Gelöste Aufgaben/TC12

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Lageplan

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Parameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung<br/ $E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}$ berschrieben wird.
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-08                            */
/* ref: TM-C, Labor 1                                  */
/* description: analytic solution for EBB with         */
/*              two sections                           */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

${\begin{array}{ll}{{\mathit {EI}}_{2}}&=2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\\{{\ell }_{2}}&\displaystyle ={\frac {{\ell }_{1}}{2}}\\r&=\displaystyle {\frac {{\ell }_{1}}{4}}\\{{M}_{B}}&={{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\\{{k}_{B}}&\displaystyle ={\frac {3\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{3}}}\\w_{max}&=90{\text{mm}}\end{array}}$.

Weitere brauchen nicht.

/* parameter */
params : [EI[2]= 2*EI[1],
          l[2] = l[1]/2,
          r=l[1]/4,
          M[B] = q[0]*l[1]^2,
          k[B] = 3*EI[1]/l[1]^3];

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}{\text{ mit }}q(x_{i})=q_{0}\cdot \phi _{0}(\xi )+q_{1}\cdot \phi _{1}(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

${\begin{array}{l}{{w}_{1}}\left(x\right):={\frac {24\cdot {{C}_{1,0}}+24\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+{{q}_{0}}\cdot {{x}^{4}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\{{\phi }_{1}}\left(x\right):={\frac {24\cdot {{C}_{1,1}}+24\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{3}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\{{M}_{1}}\left(x\right):=-{\frac {24\cdot {{C}_{1,2}}+24\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+12\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{2}}}{24}}\\{{Q}_{1}}\left(x\right):=-{\frac {24\cdot {{C}_{1,3}}+24\cdot {{q}_{0}}\cdot x}{24}}\end{array}}$

... für Bereich II:

${\begin{array}{l}{{w}_{2}}\left(x\right):={\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{{\phi }_{2}}\left(x\right):={\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{{M}_{2}}\left(x\right):=-{\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}}\\{{Q}_{2}}\left(x\right):=-{{C}_{2,3}}\end{array}}$.

/* solve partial differential equation ....*/
dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0];

/* generic solution */
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3]           ],
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  ]];

/* section I */
define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));

/* section II */
define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));

Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$\left[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen $w_{1}(0)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $M_{A}=0{\text{ mit }}M_{A}=-EI_{1}\cdot w''(x)|_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_{1}(\ell _{1})=w_{2}(\ell _{1})$ $\phi _{1}(\ell _{1})=\phi _{2}(\ell _{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}-M_{B0}+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-k_{B}\cdot w_{B}+-Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen $w_{C}=r\cdot \Phi _{C}{\text{ mit }}\Phi _{C}=-\phi _{2}(l_{2})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $r\cdot Q_{C}+M_{C}=0$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

${\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {{C}_{1,0}}{{\mathit {EI}}_{1}}}&=0\\\displaystyle -{{C}_{1,2}}&=0\\\displaystyle {\frac {{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}+{\frac {{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}+{\frac {{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{\mathit {EI}}_{1}}}+{\frac {{C}_{1,0}}{{\mathit {EI}}_{1}}}+{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}&={\frac {{C}_{2,0}}{{\mathit {EI}}_{2}}}\\\displaystyle {\frac {{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}+{\frac {{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{\mathit {EI}}_{1}}}+{\frac {{C}_{1,1}}{{\mathit {EI}}_{1}}}+{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}&={\frac {{C}_{2,1}}{{\mathit {EI}}_{2}}}\\\displaystyle -{\frac {{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{\mathit {EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\\\displaystyle -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}}&={{M}_{B}}\\\displaystyle -{\frac {{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}-{\frac {{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{\mathit {EI}}_{2}}}-{\frac {{{C}_{2,1}}\cdot r}{{\mathit {EI}}_{2}}}&=\displaystyle {\frac {{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}+{\frac {{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}+{\frac {{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{\mathit {EI}}_{2}}}+{\frac {{C}_{2,0}}{{\mathit {EI}}_{2}}}\\\displaystyle -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0\end{array}}$

für die Integrationskonstanten.

