Gelöste Aufgaben/PvV1

Aufgabenstellung

Hier übertragen wir das Lösungsschema der Statik auf den Lösungs-Ansatz mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen. Statt einem Freikörperbild müssen wir hier die Kinematik - also den Zusammenhang zwischen den Koordinaten des Systems - erfassen.

Dazu schauen wir uns dieses Problem an:

Ein Mann vom Gewicht G steht an der Stelle a auf einer Leiter der Länge ℓ (das Leitergewicht ist vernachlässigbar). Die Leiter ist unter dem Winkel α gegen die Wand geleht. Sie rollte oben an der Wand ab unten haftet sie am Boden.

Lageplan

Gesucht ist die erforderliche Haftkraft am Boden und ein Vorgehen nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

Lösung mit Maxima

Lagepan

Koordinaten

Hier ist die Leiter in Ihrer Referenzlage (grau) und in Ihrer variierten Lage eingezeichnet. Bei der Variation um δα wandert der Kraftangriffspunkt der Gewichtskraft G von C zu C' nach oben.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-10-08                            */
/* ref: TM-C, aus Brommundt, Abschnitt Haftung         */
/* description: finds the force H(alpha) employing PvV */
/*******************************************************/

/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
declare("δW", alphabetic);
declare("δα", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
declare("δv", alphabetic);

Kinematik

Die Verschiebungen der Kraftangriffspunkte von H und G sind u, v:

${\begin{pmatrix}\mathrm {u} \left(\alpha \right)=\mathrm {cos} \left(\alpha \right)\cdot \ell \\\mathrm {v} \left(\alpha \right)=a\cdot \mathrm {sin} \left(\alpha \right)\end{pmatrix}}$

Für die Variation nutzen wir die dritte Koordinate α und ersetzen

$\alpha \rightarrow \alpha +\varepsilon \cdot \delta \alpha$

Zum Linearisieren führen wir die Hilfsgröße ε als Koeffizient von δα ein. Da die virtuelle Verrückung "differentiell klein" sein darf, nehmen wir nur das lineare Glied von

$\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}(.)$.

Damit erhalten wir die Variation von u und v zu:

${\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {d}{d\,\varepsilon }}\cdot u\left(\varepsilon \cdot {\mathit {\delta \alpha }}+\alpha \right)=-\ell \cdot {\mathit {\delta \alpha }}\cdot \mathrm {sin} \left(\varepsilon \cdot {\mathit {\delta \alpha }}+\alpha \right)\\\displaystyle {\frac {d}{d\,\varepsilon }}\cdot v\left(\epsilon \cdot {\mathit {\delta \alpha }}+\alpha \right)=a\cdot {\mathit {\delta \alpha }}\cdot \mathrm {cos} \left(\epsilon \cdot {\mathit {\delta \alpha }}+\alpha \right)\end{pmatrix}}$

und für ε=0:

/* Kinematik: */
kin: [u(alpha) = l*cos(alpha),
      v(alpha) = a*sin(alpha)];

/* variation of coordinates */
varia : diff(subst([alpha=alpha + epsilon*δα],kin),epsilon);
varia : subst([diff(u(alpha+epsilon*δα),epsilon) = δu,
               diff(v(alpha+epsilon*δα),epsilon) = δv], varia);
/* linearize */
varia: subst([epsilon=0],varia);

Gleichgewicht

In das Gleichgewicht gehen alle Arbeiten am System ein.

Im Unterschied zu einem Kräftegleichgewicht fallen hier alle Lager-Reaktionskräfte herus: in A und B verschwindet nämlich das Skalarprodukt des virtuellen Verschiebungsvektors mit den Normalkräfte - sie stehen senkrecht aufeinander.

Es bleiben:

${\begin{array}{rl}\delta W=&-G\cdot \delta v-H\cdot \delta u\\=&0\end{array}}$

/* equilibrium condition */
PvV: δW = -H*δu - G*δv;

Gleichungen und Unbekannte abzählen

Mit der Gleichung oben haben wir genau eine Gleichung für H - das passt!.

Allerdings haben wir drei Koordinaten u, v und α sowie deren Variationen. Die Forderung an die virtuellen Verrückungen ist jedoch, dass sie mit "der geometrischen Konfiguration des Systems verträglich". Die Leiter ist starr - wir haben also nur eine unabhängige Koordinate im System. Wir können und müssen also entweder

• u und v durch α oder
• u und α durch v oder
• v und α durch u

ausdrücken.

Lösen

Einsetzten der Variationen liefert

$\sin \left(\alpha \right)\cdot \ell \cdot H\cdot \delta \alpha -a\cdot \cos \left(\alpha \right)\cdot G\cdot \delta \alpha =0$

Charakteristisch ist dabei, dass sich die Variation - hier des Winkels α - herauskürzt: sie dient nur zur Identifikation einer Gleichung. Das wird wichtig, wenn wir mehrere Unbekannten und Koordinaten haben - dann ist der Koeffizient vor jeder Variation einer Koordinate ein Gleichgewichtsbeziehung. Jetzt macht die Aussage Sinn, dass sie "gedachte, voneinander unabhängige Verschiebungen" sind!

Das Ergebnis für H ist:

$\displaystyle H={\frac {a\cdot \mathrm {cos} \left(\alpha \right)\cdot G}{\mathrm {sin} \left(\alpha \right)\cdot \ell }}$

/* solve */
sol: solve(subst(varia, subst(PvV, δW = 0)),H)[1];

Ausdeuten

Haftkraft H

Beim Auftragen von H über α sehen wir:

Die erforderliche Haftkraft wird sehr groß, wenn die Leiter flacher angestellt wird - das entspricht unserer Vorstellung.

/* plot H(alpha) */
plot2d(subst([a=1/2*l],subst(sol, H/G)),[alpha,0,%pi/2],
                   [y, 0,10],
                   [xlabel, "α/rad →"], [ylabel, "H/G →"],
                   [legend, "H für a/h = 1/2"])

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Links

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Literature

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