Gelöste Aufgaben/Kw60: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 31. März 2021, 09:38 Uhr

Aufgabenstellung

Der Euler-Bernoulli-Balken ABC (Länge ℓ₀, Biegesteifigkeikeit EI, Querschnittsflläche A) ist am rechten Rand fest eingespannt und wird durch das Gewicht

aufgrund seiner eigenen Masse m₀ sowie
aufgrund von zwei Personen der Massen m_A bzw. m_B

belastet.

Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elemente und zwei Elementen. Dabei sollen die Verläufe der Biegelinie und die Schnittlasten mit der analytischen Lösung verlglichen werden.

Es ist ℓ_B = ℓ₀ /3, m_A = m₀ /2 und m_B = m₀ /2.

Lösung mit Maxima

tmp

Das Modell erstellen wir mit der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken mit zwei Elementen.

Header

Text

1+1

tmp

Zum späteren Plotten verwenden wir Referenzgrößen, die wir der analytischen Standard-Lösung eines Kragbalkens entnehmen.

Dies sind

$\begin{array}{ccl} W_{r e f} & = & \frac{q_{0} \cdot ℓ_{0}^{4}}{8 \cdot I_{0} \cdot E}, \\ Φ_{r e f} & = & \frac{q_{0} \cdot ℓ_{0}^{3}}{6 \cdot I_{0} \cdot E}, \\ M_{r e f} & = & \frac{m_{0} \cdot ℓ_{0} \cdot g}{2}, \\ Q_{r e f} & = & m_{0} \cdot g, \\ q_{0} & = & \frac{m_{0} \cdot g}{ℓ_{0}} \end{array}$ .

Wir verwenden dimensionslose Größen als Abkürzungen:

$ℓ_{1} = λ_{1} ℓ_{0}, ℓ_{B} = λ_{2} ℓ_{0}, λ_{1} = 1 - λ_{2}, m_{A} = θ_{A} m_{0}, m_{B} = θ_{B} m_{0}$ .

Declarations

Text

1+1

tmp

Die analytische Lösung erzeugen wir aus Superpositionen der eingeprägten Lösungen zu den drei Gewichten auf die Struktur.

Dazu müssen wir ein bisschen umdenken: in den Standard-Lösungen ist der Balken jeweils links fest eingespannt - hier rechts.

Wir nehmen das komplementäre Koordinatensystem

$\bar{ξ} = 1 - ξ$

und lesen die Lösung ab:

$\begin{array}{lccl} E I w (\bar{ξ}) & = & \frac{q_{0} ℓ_{0}^{4} \cdot (6 \cdot {\bar{ξ}}^{2} - 4 \cdot {\bar{ξ}}^{3} + {\bar{ξ}}^{4})}{24} \\ + & \frac{m_{A} g ℓ_{0}^{3} \cdot (3 \cdot {\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ}}^{3})}{6} \\ + & {\begin{cases} \frac{m_{B} g ℓ_{0}^{3} \cdot (3 \cdot λ_{2} \cdot {\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ}}^{3})}{6} & für \bar{ξ} \leq λ_{2} \\ \frac{m_{B} g ℓ_{0}^{3} \cdot (3 \cdot λ_{2} \cdot {\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ}}^{3} + {(\bar{ξ} - λ_{2})}^{3})}{6} & sonst \end{cases} \end{array}$ .

Analytic Solution

Text

1+1

tmp

Die System-Matrix setzen wir aus den Element-Steifigkeitsmatrizen aus FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome zusammen und arbeiten die geometrischen Randbedingungen ein, indem wir die Zeilen und Spalten bzgl der Verschiebung und Verdrehung in C (W₂, Φ₂) streichen.

