Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 7. April 2021, 14:42 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$ berschrieben wird.

Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

tmp

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

Header

Text

tmp

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

$\begin{array}{ll} {E I}_{2} & = 2 \cdot {E I}_{1} \\ ℓ_{2} & = \frac{ℓ_{1}}{2} \\ r & = \frac{ℓ_{1}}{4} \\ M_{B} & = q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2} \\ k_{B} & = \frac{3 \cdot {E I}_{1}}{ℓ_{1}^{3}} \\ w_{m a x} & = 90 mm \end{array}$ .

Weitere brauchen nicht.

Declarations

Text

tmp

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2} mit q (x_{i}) = q_{0} \cdot ϕ_{0} (ξ) + q_{1} \cdot ϕ_{1} (ξ)$ ,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

$\begin{array}{l} w_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 0} + 24 \cdot C_{1, 1} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 2} \cdot x^{2} + 4 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{3} + q_{0} \cdot x^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ ϕ_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 1} + 24 \cdot C_{1, 2} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{2} + 4 \cdot q_{0} \cdot x^{3}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ M_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 2} + 24 \cdot C_{1, 3} \cdot x + 12 \cdot q_{0} \cdot x^{2}}{24} \\ Q_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 3} + 24 \cdot q_{0} \cdot x}{24} \end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l} w_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 0} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{3}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ ϕ_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{2}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ M_{2} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x}{120 \cdot l_{2}} \\ Q_{2} (x) : = - C_{2, 3} \end{array}$ .

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

Text

tmp

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $M_{A} = 0 mit M_{A} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B 0} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $w_{C} = r \cdot Φ_{C} mit Φ_{C} = - ϕ_{2} (l_{2})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $r \cdot Q_{C} + M_{C} = 0$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

$\begin{aligned} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} & = 0 \\ - C_{1, 2} & = 0 \\ \frac{l_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} & = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{l_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} - C_{2, 3} + C_{1, 3} + q_{0} \cdot l_{1} & = 0 \\ - C_{2, 2} + l_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{2}}{2} & = M_{B} \\ - \frac{l_{2}^{2} \cdot C_{2, 3} \cdot r}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot r}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 1} \cdot r}{{E I}_{2}} & = \frac{l_{2}^{3} \cdot C_{2, 3}}{6 \cdot {E I}_{2}} + \frac{l_{2}^{2} \cdot C_{2, 2}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{l_{2} \cdot C_{2, 1}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ - C_{2, 3} \cdot r - l_{2} \cdot C_{2, 3} - C_{2, 2} & = 0 \end{aligned}$

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

Text

tmp

Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}$

schreiben, also

$(\begin{matrix} \frac{1}{{E I}_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{k_{B}}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & ℓ_{1} & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2} + r}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{2} + 2 \cdot ℓ_{2} \cdot r}{2 \cdot {E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{3} + 3 \cdot ℓ_{2}^{2} \cdot r}{6 \cdot {E I}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & - r - ℓ_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} C_{1, 0} \\ C_{1, 1} \\ C_{1, 2} \\ C_{1, 3} \\ C_{2, 0} \\ C_{2, 1} \\ C_{2, 2} \\ C_{2, 3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} \\ - q_{0} \cdot ℓ_{1} \\ M_{B} - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ .

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l} a_{1, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{2, 3} = - 1 \\ a_{3, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{3, 2} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{3, 3} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 4} = ℓ_{1}^{3} / (6 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{4, 2} = 1 / E I_{1} \\ a_{4, 3} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{4, 4} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{4, 6} = - 1 / E I_{2} \\ a_{5, 4} = 1 \\ a_{5, 5} = - k_{B} / E I_{2} \\ a_{5, 8} = - 1 \\ a_{6, 3} = 1 \\ a_{6, 4} = ℓ_{1} \\ a_{6, 7} = - 1 \\ a_{7, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{7, 6} = - (r + ℓ_{2}) / E I_{2} \\ a_{7, 7} = - (2 \cdot ℓ_{2} \cdot r + ℓ_{2}^{2}) / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{7, 8} = - (3 \cdot ℓ_{2}^{2} \cdot r + ℓ_{2}^{3}) / (6 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 7} = - 1 \\ a_{8, 8} = - r - ℓ_{2} \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l} b_{1} = 0 \\ b_{2} = 0 \\ b_{3} = - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{4}) / (24 \cdot E I_{1}) \\ b_{4} = - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}) / (6 \cdot E I_{1}) \\ b_{5} = - q_{0} \cdot ℓ_{1} \\ b_{6} = M_{B} - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}) / 2 \\ b_{7} = 0 \\ b_{8} = 0 \end{array}$

