Gelöste Aufgaben/Kw51

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier mit Lagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

${\begin{array}{ll}K_{C}=&\displaystyle 5{\frac {E\,I}{\ell _{0}}}\\m_{A}=&\displaystyle {\frac {m_{B}}{5}}\end{array}}$

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

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Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren mit einer Variante:

• die geometrische Zwangsbedingung für die Punkte A, B durch das Seil erfassen wir durch einen Lagrange-Multiplikator.

Header

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Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

Insbesondere gilt auch hier wieder

$\displaystyle W_{B}=-{\frac {W_{A}}{\sqrt {3}}}$

.

Declarations

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Nach "Ritz" wählen wir Trial-Functions über die gesamte Stablänge und müssen uns überlegen, welchen Aufwand wir dafür treiben wollen.

Intuitiv wählen wir  für jeden Punkt A, B, C jeweils eine Koordinate, hier

${\begin{array}{l}w(0)=W_{A}\\w(\ell _{1})=W_{B}\\\displaystyle {\frac {dw}{dx}}|_{x=\ell }=\Phi _{C}\end{array}}$.

und brauchen - zusammen der geometrischen Randbedingung w(ℓ)=0 ein Polynom mit vier freien Parametern - also ein Polynom dritten Grades.

Mit dem Ansatz für die Formfunktion

$\displaystyle {\tilde {w}}(x)=\sum _{i=0}^{3}C_{i}\cdot x^{i}$

kommt aus den Bedingungen oben dann

$\displaystyle {\tilde {w}}(\xi )=\sum _{i=1}^{3}Q_{i}\cdot \phi _{i}(\xi )$

mit

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{A}\\W_{B}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)$.

Trial-Functions

Und so sehen sie aus, unsere drei Trial-Functions:

Für die Formfunktion gilt aber immer die geometrische Zwangsbedingung:

$\displaystyle W_{B}=-{\frac {W_{A}}{\sqrt {3}}}$

Formfunctions

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Die Potentiale aus Elastischer Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind

${\begin{array}{lll}U=&&\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \int _{0}^{\ell }EI\;w''^{2}\;dx+{\frac {1}{2}}\cdot K_{C}\cdot \Phi _{C}^{2}\\&-&\displaystyle \int _{0}^{\ell }q_{0}\;w\;dx-m_{A}\,g\;W_{A}\end{array}}$.

Nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie ist das System im Gleichgewicht, wenn das Potential U des Systems

$\displaystyle {\frac {dU}{dQ_{i}}}=0{\text{ für }}Q_{i}\in \left(W_{A},W_{B},\Phi _{C}\right)$

erfüllt. Und sich zusätzlich an die Zwangsbedingung hält!

Equilibrium Conditions

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Das könnten wir mit dem Konzept der Lagrange-Multiplikatoren erfassen. Dafür schreiben wir

$\Lambda ({\underline {Q}})=U+\lambda \cdot \underbrace {\left(\Delta s_{A}+\Delta s_{B}\right)} _{\displaystyle \equiv {\sqrt {3}}\,W_{B}+W_{A}}$

mit dem Lagrange-Multiplikator λ. Die neuen Gleichgewichtsbedingungen lauten nun

$\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dQ_{i}}}=0{\text{ für alle }}Q_{i}$

und wir erhalten die vier Gleichungen

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}-{\frac {49{m_{B}}g}{120}}-{\frac {17{{\Phi }_{C}}\,EI}{\ell _{0}^{2}}}-{\frac {108{W_{B}}\,EI}{\ell _{0}^{3}}}+{\frac {19{W_{A}}\,EI}{\ell _{0}^{3}}}&=0\\\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\lambda }{2}}-{\frac {9{m_{B}}g}{8}}+{\frac {135{{\Phi }_{C}}\,EI}{\ell _{0}^{2}}}+{\frac {729{W_{B}}\,EI}{\ell _{0}^{3}}}-{\frac {108{W_{A}}\,EI}{\ell _{0}^{3}}}&=0\\\displaystyle -{\frac {{\ell _{0}}\,{m_{B}}g}{12}}+{\frac {33{{\Phi }_{C}}\,EI}{\ell _{0}}}+{\frac {135{W_{B}}\,EI}{\ell _{0}^{2}}}-{\frac {17{W_{A}}\,EI}{\ell _{0}^{2}}}&=0\\\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\,{W_{B}}}{2}}+{\frac {W_{A}}{2}}&=0\end{array}}$

.

Geometric Constraints

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Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

$\displaystyle \left({\begin{array}{c}W_{A}\\W_{B}\\\Phi _{C}\\\lambda \end{array}}\right)={\frac {m_{B}\,g\,\ell _{0}^{3}}{3\;EI}}\left({\begin{array}{l}-3.7810^{-5}\\+2.1810^{-5}\\\displaystyle +0.00747{\frac {1}{\ell _{0}}}\\\displaystyle +2.71{\frac {EI}{\ell _{0}^{3}}}\end{array}}\right)$.

Solving

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Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

... für Φ(x):

Kippwinkel Φ(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

Post-Processing

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Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

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