Das Gleichungssystem lautet dann

$\frac{E I}{ℓ_{0}^{3}} \cdot (\begin{matrix} - \frac{12}{λ_{2}^{3} - 3 \cdot λ_{2}^{2} + 3 \cdot λ_{2} - 1} & \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} & \frac{12}{λ_{2}^{3} - 3 \cdot λ_{2}^{2} + 3 \cdot λ_{2} - 1} & \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} \\ \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} & - \frac{4 \cdot ℓ_{0}^{2}}{λ_{2} - 1} & - \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} & - \frac{2 \cdot ℓ_{0}^{2}}{λ_{2} - 1} \\ \frac{12}{λ_{2}^{3} - 3 \cdot λ_{2}^{2} + 3 \cdot λ_{2} - 1} & - \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} & - \frac{12 - 36 \cdot λ_{2} + 36 \cdot λ_{2}^{2}}{λ_{2}^{6} - 3 \cdot λ_{2}^{5} + 3 \cdot λ_{2}^{4} - λ_{2}^{3}} & - \frac{12 \cdot ℓ_{0} \cdot λ_{2} - 6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{4} - 2 \cdot λ_{2}^{3} + λ_{2}^{2}} \\ \frac{6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{2} - 2 \cdot λ_{2} + 1} & - \frac{2 \cdot ℓ_{0}^{2}}{λ_{2} - 1} & - \frac{12 \cdot ℓ_{0} \cdot λ_{2} - 6 \cdot ℓ_{0}}{λ_{2}^{4} - 2 \cdot λ_{2}^{3} + λ_{2}^{2}} & - \frac{4 \cdot ℓ_{0}^{2}}{λ_{2}^{2} - λ_{2}} \end{matrix}) \cdot \underline{Q} = m_{0} g \cdot (\begin{matrix} \frac{1 - λ_{2} + 2 \cdot θ_{A}}{2} \\ \frac{ℓ_{0} - 2 \cdot ℓ_{0} \cdot λ_{2} + ℓ_{0} \cdot λ_{2}^{2}}{12} \\ \frac{1 + 2 \cdot θ_{B}}{2} \\ \frac{2 \cdot ℓ_{0} \cdot λ_{2} - ℓ_{0}}{12} \end{matrix})$

mit

$\underline{Q} = (\begin{array}{c} W_{0} \\ Φ_{0} \\ W_{1} \\ Φ_{1} \end{array})$ .

FE Formulation

Text

1+1

tmp

Lösen des linearen Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{ccl} \frac{W_{0}}{W_{r e f}} & = & - \frac{- 3 - 8 \cdot θ_{A} + (4 \cdot λ_{2}^{3} - 12 \cdot λ_{2}^{2}) \cdot θ_{B}}{3} \\ \frac{Φ_{0}}{W_{r e f}} & = & - \frac{4 + 12 \cdot θ_{A} + 12 \cdot λ_{2}^{2} \cdot θ_{B}}{3 \cdot ℓ_{0}} \\ \frac{W_{1}}{W_{r e f}} & = & \frac{6 \cdot λ_{2}^{2} - 4 \cdot λ_{2}^{3} + λ_{2}^{4} + (12 \cdot λ_{2}^{2} - 4 \cdot λ_{2}^{3}) \cdot θ_{A} + 8 \cdot λ_{2}^{3} \cdot θ_{B}}{3} \\ \frac{Φ_{1}}{W_{r e f}} & = & - \frac{12 \cdot λ_{2} - 12 \cdot λ_{2}^{2} + 4 \cdot λ_{2}^{3} + (24 \cdot λ_{2} - 12 \cdot λ_{2}^{2}) \cdot θ_{A} + 12 \cdot λ_{2}^{2} \cdot θ_{B}}{3 \cdot ℓ_{0}} \\ \frac{W_{2}}{W_{r e f}} & = & 0 \\ \frac{Φ_{2}}{W_{r e f}} & = & 0 \end{array}$ .

Solving

Text

1+1

tmp

Und die Ergebnisse der analytischen und FE-Rechnungen plotten wir ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Post-Processing

Text

1+1

Links

...

Literature

...