Prepare for Solver

Text

tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{ll} C_{1, 0} & = 0 \\ C_{1, 1} & = - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{56} \\ C_{1, 2} & = 0 \\ C_{1, 3} & = - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \\ C_{2, 0} & = 0 \\ C_{2, 1} & = \frac{13 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{84} \\ C_{2, 2} & = - \frac{9 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}}{14} \\ C_{2, 3} & = \frac{6 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \end{array}$

Solving

Text

tmp

Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung

$W^{*} = \frac{5 ℓ_{1}^{4} \cdot q_{0}}{384 E I_{1}}$

und dem Winkel

$Φ^{*} = \frac{q_{0} ℓ_{1}^{3}}{24 E I_{1}}$

Die Ergebnisse sind dann ...

Post-Processing

Text

Links

...

Literature

...

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 ====Aus Rand "A"====
 <table class="wikitable" style="background-color:white;">
-<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|rahmenlos|alternativtext=|150px]]
+<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|rahmenlos|alternativtext=|90x90px]]
 </td><td>''Geometrische Randbedingungen''
+# <math>w_1(0)=0</math>
-* keine
 ''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
-# <math>m_A\;g - S \sin(\alpha_A) + Q_{A,+}= 0 \text{ mit } Q_{A,+} = - E I\cdot w'''(x)|_{x=0}</math>
+#<math>M_{A} = 0 \text{ mit } M_{A} = - EI_1\cdot w''(x)|_{x=0}</math>
-# <math>M_{A,+}= 0 \text{ mit } M_{A,+} = - E I\cdot w'''(x)|_{x=0}</math>
 </td></tr>
 </table>
@@ Zeile 120: / Zeile 118: @@
 ====Aus Übergang "B"====
 <table class="wikitable" style="background-color:white;">
-<tr><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|180px]]
+<tr><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|120x120px]]
 </td><td>''Geometrische Randbedingungen''
 # <math>w_1(\ell_1)=w_2(\ell_1)</math>
@@ Zeile 127: / Zeile 125: @@
 ''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
-# <math>-M_{B,-} + M_{B,+} = 0</math>
+#<math>-M_{B,-} - M_{B0} + M_{B,+} = 0</math>
-# <math>-Q_{B,-} - S\; \sin(\alpha_B) +Q_{B,+} = 0</math>
+#<math>-Q_{B,-}-k_B\cdot w_B + -Q_{B,+} = 0</math>
 </td></tr>
 </table>
@@ Zeile 134: / Zeile 132: @@
 ====Aus Rand "C"====
 <table class="wikitable" style="background-color:white;">
-<tr><td>[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|170px]]<br/>
+<tr><td>[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|125x125px]]<br/>
-[[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos|alternativtext=|170px]]
+[[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos|alternativtext=|130x130px]]
 </td><td>''Geometrische Randbedingungen''
-# <math>w_2(\ell)=0</math>
+#<math>w_C = r\cdot\Phi_C \text{ mit } \Phi_C = - \phi_2(l_2)</math>
 ''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
-# <math>K_C\cdot \Phi_C - M_{C,-} = 0 \text{ mit } M_{C,-} = - E I\cdot w''(x)|_{x=\ell}</math>
+#<math>r\cdot Q_{C} + M_C = 0</math>
 </td></tr>
 </table>
@@ Zeile 147: / Zeile 145: @@
 Einsetzen liefert 8 Gleichungen
-<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}&=0\cr \displaystyle  -{{C}_{1,2}}&=0\cr \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle  -\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\cr \displaystyle  -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}&={{M}_{B}}\cr \displaystyle  -\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,1}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}&=\displaystyle\frac{{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle  -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0 \end{array}</math>
+<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}&=0\\ \displaystyle  -{{C}_{1,2}}&=0\\ \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  -\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\\ \displaystyle  -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}&={{M}_{B}}\\ \displaystyle  -\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,1}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}&=\displaystyle\frac{{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0 \end{array}