/* boundary conditions */
node[A]: [ w[1](0) = 0,
           M[1](0) = 0];
node[B]: [ w[1](l[1]) = w[2](0),
           Phi[1](l[1]) = Phi[2](0),
          -Q[1](l[1]) -k[B]*w[2](0) +Q[2](0) = 0,
          -M[1](l[1])               +M[2](0) = M[B]];
node[C]: [-Phi[2](l[2])*r = w[2](l[2]),
          r*Q[2](l[2]) +  M[2](l[2]) = 0];
BCs : expand(append(node[A],node[B],node[C]));         
ICs : [C[1,0],C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[2,0],C[2,1],C[2,2],C[2,3]];

Prepare for Solver

Das Gleichungssystem wollen wir als

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$

schreiben, also

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{pmatrix}“): {\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver |text= Das Gleichungssystem wollen wir als ::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}}

schreiben, also

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{1}}}&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0\\{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{1}}}&{\frac {{\ell }_{1}}{{\mathit {EI}}_{1}}}&{\frac {{\ell }_{1}^{2}}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}&{\frac {{\ell }_{1}^{3}}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}&-{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{2}}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{1}}}&{\frac {{\ell }_{1}}{{\mathit {EI}}_{1}}}&{\frac {{\ell }_{1}^{2}}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}&0&-{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{2}}}&0&0\\0&0&0&1&-{\frac {{k}_{B}}{{\mathit {EI}}_{2}}}&0&0&-1\\0&0&1&{{\ell }_{1}}&0&0&-1&0\\0&0&0&0&-{\frac {1}{{\mathit {EI}}_{2}}}&-{\frac {{{\ell }_{2}}+r}{{\mathit {EI}}_{2}}}&-{\frac {{{\ell }_{2}^{2}}+2\cdot {{\ell }_{2}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}&-{\frac {{{\ell }_{2}^{3}}+3\cdot {{\ell }_{2}^{2}}\cdot r}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\0&0&0&0&0&0&-1&-r-{{\ell }_{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{{C}_{1,0}}\\{{C}_{1,1}}\\{{C}_{1,2}}\\{{C}_{1,3}}\\{{C}_{2,0}}\\{{C}_{2,1}}\\{{C}_{2,2}}\\{{C}_{2,3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\-{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}\\{{M}_{B}}-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}}$.

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

${\begin{array}{l}a_{1,1}=1/EI_{1}\\a_{2,3}=-1\\a_{3,1}=1/EI_{1}\\a_{3,2}=\ell _{1}/EI_{1}\\a_{3,3}=\ell _{1}^{2}/(2\cdot EI_{1})\\a_{3,4}=\ell _{1}^{3}/(6\cdot EI_{1})\\a_{3,5}=-1/EI_{2}\\a_{4,2}=1/EI_{1}\\a_{4,3}=\ell _{1}/EI_{1}\\a_{4,4}=\ell _{1}^{2}/(2\cdot EI_{1})\\a_{4,6}=-1/EI_{2}\\a_{5,4}=1\\a_{5,5}=-k_{B}/EI_{2}\\a_{5,8}=-1\\a_{6,3}=1\\a_{6,4}=\ell _{1}\\a_{6,7}=-1\\a_{7,5}=-1/EI_{2}\\a_{7,6}=-(r+\ell _{2})/EI_{2}\\a_{7,7}=-(2\cdot \ell _{2}\cdot r+\ell _{2}^{2})/(2\cdot EI_{2})\\a_{7,8}=-(3\cdot \ell _{2}^{2}\cdot r+\ell _{2}^{3})/(6\cdot EI_{2})\\a_{8,7}=-1\\a_{8,8}=-r-\ell _{2}\\\end{array}}$

und für die rechte Seite

${\begin{array}{l}b_{1}=0\\b_{2}=0\\b_{3}=-(q_{0}\cdot \ell _{1}^{4})/(24\cdot EI_{1})\\b_{4}=-(q_{0}\cdot \ell _{1}^{3})/(6\cdot EI_{1})\\b_{5}=-q_{0}\cdot \ell _{1}\\b_{6}=M_{B}-(q_{0}\cdot \ell _{1}^{2})/2\\b_{7}=0\\b_{8}=0\end{array}}$.

