Gelöste Aufgaben/FEAF: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Lösung des Anfangswertproblems setzt sich aus zwei Teilen zusammen: | |||
* der partikularen Lösung, die die Rechte Seite "''G''" erfüllt und | * der partikularen Lösung, die die Rechte Seite "''G''" erfüllt und | ||
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Die Gesamtlösung ''Q<sub>t</sub>'' setzt sich nun - bei diesem linearen System - additiv aus partikularer ''Q<sub>p</sub>'' und ''Q<sub>h</sub>'' homogener Lösung zusammen: | Die Gesamtlösung ''Q<sub>t</sub>'' setzt sich nun - bei diesem linearen System - additiv aus partikularer ''Q<sub>p</sub>'' und ''Q<sub>h</sub>'' homogener Lösung zusammen: | ||
<math>\underline{Q}_t(t) = \underline{Q}_p(t) + \underline{Q}_h(t)</math> | ::<math>\underline{Q}_t(t) = \underline{Q}_p(t) + \underline{Q}_h(t)</math>. | ||
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/**************** total solution */ | |||
Q[t] : Q[p] + Q[h]; | |||
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<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Right-Hand-Side Approach | <!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Right-Hand-Side Approach | ||
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Version vom 24. Februar 2021, 15:10 Uhr
Aufgabenstellung
Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung
- der statischen Auslenkung mit FEM aus FEAD und
- der Schwingungen des Feder-Masse-Systems aus FEAE
auf.
Gesucht ist die Längsschwingung des Stabes beim Loslassen aus seiner unverformten Referenzlage. Dabei arbeiten wir mit der Methode der Finiten Elemente zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Die Integeationskonstanten der Lösung passen wir an die Anfangsbedingungen
- keine Anfangs-Auslenkung
- keine Anfangs-Geschwindigkeit
an.
Lösung mit Maxima
Header
Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass
- .
Später brauchen wir für die dimensionslose Formulierung noch eine Bezugszeit tBez und eine Bezugslänge lBez.
Dazu nehmen wir eine "Anleihe" bei der analytischen Lösung des Schwingungsproblems (vgl. Aufgabe SKER):
Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil | Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil |
---|---|
Die partielle Bewegungsgleichung des Stabes hat Lösungen
die für und unsere Randbedingungen erfüllen. Für die langsamste Eigenmode ist
und wir wählen
|
Der partikulare Lösungsanteil ist
Die statische Auslenkung am unteren Ende ist demnach
Wir wählen
|
Modell-Parameter
Für die Diskretisierung wählen wir als Anzahl der Finiten Elemente
und damit je Element
- .
Wir wählen lineare Ansatzfunktionen je Element, also
Die abhängigen Koordinaten des FEM-Modells sind dann zunächst - bis zum Einarbeiten der Randbedingungen -
- .
/*******************************************************/
/* MAXIMA script */
/* version: wxMaxima 16.04.2 */
/* author: Andreas Baumgart */
/* last updated: 2018-01-07 */
/* ref: FEM, PVMPE using two coordinates */
/* description: solve by principle virt. Work */
/*******************************************************/
/* settings */
workdir: "C:\\Users\\X...X\\plots\\";
/* assumptions */
assume(E>0,A>0,l[0]>0);
/* start: include these results */
/* from the analytical solution - see "solved problems": SKER */
sol[1] : [kappa=(2*%pi*i-%pi)/(2*l[0]),omega[0]^2=(4*%pi^2*E*i^2-4*%pi^2*E*i+%pi^2*E)/(4*l[0]^2*rho)]$
u[p] : [u(x)=-(g*rho*x^2-2*l[0]*g*rho*x)/(2*E),
U[i]=-32/(8*%pi^3*i^3-12*%pi^3*i^2+6*%pi^3*i-%pi^3)]$
abbrev : [omega[0,0] =(2*%pi)/T,
omega[0,0]^2=(%pi^2*E)/(4*l[0]^2*rho),
omega[0,0]=(%pi*sqrt(E))/(2*l[0]*sqrt(rho)),
T=(4*l[0]*sqrt(rho))/sqrt(E)]$
params : [t=T*tau,u[s]=(l[0]^2*g*rho)/(2*E)]$
/* end: include these results */
/* choose number of finite elements :*/
I : 2;
params: append(params, [l[i] = l[0]/I]);
/* coordinates */
Q[t]: makelist( U[i](t),i,1,I);
/* tial function */
phi : [1-xi, xi];
Equilibrium Conditions
Die Gleichgewichtsbedingung mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen setzen sich additiv aus
- ,
zusammen - also den virtuellen Arbeiten je Element zuzüglich von virtuellen Arbeiten am Rand. In unserem Beispiel ist allerdings
Je Element sind die virtuelle Formänderungsenergie (vgl. Finite Elemente Methode)
mit der Element-Steifigkeitsmatrix
- .