+</math>
 für die Integrationskonstanten.
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
@@ Zeile 169: / Zeile 162: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Das Gleichungssystem wollen wir als
+<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
+schreiben, also
+<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{{{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & {{\ell}_{1}} & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}}+r}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{2}}+2\cdot {{\ell}_{2}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}+3\cdot {{\ell}_{2}^{2}}\cdot r}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -r-{{\ell}_{2}}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{{C}_{1,0}}\\ {{C}_{1,1}}\\ {{C}_{1,2}}\\ {{C}_{1,3}}\\ {{C}_{2,0}}\\ {{C}_{2,1}}\\ {{C}_{2,2}}\\ {{C}_{2,3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}\\ {{M}_{B}}-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{2}}}{2}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>.
+Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix
+<math>\begin{array}{l} a_{1,1} = 1/EI_{1}\\ a_{2,3} = -1\\ a_{3,1} = 1/EI_{1}\\ a_{3,2} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{3,3} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{3,4} = \ell_{1}^3/(6\cdot EI_{1})\\ a_{3,5} = -1/EI_{2}\\ a_{4,2} = 1/EI_{1}\\ a_{4,3} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{4,4} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{4,6} = -1/EI_{2}\\ a_{5,4} = 1\\ a_{5,5} = -k_B/EI_{2}\\ a_{5,8} = -1\\ a_{6,3} = 1\\ a_{6,4} = \ell_{1}\\ a_{6,7} = -1\\ a_{7,5} = -1/EI_{2}\\ a_{7,6} = -(r+\ell_{2})/EI_{2}\\ a_{7,7} = -(2\cdot \ell_{2}\cdot r+\ell_{2}^2)/(2\cdot EI_{2})\\ a_{7,8} = -(3\cdot \ell_{2}^2\cdot r+\ell_{2}^3)/(6\cdot EI_{2})\\ a_{8,7} = -1\\ a_{8,8} = -r-\ell_{2}\\ \end{array}</math>
+und für die rechte Seite
+<math>\begin{array}{l} b_{1} = 0\\ b_{2} = 0\\ b_{3} = -(q_0\cdot\ell_{1}^4)/(24\cdot EI_{1})\\ b_{4} = -(q_0\cdot\ell_{1}^3)/(6\cdot EI_{1})\\ b_{5} = -q_0\cdot\ell_{1}\\ b_{6} = M_B-(q_0\cdot\ell_{1}^2)/2\\ b_{7} = 0\\ b_{8} = 0 \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
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@@ Zeile 180: / Zeile 189: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Das Lösen des Gleichungssystems liefert
+<math>\begin{array}{ll} \displaystyle {{C}_{1,0}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{1,1}}&\displaystyle =-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{56}\\ \displaystyle {{C}_{1,2}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{1,3}}&\displaystyle =-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{C}_{2,0}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{2,1}}&\displaystyle =\frac{13\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{84}\\ \displaystyle {{C}_{2,2}}&\displaystyle =-\frac{9\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{2}}}{14}\\ \displaystyle {{C}_{2,3}}&\displaystyle =\frac{6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7} \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
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@@ Zeile 191: / Zeile 203: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die  Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung
+<math>W^* = \displaystyle \frac{5\;\ell_1^4\cdot q_0}{384 \; EI_1}</math>
+und dem Winkel
+<math>\displaystyle \Phi^* = \frac{q_0\;\ell_1^3}{24\;EI_1}</math>
+Die Ergebnisse sind dann ...<!-------------------------------------------------------------------------------->
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Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. April 2021, 14:42 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima