Gelöste Aufgaben/FEB1

Aufgabenstellung

Auch wenn es nicht so aussieht: für das rotierende Rotorblatt suchen wir eine statische Lösung - das Problem heißt "quasistatisch".

Lageplan

Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω. Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.

Lösung mit Maxima

Lorem Ipsum ....

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Zu diesem Problem finden wir einfach eine analytische Lösung - die nutzen wir später, um unsere Ergebnisse dimensionslos zu machen.

Ausgangspunkt ist die Gleichgewichtsbeziehung des Dehnstabes. Die Streckenlast n (hier n(r)) ist die Zentrifugalkraft - oder die D'Alembert'sche Trägheitskraft der Zentripetalbeschleunigung, also

$n(x)=-\varrho \,A\,r\,\Omega ^{2}$ .

Die Bewegungsgleichung lautet dann

$E\,A\,u''(r)=\varrho \,A\,r\,\Omega ^{2}$ .

Die allgemeine Lösung ist

$\displaystyle A\,E\,u(r)=-{\frac {\varrho \,A\,{{\Omega }^{2}}\,{{r}^{3}}}{6}}+{{c}_{1}}r+{{c}_{0}}$ ,

angepasst an die Randbedingungen

${\begin{array}{l}u(0)=0\\\displaystyle E\,A\,{\frac {d}{dr}}u|_{r=\ell _{0}}=0\end{array}}$

erhalten wir

$\displaystyle {u}(r)={\frac {3{{\ell }_{0}^{2}}\,r-r^{3}}{6\,A\,E}}\cdot \varrho \,A\,{{\Omega }^{2}}$ .

Als Bezugslänge gewinnen wir hier

${\begin{array}{ll}u_{s}&=u(\ell _{0})\\&\displaystyle ={\frac {{{\ell }_{0}^{3}}\,{{\Omega }^{2}}\varrho }{3E}}\end{array}}$===Header=== Text

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Für die Komposition der Bewegungsgleichungen brauchen wir die Element-Steifigkeitsmatrix und die Element-Lastmatrix.

Wir gehen von gleichlangen Elementen aus, hier von

$I=4$

Elementen, also

$\displaystyle \ell _{i}={\frac {\ell _{0}}{I}}$.

Wie im Abschnitt "Finite Elemente Methode" verwenden wir die linearen Ansatzfunktionen

$\phi _{1}=1-\xi \;{\text{ und }}\;\phi _{1}=\xi$,

also

$u_{i}(\xi _{i})=U_{i-1}\cdot \phi _{1}(\xi _{1})+U_{i}\cdot \phi _{2}(\xi _{i})$.

Die Element-Steifigkeitsmatrix ergibt sich für den Dehnstab zu

$\displaystyle {\underline {\underline {K}}}_{i}={\frac {E\,A}{\ell _{i}}}\cdot \left({\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}}\right)$.

Die Element-Lastmatrix ist etwas schwieriger. Für ein einzelnes Element i ist

$\displaystyle \delta W^{a}=\int _{\displaystyle r_{i}-1}^{\displaystyle r_{i}}\varrho \,A\,r\,\Omega ^{2}\cdot \delta u(r)\;dr$.

Mit

$r=r_{i-1}+\ell _{i}\,\xi _{i}{\text{ und }}r_{i-1}=(i-1)\cdot \ell _{i}$

schreiben die Beziehung um zu

$\displaystyle \delta W^{a}=\varrho \,A\,\Omega ^{2}\,\ell _{i}^{2}\cdot \int _{0}^{1}(i+\xi )\cdot \delta u(\xi )\;d\xi$,

wir erhalten

${\underline {P}}_{i}=\varrho \,A\,\Omega ^{2}\,\ell _{i}^{2}\left({\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {3\,i+1}{6}}\\\displaystyle {\frac {3\,i+2}{6}}\end{array}}\right)$. ===Declarations=== Text

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Die Gleichgewichtsbeziehungen des Gesamtsystems erhalten wir durch aus der Addition aller virtuellen Arbeiten des Systems, praktisch durch das Hinzuaddieren der Anteile je Element in die System-Matrizen für K und P:

${\underline {\underline {K}}}={\begin{pmatrix}{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&0&0&0\\-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&{\frac {2AE}{{\ell }_{i}}}&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&0&0\\0&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&{\frac {2AE}{{\ell }_{i}}}&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&0\\0&0&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&{\frac {2AE}{{\ell }_{i}}}&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}\\0&0&0&-{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}&{\frac {AE}{{\ell }_{i}}}\end{pmatrix}}$

und

${\underline {P}}=\varrho \,A\,\ell _{i}^{2}\,\Omega ^{2}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}\\1\\2\\3\\{\frac {11}{6}}\end{pmatrix}}$===Equlibrium Conditions=== Text

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Die geometrische Randbedingung U₀ = 0 arbeiten wir ein, indem wir die erste Zeile des Gleichungssystem streichen sowie die erste Spalte der Steifigketsmatrix.===Boundary Conditions=== Text

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Die Lösung des linearen Gleichungssystems

${\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {U}}={\underline {P}}$

ist

${\underline {U}}={\begin{pmatrix}{\frac {47{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega }^{2}}\rho }{384E}}\\{\frac {11{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega }^{2}}\rho }{48E}}\\{\frac {39{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega }^{2}}\rho }{128E}}\\{\frac {{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega }^{2}}\rho }{3E}}\end{pmatrix}}$.

Oder - in dimensionsloser Form

$\displaystyle {\frac {\underline {U}}{u_{s}}}={\begin{pmatrix}{\frac {47}{128}}\\{\frac {11}{16}}\\{\frac {117}{128}}\\1\end{pmatrix}}$.===Solving=== Text

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Auslenkung u(x).

Die Ergebnisse der FE-Rechnung und der analytischen Lösung können wir jetzt übereinander auftragen:

Die Dehnungen (und Spannungen) im Bauteil sind

$\displaystyle \varepsilon _{rr}={\frac {du}{dr}}$.

Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:

Dehnung ε(x).

===Post-Processing===

✔ Konstante Dehnung je Element:

Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.

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Links

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Literature

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