Gelöste Aufgaben/Kw30

Aufgabenstellung

Oft stößt man in unscheinbaren Aufgabenstellungen auf unerwartete Hindernisse - so in dieser Aufgabe eines mathematischen Pendels, die auf eine Bewegungsgleichung mit periodischen Koeffizienten führt.

Lageplan

Das Pendel der Masse m und Länge ℓ der Aufgabe hat einen in A senkrecht mit u(t) periodisch bewegten Aufhängepunkt.

Berechnen Sie die Stabilität der Lösung der linearisierten Bewegungsgleichung für verschiedene Parameterkombinationen.

Gegeben sind

• m, ℓ, g sowie
• $u(t)={\hat {u}}\cdot \cos(\Omega \;t)$

tmp

Koordinaten und Freikörperbild

Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung

$\displaystyle J{\ddot {\varphi }}+{\frac {\ell }{2}}\;m\;{\frac {\ell }{2}}\;{\ddot {\varphi }}+m\;(g-{\ddot {u}})\;\sin(\varphi )=0$

mit

$\displaystyle {\dot {(.)}}:={\frac {d}{dt}}(.)$.

Wir linearisieren und erhalten mit

$\displaystyle \sin(\varphi )\approx \varphi ,\;\;J={\frac {m\;\ell ^{2}}{12}}$

die lineare Differentialgleichung mit perdiodischen Koeffizienten

$\displaystyle {\frac {1}{3}}m\cdot {{\ell }^{2}}\cdot {\ddot {\varphi }}+m\cdot \ell \cdot \left(g+\Omega ^{2}\;{\hat {u}}\;\cos(\Omega \;t)\right)\cdot \varphi =0$.

Das ist eine Grundform der Mathieuschen Differentialgleichung - die wir noch in dimensionslose Form bringen wollen. Dazu soll die zugeordnete gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, also für

${\hat {u}}=0$,

in dimensionsloser Schreibweise und für einfache Parameter-Konstellationen die Periodendauer "1" haben. Das erreichen mit der dimensionslosen Zeit

$\displaystyle t=T\cdot \tau {\text{ und }}\Omega ={\frac {2\pi }{T}}$

und den dimensionslosen Parametern

$\displaystyle \Lambda ={\frac {3\;g}{\Omega ^{2}\;\ell }}{\text{ und }}\Gamma ={\frac {3\;U}{\ell }}$.

Damit ist

$\displaystyle \varphi ''+(2\pi )^{2}\cdot \left(\Lambda +\Gamma \cdot \cos(2\pi \;\tau )\right)\cdot \varphi =0{\text{ mit }}(.)':={\frac {d}{d\tau }}(.)$.

Für Λ=1 ist das wie gewünscht eine Bewegungsgleichung mit der Periodendauer "1":

$\varphi ''+(2\pi )^{2}\;\varphi =0$.

Equations of Motion

Text

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tmp

Für die Stabilität der Bewegungsgleichung brauchen wir den Satz von Floquet-Ljapunow und die Fundamentalmatrix Φ. Zunächst schreiben wir die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung erster Ordnung  als

${\underline {q}}'=\left({\begin{array}{c}\psi \\-(2\pi )^{2}\cdot \left(\Lambda +\Gamma \cdot \cos(2\pi \;\tau )\right)\cdot \varphi \end{array}}\right){\text{ mit }}{\underline {q}}=\left({\begin{array}{c}\varphi \\\psi \end{array}}\right)$

bzw. als

${\underline {q}}'=\underbrace {\left({\begin{array}{c}0&1\\-(2\pi )^{2}\cdot \left(\Lambda +\Gamma \cdot \cos(2\pi \;\tau )\right)&0\end{array}}\right)} _{\displaystyle :={\underline {\underline {A(\tau )}}}}\cdot {\underline {q}}$.

Durch den Zeit-periodischen Koeffizienten in τ hat diese Bewegungsgleichung keine "einfachen" Lösungen der Form e^λt mehr. Statt dessen untersuchen wir die Stabilität anhand der Fundamentalmatrix Φ^*, in der zwei Fundamentalösungen

${\underline {\underline {\Phi }}}:=\left({\underline {q}}_{T,1},{\underline {q}}_{T,2}\right)$

mit

${\underline {q}}_{T,1}={\underline {q}}_{1}(T){\text{und }}{\underline {q}}_{1}(0)=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)$

und

${\underline {q}}_{T,2}={\underline {q}}_{2}(T){\text{und }}{\underline {q}}_{2}(0)=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$

stehen.

Abbildungsvorschrift über die Periodendauer.

Wir interpretieren also die Fundamentalmatrix Φ^* als Abbildungsvorschrift, um die Anfangsbedingungen q(0)  über das Zeitintervall - hier T = 1 - hinweg abzubilden.

Die Eigenwerte μ_i der Fundamentalmatrix heißen

• charakteristische Multiplikatoren.

Die charakteristischen Exponenten sind

• $\varrho _{i}=\ln(\mu _{i})$.

Damit Lösungen der Bewegungsgleichung stabil sind, muss

$|\mu _{i}|<1{\text{ bzw. }}\Re (\varrho _{i})<0$

für alle Eigenwerte gelten. Die Fudnamentalmatrix erhalten wir am besten durch die numerische Lösung der Bewegungsgleichung als Anfangswertproblem - hier mit dem Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung - z.B. für

$\Lambda =1,\;\;\Gamma =1.$

Durch zweifache Lösung des Anfangswertproblems finden wir

${\underline {\underline {\Phi }}}^{*}={\begin{pmatrix}0.024&1.168\\1.168&15.035\end{pmatrix}}$.

Die Fundamentalmatrix hat die Eigenwerte

${\begin{array}{l}\mu _{1}=-0.0661,\\\mu _{2}=15.1256\end{array}}$

und besitzt damit einen Eigenwert, dessen Betrag größer als "1" ist - die Lösung ist instabil.

Instabile Lösung

Das können wir prüfen, indem wir uns die numerische Lösung im Zeitbereich anschauen:

• der Winkel der Auslenkung wächst (exponentiell) mit der Zeit.

Solve and Check for Stability of Solution

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tmp

Diese Untersuchung können wir nun für eine Reihe von Parameter-Konstellationen wiederholen und den größeren der beiden charakteristischen Exponenten jeweils auftragen.

Stabilitätskarte

Wir untersuchen den Bereich $\Lambda =-1\ldots 2,\;\;\Gamma =0\ldots 3.$

und tragen die Werte des Exponenten ρ farbig kodiert auf:

Bei genauerer Analyse können wir die stabilen (grün) von den instabilen Parameter-Bereichen durch eine rote Linie trennen.

Dies ist ein Ausschnitt der Ince-Struttschen Karte. Sie gibt die Stabilität der Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichungen an.

Ince-Struttsche Karte

Und so sieht die gesamte Ince-Struttsche Karte aus:

Achtung: hier wurden unterschiedliche Parameterwerte für Λ und Γ verwendet!

Wir erkennen: bei periodischer Erregung des Fußpunktes hat

• das gewöhnliche mathematische Pendel (Λ>0) große Bereiche dynamischer Instabilität!
• das inverse Pendel (Λ<0) Bereiche dynamischer Stabilität!

Ince-Struttsche Karte

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Links

• https://youtu.be/rwGAzy0noU0

Literature

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