Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

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==== ... für die Lager-Reaktionskräfte ====
==== ... für die Lager-Reaktionskräfte ====
<math>\begin{array}{ll} {{M}_{C}}=0.227\cdot {{\ell}_{0}} \cdot g \cdot {{m}_{B}},\\{{C}_{z}}=-0.030\cdot g\cdot {{m}_{B}} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{l}\displaystyle {{A}_{z}}=\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{F}_{B}}=0\\ \displaystyle {{Q}_{C}}=-\frac{6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{M}_{C}}=\frac{3\cdot {{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{14}\end{array}</math>.
 
Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus
 
<math>W^* \stackrel{!}{=} 10\text{mm}</math>
 
Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung
 
<math>\Phi_I(x_I^*) \stackrel{!}{=} 0</math> zu
 
<math>x_I^*\simeq 0.67\cdot\ell_1</math>.
 
Hier ist
 
<math>\displaystyle W^* \simeq \frac{0.01073\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{4}}}{{{\mathit{E\;I_{1}}}}}</math>
 
und damit ist das erforderliche Flächenmoment
 
<math>\displaystyle {{I}_{1}^*} \simeq 53646\text{ mm}^4</math> und damit <math>h^* \simeq 28\text{mm}.</math>.
 


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</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}
<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
">
<tr><th></th><th></th></tr>
<tr><td></td><td></td></tr>
</table>


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'''Literature'''
'''Literature'''
* ...
* ...
[[Datei:TC12-11A.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11AB.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11BC.png|rahmenlos]]
[[Datei:TC12-21.png|mini|Biegelinie ''w(x)'']]
[[Datei:TC12-23.png|mini|Biegemoment ''M(x)'']]
[[Datei:TC12-24.png|mini|Querkraft ''Q(x)'']]
[[Datei:TC12-01.png|mini|Lageplan]]
[[Datei:TC12-22.png|mini|Kippung ''w'(x)'']]

Version vom 7. April 2021, 14:48 Uhr


Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen 1 bzw. 2 sowie den Flächenmomenten I1 bzw. I2. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q0 belastet, in B wirkt das Moment MB0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  kB.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.


Lageplan

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Parameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

  1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

EIiwiIV(xi)=q(xi),i={1,2} berschrieben wird.

  1. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden xi und ξi als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand
A
Bereich IÜbergang
B
Bereich IIRand
C


tmp

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

Header

Text




tmp

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

EI2=2EI12=12r=14MB=q012kB=3EI113wmax=90mm.

Weitere brauchen nicht.

Declarations

Text




tmp

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

EIiwiIV(xi)=q(xi),i={1,2} mit q(xi)=q0ϕ0(ξ)+q1ϕ1(ξ),

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q0 = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

w1(x):=24C1,0+24C1,1x+12C1,2x2+4C1,3x3+q0x424EI1ϕ1(x):=24C1,1+24C1,2x+12C1,3x2+4q0x324EI1M1(x):=24C1,2+24C1,3x+12q0x224Q1(x):=24C1,3+24q0x24

... für Bereich II:

w2(x):=120l2C2,0+120l2C2,1x+60l2C2,2x2+20l2C2,3x3120l2EI2ϕ2(x):=120l2C2,1+120l2C2,2x+60l2C2,3x2120l2EI2M2(x):=120l2C2,2+120l2C2,3x120l2Q2(x):=C2,3.


Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

Text




tmp

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C1,0,C1,1,C1,2,C1,3,C2,0,C2,1,C2,2,C2,3]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen
  1. w1(0)=0

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. MA=0 mit MA=EI1w(x)|x=0

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen
  1. w1(1)=w2(1)
  2. ϕ1(1)=ϕ2(1)

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. MB,MB0+MB,+=0
  2. QB,kBwB+QB,+=0

Aus Rand "C"


Geometrische Randbedingungen
  1. wC=rΦC mit ΦC=ϕ2(l2)

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. rQC+MC=0

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

C1,0EI1=0C1,2=0l13C1,36EI1+l12C1,22EI1+l1C1,1EI1+C1,0EI1+q0l1424EI1=C2,0EI2l12C1,32EI1+l1C1,2EI1+C1,1EI1+q0l136EI1=C2,1EI2C2,0kBEI2C2,3+C1,3+q0l1=0C2,2+l1C1,3+C1,2+q0l122=MBl22C2,3r2EI2l2C2,2rEI2C2,1rEI2=l23C2,36EI2+l22C2,22EI2+l2C2,1EI2+C2,0EI2C2,3rl2C2,3C2,2=0

für die Integrationskonstanten.


Boundary Conditions

Text




tmp

Das Gleichungssystem wollen wir als

A__x_=b_

schreiben, also

(1EI10000000001000001EI11EI1122EI1136EI11EI200001EI11EI1122EI101EI2000001kBEI20010011001000001EI22+rEI222+22r2EI223+322r6EI20000001r2)(C1,0C1,1C1,2C1,3C2,0C2,1C2,2C2,3)=(00q01424EI1q0136EI1q01MBq012200).

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

a1,1=1/EI1a2,3=1a3,1=1/EI1a3,2=1/EI1a3,3=12/(2EI1)a3,4=13/(6EI1)a3,5=1/EI2a4,2=1/EI1a4,3=1/EI1a4,4=12/(2EI1)a4,6=1/EI2a5,4=1a5,5=kB/EI2a5,8=1a6,3=1a6,4=1a6,7=1a7,5=1/EI2a7,6=(r+2)/EI2a7,7=(22r+22)/(2EI2)a7,8=(322r+23)/(6EI2)a8,7=1a8,8=r2

und für die rechte Seite

b1=0b2=0b3=(q014)/(24EI1)b4=(q013)/(6EI1)b5=q01b6=MB(q012)/2b7=0b8=0


Prepare for Solver

Text




tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

C1,0=0C1,1=q01356C1,2=0C1,3=q017C2,0=0C2,1=13q01384C2,2=9q01214C2,3=6q017

Solving

Text




tmp

Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die  Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung

W*=514q0384EI1

und dem Winkel

Φ*=q01324EI1

Die Ergebnisse sind dann ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte

Az=q017FB=0QC=6q017MC=3q0l1214.

Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus

W*=!10mm

Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung

ΦI(xI*)=!0 zu

xI*0.671.

Hier ist

W*0.01073q014EI1

und damit ist das erforderliche Flächenmoment

I1*53646 mm4 und damit h*28mm..




Post-Processing

Text





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