/* rewrite equations for integration constants IC in matrix form */
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
AA :   submatrix(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);
/* display ... */
print(AA,"*",transpose(ICs),"=",bb)$

/* print coefficients of inhomogenous linear equations */
for i: 1 thru 8 do
   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
for i: 1 thru 8 do
   for j: 1 thru 8 do
      if not AA[i][j] = 0 then
          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$

Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

${\begin{array}{ll}\displaystyle {{C}_{1,0}}&\displaystyle =0\\\displaystyle {{C}_{1,1}}&\displaystyle =-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{3}}}{56}}\\\displaystyle {{C}_{1,2}}&\displaystyle =0\\\displaystyle {{C}_{1,3}}&\displaystyle =-{\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{7}}\\\displaystyle {{C}_{2,0}}&\displaystyle =0\\\displaystyle {{C}_{2,1}}&\displaystyle ={\frac {13\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{3}}}{84}}\\\displaystyle {{C}_{2,2}}&\displaystyle =-{\frac {9\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}}{14}}\\\displaystyle {{C}_{2,3}}&\displaystyle ={\frac {6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{7}}\end{array}}$

/* solving */
D : ratsimp(determinant(AA))$
[ P, L, U] : ratsimp(get_lu_factors(lu_factor(AA)))$
cc : ratsimp(linsolve_by_lu(AA,bb)[1])$
sol : makelist(ICs[i] = cc[i][1],i,1,8)$

Post-Processing

Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die  Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung

$W^{*}=\displaystyle {\frac {5\;\ell _{1}^{4}\cdot q_{0}}{384\;EI_{1}}}$

und dem Winkel

$\displaystyle \Phi ^{*}={\frac {q_{0}\;\ell _{1}^{3}}{24\;EI_{1}}}$

Die Ergebnisse sind dann ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte

${\begin{array}{l}\displaystyle {{A}_{z}}={\frac {{{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{7}}\\\displaystyle {{F}_{B}}=0\\\displaystyle {{Q}_{C}}=-{\frac {6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}}}{7}}\\\displaystyle {{M}_{C}}={\frac {3\cdot {{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{14}}\end{array}}$.

Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus

$W^{*}{\stackrel {!}{=}}10{\text{mm}}$.

Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung

$\Phi _{I}(x_{I}^{*}){\stackrel {!}{=}}0$ zu $x_{I}^{*}\simeq 0.67\cdot \ell _{1}$.

Hier ist

$\displaystyle W^{*}\simeq {\frac {0.01073\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{4}}}{\mathit {E\;I_{1}}}}$

und damit ist das erforderliche Flächenmoment

$\displaystyle {{I}_{1}^{*}}\simeq 53646{\text{ mm}}^{4}$ und damit $h^{*}\simeq 28{\text{mm}}.$.

/* plot displacements */
fcts : [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
        [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
        [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
        [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
fcts : subst(params,subst(sol,fcts));
facts: [384*EI[1]/(5*l[1]^4*q[0]),24*EI[1]/(l[1]^3*q[0]),1/(l[1]^2*q[0]),1/(l[1]^1*q[0])];

textlabels : [" w(x)/W*) →", "w'(x)/Φ* →", "M(x)/M[B] →", "Q(x)/(q[0] l[1]) →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(params,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
  f1 : f[1],  f2 : f[2],
  toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
            if xi < 1 then 0 else f2],
  yRange : if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(params,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, yRange],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
              F[B] = k[B]*w[2](0),
              Q[C] = Q[2](l[2]),
              M[C] = M[2](l[2])];

print(ratsimp(expand(subst(params,subst(sol, reactForces)))));

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Links

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Literature

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