Und je Element sind die virtuelle Arbeit der D'Alembert'sche Trägheitskraft
mit der Element-Massenmatrix
- .
Analog folgt für die virtuelle Arbeit der Gewichtskraft
mit
- .
Die System-Matrizen komponieren wir nun durch Hinzuaddieren der Anteile je Element.
Beispiel: die Gesamt-Steifigkeitsmatrix für I=4:
Die Beiträge der vier Elemente sind hier in rot, grün, blau und schwarz eingefärbt.
In Matrix-Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung des Gesamt-Systems jetzt:
- .
/*elemente mass matrix */
M[i] : rho*A*l[i]*makelist(
makelist(integrate(
phi[j]*phi[k], xi,0,1) ,j,1,2),
k,1,2);
/*elemente stiffness matrix */
K[i] : E*A/l[i]*makelist(
makelist(integrate(
diff(phi[j],xi)*diff(phi[k],xi),xi,0,1) ,j,1,2),
k,1,2);
/*elemente load col-matrix */
G[i] : rho*A*l[i]*g*makelist(integrate(phi[j], xi,0,1) ,j,1,2);/* compose total system matrices */
M[0] : zeromatrix(I+1,I+1)$
K[0] : zeromatrix(I+1,I+1)$
G[0] : zeromatrix(I+1, 1)$
for e:1 thru I do
for row:1 thru 2 do
(for col:1 thru 2 do
(K[0][(e-1)+row][(e-1)+col] : K[0][(e-1)+row][(e-1)+col] + K[i][row][col],
M[0][(e-1)+row][(e-1)+col] : M[0][(e-1)+row][(e-1)+col] + M[i][row][col]),
G[0][(e-1)+row][1] : G[0][(e-1)+row][1] + G[i][row])$
/* insert boundary conditions */
M[0] : submatrix(1,M[0],1);
K[0] : submatrix(1,K[0],1);
G[0] : submatrix(1,G[0] );
/* control print-out */
print(M[0],"∙",transpose(diff(Q[t],t,2)),"+",K[0],"∙",transpose(Q[t]),"=",G[0])$
tmp
Solving
Die Lösung des Anfangswertproblems setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
- der partikularen Lösung, die die Rechte Seite "G" erfüllt und
- der homogenen Lösung, die die Rechte Seite "0" erfüllt.
Die Gesamtlösung Qt setzt sich nun - bei diesem linearen System - additiv aus partikularer Qp und Qh homogener Lösung zusammen:
- .
/**************** total solution */
Q[t] : Q[p] + Q[h];
tmp
Right-Hand-Side Approach
Die rechte Seite der Bewegungsgleichung G ist nicht zeitabhängig - sie ist statisch. Also ist auch die Lösung Qp statisch, wir suchen nach der Lösung des Gleichungssystems
und die ist
Mit us also
- .
/**************** total solution */
Q[t] : Q[p] + Q[h];
tmp
Zur Lösung der homogenen Bewegungsgleichung
setzen wir an
und erhalten das Eigenwertproblem
mit
den Eigenwerten | und |
den Eigenvektoren | . |
Die Berechnung der Eigenwerte λ wird einfacher mit
und wir transformieren parallel die Bewegungsgleichungen auf die dimensionslose Zeit
mit ,
also
.
Wir finden zwei Eigenwerte aus der Bedingung :
und
.
Für die Matrix
stellen wir fest:
Die Matrix hat
- einen Rang (rank) von 1 - es gibt eine linear abhängige Zeile im Gleichungssystem und - entsprechend -
- einen Rangabfall (nullity) von 1.
Die Eigenvektoren spannen nun den Nullraum (nullspace) der Matrix auf. Normmert auf die Länge 1 sind das
- für λ1:
und
- für λ2:
.
Die homogene Lösung der Bewegungsgleichung lautet damit
mit den Integrationskonstanten c1 und c2. Durch die komplexen Eigenwerte sind die beiden Integrationskonstanten nun auch komplexwertig, also
.===Homogeneous Solution=== Text
1+1
tmp
Diese vier reell-wertigen Integrationskonstanten bekommen wir aus vier Anfangsbedingungen für die beiden Massen, hier für I=2
- .
Wir finden
- .
und damit
- .
Adapt to Initial Conditions
Text
1+1
tmp
Die FEM-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:
Interessant ist die Auftragung von analytischer und FEM-Lösung als Animation über der Zeit: Man erkennt, wie die FE-Lösung sowohl Form als auch Zeitverlauf der analytischer Lösung erfasst, man erkennt jedoch auch, wie die FE-Lösung - Aufgrund ihrer höheren Eigenfrequenz - der analytischen Lösung vorauseilt.
Post-Processing
1+1
Links
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Literature
- ...