten?

Ja - so sieht es aus.

Check for Solvability

Text

tmp

Effiziente Löser für Systeme linearer Gleichungen implementieren gewöhnlich eine LU-Faktorisierung. Für dieses Mini-Beispiel können wir uns das anschauen:

Und die Lösung ist

Solving

Text

tmp

Existieren Winkel von α, so dass keine Lösung möglich ist?

$det (\underline{\underline{A}}) = - 3 \cdot cos (α) \cdot {sin (α)}^{2}$

Nur für die WInkel α=0, 90° - und die sind physikalisch nicht sinnvoll.

Also:Nein!

Post-Processing

Text

Knoten I	Knoten II
Knoten III	Knoten IV

Links

...

Literature

...

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 ==Aufgabenstellung==
-SOME TEXT
+Ein Stabwerk aus 5 Stäben wird durch eine Kraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Länge ''a''.
+Hier soll eine einfache Stabwerksaufgabe gelöste werden - aber im Hintergrund geht es eigentlich darum, wie dieser Lösungsprozess in einer Software - hier Maxima - umgesetzt wird.
 <onlyinclude>
 [[Datei:TkPb-01.png|200px|left|mini|Lageplan]]
-Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
+Gesucht sind die Stab- und Lagerreaktionskräfte des Systems nach dem Knotenpunktverfahren.
 </onlyinclude>
-== Lösung mit Maxima ==
+== Lösung "per Hand" und mit Maxima ==
-Lorem Ipsum ....
+Beide Lösungsansätz verfolgen wir parallel - bis wir zur Lösung des Gleichungssystems kommen.
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Hier steht nur die Maxima-Headerdatei. Sie soll später helfen, die richtige Versionsnummer der Software zu finden und Ansprechpartner für Nachfragen zu identifizieren.<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Header
 |text=Text
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Schema-1-2-.png|rahmenlos]][[Datei:TkPb-11.png|mini|Knoten und Stäbe nummerieren.]]Wir nummerieren zunächst die Knoten und Stäbe, damit wir sie im weiteren Lösungsverlauf eindeutig ansprechen können.
+Und ein bischen Geometrie Geometrie müssen wir auch ansetzen, um die sin- und cos-Beziehungen von ''α'' zu bekommen:
+[[Datei:TkPb-12.png|mini|Geometrie-Zusammenhänge.|alternativtext=|links|287x287px]][[Datei:Schema-2-2-.png|rahmenlos]]
+Wir setzen also
+<math>\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{2}, \; \sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3}.</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Declarations
 |text=Text
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Schema-3-2-.png|rahmenlos]]
+[[Datei:TkPb-13.png|mini|Die Gleichgewichtsbedingungen ...|alternativtext=|500x500px]]Wir schreiben je Knoten die zwei Gleichgewichtsbedingungen an, die Koeffizienten schreiben wir dabei schon mal so an, wie sie hinterher in der System-Matrix auftauchen sollen:
+[[Datei:TkPb-14.png|mini|... formuliert in Maxima.|alternativtext=|links|400x400px]]<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
 |text=Text
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Schema-4-2-.png|rahmenlos]]
+[[Datei:TkPb-15.png|mini|Haben wir genug Gleichungen für alle Unbekannten?|alternativtext=|400x400px]]Ja - so sieht es aus.<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Check for Solvability
 |text=Text
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Schema-5-2-.png|rahmenlos]]
+Effiziente Löser für Systeme linearer Gleichungen implementieren gewöhnlich eine LU-Faktorisierung. Für dieses Mini-Beispiel können wir uns das anschauen:
+[[Datei:TkPb-16.png|mini|LU-Faktorisierung von A|alternativtext=|808x808px]]
+Und die Lösung ist
+[[Datei:TkPb-17.png|mini|Lösung aus Maxima.|alternativtext=|links|226x226px]]<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Solving
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Schema-6-2-.png|rahmenlos]]
+Existieren Winkel von α, so dass keine Lösung möglich ist?
+<math>\text{det}(\underline{\underline{A}}) = -3\cdot \text{cos}\left( \alpha\right) \cdot {{\text{sin}\left( \alpha\right) }^{2}}</math>
+Nur für die WInkel α=0, 90° - und die sind physikalisch nicht sinnvoll.
+Also:Nein!<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Post-Processing
 |text=Text
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 <table class="wikitable" style="background-color:white;">
-<tr><th></th><th></th></tr>
+<tr><td>Knoten I
-<tr><td></td><td></td></tr>
-</table>
+[[Datei:TkPb-Knoten-01.png|rahmenlos|alternativtext=|100x100px]]
+</td><td>Knoten II
+[[Datei:TkPb-Knoten-02.png|rahmenlos|alternativtext=|130x130px]]
+</td></tr><tr><td>Knoten III
+[[Datei:TkPb-Knoten-03.png|rahmenlos|alternativtext=|130x130px]]
+</td><td>Knoten IV
+[[Datei:TkPb-Knoten-04.png|rahmenlos|alternativtext=|130x130px]]
+</td></tr></table>
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 '''Literature'''
 * ...
-[[Datei:Schema-1-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:Schema-2-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:Schema-3-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:Schema-4-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:Schema-5-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:Schema-6-2-.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TkPb-11.png|mini|Knoten und Stäbe nummerieren.]]
-[[Datei:TkPb-01.png|mini|Lageplan]]
-[[Datei:TkPb-12.png|mini|Geometrie]]
-[[Datei:TkPb-Knoten-01.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TkPb-Knoten-02.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TkPb-Knoten-03.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TkPb-14.png|mini|Gleichungssystem in Maxima]]
-[[Datei:TkPb-15.png|mini|genug Gleichungen für alle Unbekannten?]]
-[[Datei:TkPb-Knoten-04.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TkPb-17.png|mini|Lösung aus Maxima.]]
-[[Datei:TkPb-16.png|mini|LU-Faktorisierung von A]]
-[[Datei:TkPb-13.png|mini|Gleichungssystem]]

Gelöste Aufgaben/TkPb: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. April 2021, 09:14 Uhr

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Aufgabenstellung

Lösung "per Hand" und mit Maxima