Gelöste Aufgaben/Kw99: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 31. März 2021, 12:35 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken. Im Vergleich zu Kw98 wird hier eine Lösung mit normierten Koordinaten versucht.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$
berschrieben wird.
Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Diese Aufgabe mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst. Und im Vergleich zu KW98 wird hier die analytische Lösung mit dimensionslosen Koordinaten angeschreiben.

Declarations

Wir definieren die Formfunktionen für die Streckenlast

\begin{array}{l} ϕ_{0} (ξ) : = 1 - ξ \\ ϕ_{1} (ξ) : = ξ \end{array} mit ξ = \frac{x_{1}}{ℓ_{1}}

.

/* system parameter */ params: [EI[2]=EI[1]/2,

        K[A]=EI[1]/l[1],
        k[B]=0,
        k[C] = EI[1]/l[1]^3,
        q[B]=4*q[A],
        l[2]=l[1]/2,
        M[B] = 5*q[A]*l[1]^2];

/* form - functions */ phi[0](xi) := 1 - xi; phi[1](xi) := xi;

Formfunctions

Y

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{A} \cdot ϕ_{A} + M_{A, +} = 0 mit M_{A, +} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $ϕ_{2} (ℓ_{2}) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- Q_{C, -} - k_{C} \cdot w_{C} = 0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

(\begin{matrix} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = 0 \\ \frac{C_{1, 1} \cdot K_{A}}{{E I}_{1}} - C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} + \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} - C_{2, 3} + C_{1, 3} = 0 \\ - M_{B} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} - C_{2, 2} + ℓ_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 3}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 2}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} = 0 \\ - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot C_{2, 3} \cdot k_{C}}{6 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} + C_{2, 3} = 0 \end{matrix})

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

Prepare for Solver

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte:

\begin{array}{ll} A_{z} & = \frac{257 \cdot ℓ_{1} \cdot q_{A}}{1365}, \\ M_{A} & = \frac{1331 \cdot ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{1170}, \\ B_{z} & = 0, \\ C_{z} & = \frac{6311 \cdot ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2730}, \\ M_{C} & = \frac{31037 \cdot ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{16380} \end{array}

Links

...

Literature

...

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 für die Integrationskonstanten.
 {{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
@@ Zeile 164: / Zeile 161: @@
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
 |text=
-Das Gleichungssystem wollen wir als
-::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
-schreiben, also
-::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{{{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
-|text=
-Das Gleichungssystem wollen wir als
-::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
-schreiben, also
-::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{{{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
-|text=
-Das Gleichungssystem wollen wir als
-::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
-schreiben, also
-::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{{{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{{{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & {{\ell}_{1}} & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & \frac{{{\ell}_{2}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & \frac{{{\ell}_{2}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{{{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{k}_{C}}-6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\end{pmatrix}\cdot\underline{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{120\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}-\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}{30\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{B}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}-\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{B}}}{2}-\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2}\\ {{M}_{B}}-\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{B}}}{6}-\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{3}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}
-</math>
-Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix
-::<math>\begin{array}{l} a_{1,1} = 1/EI_{1}\\ a_{2,2} = K_{A}/EI_{1}\\ a_{2,3} = -1\\ a_{3,1} = 1/EI_{1}\\ a_{3,2} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{3,3} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{3,4} = \ell_{1}^3/(6\cdot EI_{1})\\ a_{3,5} = -1/EI_{2}\\ a_{4,2} = 1/EI_{1}\\ a_{4,3} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{4,4} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{4,6} = -1/EI_{2}\\ a_{5,4} = 1\\ a_{5,5} = -k_{B}/EI_{2}\\ a_{5,8} = -1\\ a_{6,3} = 1\\ a_{6,4} = \ell_{1}\\ a_{6,7} = -1\\ a_{7,6} = 1/EI_{2}\\ a_{7,7} = \ell_{2}/EI_{2}\\ a_{7,8} = \ell_{2}^2/(2\cdot EI_{2})\\ a_{8,5} = -k_{C}/EI_{2}\\ a_{8,6} = -(\ell_{2}\cdot k_{C})/EI_{2}\\ a_{8,7} = -(\ell_{2}^2\cdot k_{C})/(2\cdot EI_{2})\\ a_{8,8} = -(\ell_{2}^3\cdot k_{C}-6\cdot EI_{2})/(6\cdot EI_{2})\\ \end{array}</math>
-und für die rechte Seite
-::<math>\begin{array}{l} b_{1} = 0\\ b_{2} = 0\\ b_{3} = (-(\ell_{1}^4\cdot q_{B})/(120\cdot EI_{1}))-(\ell_{1}^4\cdot q_{A})/(30\cdot EI_{1})\\ b_{4} = (-(\ell_{1}^3\cdot q_{B})/(24\cdot EI_{1}))-(\ell_{1}^3\cdot q_{A})/(8\cdot EI_{1})\\ b_{5} = (-(\ell_{1}\cdot q_{B})/2)-(\ell_{1}\cdot q_{A})/2\\ b_{6} = M_{B}-(\ell_{1}^2\cdot q_{B})/6-(\ell_{1}^2\cdot q_{A})/3\\ b_{7} = 0\\ b_{8} = 0 \end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-/* augmented coeff matrix */
-ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
-AA :   submatrix(ACM,9);
-bb : - col(ACM,9);
-for i: 1 thru 8 do
-   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
-for i: 1 thru 8 do
-   for j: 1 thru 8 do
-      if not AA[i][j] = 0 then
-          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$
-</syntaxhighlight>
 }}
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Solving
-|text=
 Das Lösen des Gleichungssystems liefert
 ::<math>\begin{array}{l}  {{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}=246.1 \; N {{m}^{2}},\\{{C}_{1,2}}=703.2\; N m,\\{{C}_{1,3}}=-2404.3\; N,\\{{C}_{2,0}}=127.6 \;  N m^3,\\{{C}_{2,1}}=224.7\;  N m^2,\\{{C}_{2,2}}=-979.8 \;  N m,\\{{C}_{2,3}}=2101.8 N \end{array}</math>.
+{{MyCodeBlock|title=Solving
+|text=
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

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Version vom 31. März 2021, 12:35 Uhr

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