Gelöste Aufgaben/Kw56

Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung ist identisch mit Aufgabe Kw55, hier ist die Lösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz gefragt.

Lageplan

Gesucht ist eine Näherungslösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz für ein Euler-Bernoulli-Modell der Struktur.

Verwenden Sie zwei freie Trial-Funtions.

tmp

Die Herausforderung der Aufgabe liegt wieder in der kinematischen Zwangsbedingung, die der starre Stab abc dem Euler-Bernoulli-Balken auferlegt. Diese Zwangsbedingung lautet

$w_{B}=\displaystyle {\frac {1}{2}}w_{C}$,

mit den Abkürzungen

• w_B = w( ℓ),
• 'w_C= w(2ℓ).'

Die geometrischen Randbedingungen in A erfüllen wir, indem wir Polynome ab dem Grad 2 verwenden.

Für die Lösung nach Rayleigh-Ritz können wir

• zwei freie Trial-Functions wählen, die die Zwangsbedingung selbst schon erfüllen
• mit Lagrange-Multiplikator die Zwangsbedingung einbauen.

Der zweite Weg ist bei Computer-Anwendungen meist viel einfacher - den gehen wir hier.

Header

Text

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tmp

Wir brauchen

$q_{0}=\displaystyle {\frac {m\,g}{\ell }}$

und nutzen eine Referenzlösung (wie in Kw55)

${\begin{array}{ccc}{\hat {w}}&=&\displaystyle {\frac {q_{0}\,(2\ell )^{4}}{8EI}}\\{\hat {\phi }}&=&\displaystyle {\frac {q_{0}\,(2\ell )^{3}}{6EI}}\end{array}}$.

Declarations

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tmp

Um zwei freie Trial-Functions zu bekommen, müssen wir drei ansetzen: ein Freiheitsgrad wird von der kinematischen Zwangsbedingung aufgehoben.

Also wählen wir

$\displaystyle w(\xi )={\hat {w}}\cdot \sum _{i=2}^{4}W_{i}\cdot \xi ^{i}$

mit

$x=\xi \cdot \ell$

und ergänzen dies um die Zwangsbedingung

$2\cdot w(1)=\,w(2)$.

Achtung: Der Balken ist "2"-lang.

Formfunctions

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Für die Gleichgewichtsbedingungen brauchen wir die potentielle Energie (hier die Lagrange-Funktion)

${\begin{array}{lcl}\Lambda =&&\displaystyle {\frac {1}{2\cdot \ell ^{3}}}\displaystyle EI\int _{0}^{2}\left(\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\,\xi ^{2}}}\cdot w(\xi )\right)^{2}d\xi \\&-&\left(2m\,g+\displaystyle {\frac {1}{2}}m\,g\right)\cdot w(1)+\left(\displaystyle {\frac {1}{2}}m\,g\right)\cdot w(2)\\&+&\lambda \cdot \displaystyle {\frac {m^{2}\,g^{2}\ell ^{3}}{EI}}\cdot (2\,w(1)-w(2))\end{array}}$

wobei der konstante Faktor bei dem Lagrange-Multiplikator λ nur der Ästhetik dient ....

Die gesuchten Größen sind nun

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{2}\\W_{3}\\W_{4}\\\lambda \end{array}}\right)$,

und die Gleichgewichtsbedingungen kommen aus

$\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dQ_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$

zu

${\begin{array}{cc}-2\lambda +256{W_{4}}+96{W_{3}}+32{W_{2}}-1&=0,\\-2\lambda +384{W_{4}}+128{W_{3}}+32{W_{2}}+1&=0,\\70\lambda -18432{W_{4}}-5760{W_{3}}-1280{W_{2}}-55&=0,\\-7{W_{4}}-3{W_{3}}-{W_{2}}&=0\end{array}}$.

Equilibrium Conditions

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Dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung

$\displaystyle {{W}_{2}}={\frac {23}{56}},{{W}_{3}}=-{\frac {27}{112}},{{W}_{4}}={\frac {5}{112}},\lambda ={\frac {3}{14}}$

Solving

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Verläufe der gesuchten Größen

Einsetzen in die Trial-Functions liefert die (dimensionslosen) Funktionsverläufe für w, ϕ, M und Q:

Post-Processing

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