Gelöste Aufgaben/FEAB

Aufgabenstellung

Statt zwei Freiheitsgraden wie in FEAA haben wir jetzt - bei einem Kontinuum - unendlich viele.

Lageplan

Gesucht ist die Näherungslösung für die Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen. Wir verwenden polynomialen Ansatzfunktionen über die Gesamtlänge - also eine Mischung aus Finiten-Elemente-Methode und dem Rayleigh-Ritz-Verfahren.

Lösung mit Maxima

Header

In den Lageplan haben wir bereits den funktionalen Fireheitsgrad u(x) eingetragen, der Stab ist am oberen Ende befestigt und wird am unteren Ende mit der Zugkraft F belastet.

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/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 16.04.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-10-10                            */
/* ref: FENV step 4 im Prozess: Ganzfeldansätze        */
/* description: mit dem PvV werden die Bewegungsgl.    */
/*          für einen Stab unter Gewichtskraft erstellt*/
/*******************************************************/

Declarations

Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.

Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.

Hier wählen wir

$I=2$ (im Maximaskipt I=3)

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/*******************************************************/
/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
declare("δW", alphabetic);
declare("δA", alphabetic);
declare("δΠ", alphabetic);
declare("δQ", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
/*******************************************************/
/* parameter */
I : 3; /* max: 3*/

Für die Formfunktionen wählen wir

$u(x)=\sum _{i=1}^I{U}_i\cdot {\left(\frac{x}{\ell }\right)}^i$> ,

also für I=2

$u(x)=U_1\frac{x}{l}+U_2{\left(\frac{x}{l}\right)}^2$

und entsprechend

$\delta u(x)=\delta U_1\frac{x}{l}+\delta U_2{\left(\frac{x}{l}\right)}^2$ .===Formfuctions=== Text

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Die Gleichgewichtsbedingung

$\begin{array}{ll}\delta W& =\delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}0\end{array}$

liefert

$\delta W=\frac{\delta U_{2}Ag\ell \rho }{3}+\frac{\delta U_{1}Ag\ell \rho }{2}-\frac{4U_2{{\delta }{U}}_{2}AE}{3\ell }-\frac{U_1{{\delta }{U}}_{2}AE}{\ell }-\frac{{{\delta }{U}}_1{U}_{2}AE}{\ell }-\frac{U_1{{\delta }{U}}_{1}AE}{\ell }$.===Equilibrium Conditions=== Text

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Die Glechgewichtsbedingungen folgen daraus zu

$\begin{array}{l}-\frac{Ag\ell \rho }{2}+\frac{U_{2}AE}{\ell }+\frac{U_{1}AE}{\ell }=0,\\ -\frac{Ag\ell \rho }{3}+\frac{4U_{2}AE}{3l}+\frac{U_{1}AE}{\ell }=0\end{array}$

und somit

$U_1=\frac{g{\ell }^2\rho }{E},U_2=-\frac{g{\ell }^2\rho }{2E}$===Solving=== Text

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Und wir tragen die Ergebnisse auf für die numerische Näherungslösung

$u(x)=\frac{g\rho {\ell }^2}{E}\cdot \frac{x}{\ell }-\frac{g\rho {\ell }^2}{2E}\cdot {\left(\frac{x}{\ell }\right)}^2$

gegen die exakte Lösung auf:

Verschiebung der Stab-Querschnitte.

===Post-Processing===

Text

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