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 ==Aufgabenstellung==
-SOME TEXT
+Der Euler-Bernoulli-Balken ''ABC'' (Länge ''ℓ<sub>0</sub>'', Biegesteifigkeikeit ''EI'', Querschnittsflläche ''A'') ist am rechten Rand fest eingespannt und wird durch das Gewicht
-<onlyinclude>
+* aufgrund seiner eigenen Masse ''m<sub>0</sub>'' sowie
-[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png|100px|left|mini|Lageplan|alternativtext=]]
+* aufgrund von zwei Personen der Massen ''m<sub>A</sub>'' bzw. ''m<sub>B</sub>''
-Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
-[[Datei:Kw60-01.png|mini|Lageplan]]
+belastet.<onlyinclude>
+[[Datei:Kw60-01.png|alternativtext=|links|mini|300x300px|Lageplan]]
+Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elemente und zwei Elementen.
+Dabei sollen die Verläufe der Biegelinie und die Schnittlasten mit der analytischen Lösung verlglichen werden.
 </onlyinclude>
+Es ist ''ℓ<sub>B</sub>'' =  ''ℓ''<sub>0</sub> /3, ''m<sub>A</sub>'' =  ''m''<sub>0</sub> /2 und ''m<sub>B</sub>'' =  ''m''<sub>0</sub> /2.
 == Lösung mit Maxima ==
 ==tmp==
+Das Modell erstellen wir mit der [[Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken|FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken]] mit zwei Elementen.
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 ==tmp==
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+Zum späteren Plotten verwenden wir Referenzgrößen, die wir der analytischen Standard-Lösung eines Kragbalkens entnehmen.
+Dies sind
+<math>\begin{array}{ccl}
+{{W}_{\mathit{ref}}}&=&\displaystyle \frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}^{4}}}{8\cdot {{I}_{0}}\cdot E},\\
+{{\Phi}_{\mathit{ref}}}&=&\displaystyle\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}^{3}}}{6\cdot {{I}_{0}}\cdot E},\\
+{{M}_{\mathit{ref}}}&=&\displaystyle\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}}\cdot g}{2},\\{{Q}_{\mathit{ref}}}&=&{{m}_{0}}\cdot g,\\
+{{q}_{0}}&=&\displaystyle\frac{{{m}_{0}}\cdot g}{{{\ell}_{0}}}
+\end{array}</math>.
+Wir verwenden dimensionslose Größen als Abkürzungen:
+<math>\ell_1=\lambda_1\,\ell_0, \ell_B=\lambda_2\,\ell_0, \lambda_1=1-\lambda_2, m_A=\theta_A\,m_0, m_B=\theta_B\,m_0</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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+Die analytische Lösung erzeugen wir aus Superpositionen der eingeprägten Lösungen zu den drei Gewichten auf die Struktur.
+Dazu müssen wir ein bisschen umdenken: in den Standard-Lösungen ist der Balken jeweils links fest eingespannt - hier rechts.
+Wir nehmen das komplementäre Koordinatensystem
+<math>\bar{\xi} = 1- \xi</math>
+und lesen die Lösung ab:
+<math>\begin{array}{lccl}
+EI\,w(\bar{\xi}) &=& &\displaystyle \frac{{q_0}\, \ell_0^4 \cdot \left( 6\cdot {{\bar{\xi}}^{2}}-4\cdot {{\bar{\xi}}^{3}}+{{\bar{\xi}}^{4}}\right) }{24}\\
+                 & &+&\displaystyle \frac{m_A \, g\,\ell_0^3\cdot \left( 3\cdot {{\bar{\xi}}^{2}}-{{\bar{\xi}}^{3}}\right)}{6}\\
+                 & &+&\left\{ \begin{array}{ll}
+                                  \displaystyle \frac{m_B \, g\,\ell_0^3\cdot \left( 3\cdot {{\lambda}_{2}}\cdot {{\bar{\xi}}^{2}}-{{\bar{\xi}}^{3}}\right)}{6}& \text { für } \bar{\xi} \le \lambda_2\\
+                                  \displaystyle \frac{m_B \, g\,\ell_0^3\cdot \left( 3\cdot {{\lambda}_{2}}\cdot {{\bar{\xi}}^{2}}-{{\bar{\xi}}^{3}}+{{\left( \bar{\xi}-{{\lambda}_{2}}\right) }^{3}} \right)}{6}& \text{ sonst}
+                             \end{array}\right.
+\end{array}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->
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+Die System-Matrix setzen wir aus den Element-Steifigkeitsmatrizen aus FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome zusammen und arbeiten die geometrischen Randbedingungen ein, indem wir die Zeilen und Spalten bzgl der Verschiebung und Verdrehung in ''C'' (''W<sub>2</sub>, Φ<sub>2</sub>'') streichen.
+Das Gleichungssystem lautet dann
+<math>\frac{E \, I}{\ell_0^3}\cdot
+\begin{pmatrix}-\frac{12}{{{\lambda}_{2}^{3}}-3\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}+3\cdot {{\lambda}_{2}}-1} & \frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1} & \frac{12}{{{\lambda}_{2}^{3}}-3\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}+3\cdot {{\lambda}_{2}}-1} & \frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1}\\ \frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1} & -\frac{4\cdot {{\ell}_{0}^{2}}}{{{\lambda}_{2}}-1} & -\frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1} & -\frac{2\cdot {{\ell}_{0}^{2}}}{{{\lambda}_{2}}-1}\\ \frac{12}{{{\lambda}_{2}^{3}}-3\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}+3\cdot {{\lambda}_{2}}-1} & -\frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1} & -\frac{12-36\cdot {{\lambda}_{2}}+36\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}}{{{\lambda}_{2}^{6}}-3\cdot {{\lambda}_{2}^{5}}+3\cdot {{\lambda}_{2}^{4}}-{{\lambda}_{2}^{3}}} & -\frac{12\cdot {{\ell}_{0}}\cdot {{\lambda}_{2}}-6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{4}}-2\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}+{{\lambda}_{2}^{2}}}\\ \frac{6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-2\cdot {{\lambda}_{2}}+1} & -\frac{2\cdot {{\ell}_{0}^{2}}}{{{\lambda}_{2}}-1} & -\frac{12\cdot {{\ell}_{0}}\cdot {{\lambda}_{2}}-6\cdot {{\ell}_{0}}}{{{\lambda}_{2}^{4}}-2\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}+{{\lambda}_{2}^{2}}} & -\frac{4\cdot {{\ell}_{0}^{2}}}{{{\lambda}_{2}^{2}}-{{\lambda}_{2}}}\end{pmatrix} \cdot \underline{Q} = m_0\,g\cdot \begin{pmatrix}\frac{1-{{\lambda}_{2}}+2\cdot {{\theta}_{A}}}{2}\\ \frac{{{\ell}_{0}}-2\cdot {{\ell}_{0}}\cdot {{\lambda}_{2}}+{{\ell}_{0}}\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}}{12}\\ \frac{1+2\cdot {{\theta}_{B}}}{2}\\ \frac{2\cdot {{\ell}_{0}}\cdot {{\lambda}_{2}}-{{\ell}_{0}}}{12}\end{pmatrix}</math>
+mit
+<math>\underline{Q} = \left(
+\begin{array}{c}
+W_0\\
+\Phi_0\\
+W_1\\
+\Phi_1\\
+\end{array}
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+Lösen des linearen Gleichungssystems liefert
+<math>\begin{array}{ccl}
+\displaystyle \frac{W_0}{W_{ref}}&=&\displaystyle -\frac{-3-8\cdot {{\theta}_{A}}+\left( 4\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}-12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}\right) \cdot {{\theta}_{B}}}{3}\\
+\displaystyle \frac{\Phi_0}{W_{ref}}&=&\displaystyle -\frac{4+12\cdot {{\theta}_{A}}+12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}\cdot {{\theta}_{B}}}{3\cdot {{\ell}_{0}}}\\
+\displaystyle \frac{W_1}{W_{ref}}&=&\displaystyle \frac{6\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}-4\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}+{{\lambda}_{2}^{4}}+\left( 12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}-4\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}\right) \cdot {{\theta}_{A}}+8\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}\cdot {{\theta}_{B}}}{3}\\
+\displaystyle \frac{\Phi_1}{W_{ref}}&=&\displaystyle -\frac{12\cdot {{\lambda}_{2}}-12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}+4\cdot {{\lambda}_{2}^{3}}+\left( 24\cdot {{\lambda}_{2}}-12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}\right) \cdot {{\theta}_{A}}+12\cdot {{\lambda}_{2}^{2}}\cdot {{\theta}_{B}}}{3\cdot {{\ell}_{0}}}\\
+\displaystyle \frac{W_2}{W_{ref}}&=& 0 \\
+\displaystyle \frac{\Phi_2}{W_{ref}}&=& 0
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 ==tmp==
-Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...
+Und die Ergebnisse der analytischen und FE-Rechnungen plotten wir ...
 ==== ... für w(x): ====

Gelöste Aufgaben/Kw60: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. März 2021, 09:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

tmp

Header

tmp

Declarations

tmp

Analytic Solution

tmp

FE Formulation

tmp

Solving

tmp

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Post-Processing

Navigationsmenü

Gelöste Aufgaben/Kw60: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. März 2021, 09:38 Uhr

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

tmp

Header

tmp

Declarations

tmp

Analytic Solution

tmp

FE Formulation

tmp

Solving

tmp

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

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