Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Gewöhnliche lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem sind Gleichungen der Form

${\begin{array}{cccccccc}a_{1,1}\cdot x_{1}&+&a_{1,2}\cdot x_{2}&+&\ldots &+&a_{1,n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}\cdot x_{1}&+&a_{2,2}\cdot x_{2}&+&\ldots &+&a_{2,n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &+&\vdots &+&\vdots &+&\vdots &=&\vdots \\a_{m,1}\cdot x_{1}&+&a_{m,2}\cdot x_{2}&+&\ldots &+&a_{m,n}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}$.

Die gesuchten Größen x_i treten nur linear in den Gleichungen auf, also nicht z.B. als x_i² oder √x_i. Die Koeffizienten a_i,j und die "rechte Seite" b_i sind bekannte Größen.

In der Technischen Mechanik sind die unbekannten Größen üblicherweise

• Kräfte wie hier→,
• Integrationskonstanten wie hier→ oder
• Verschiebungen wie hier→.

Matrix-Schreibweise

Für unsere Anwendungen brauchen wir genau so viele Gleichungen wie Unbekannte, also ist üblicherweise m=n. Struktur bringen wir in diese unübersichtliche Anordnung, indem wir sie als

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots &a_{n,n}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)$

formulieren: wir schreiben die Konstanten b_i, die Unbekannten x_i und deren Koeffizienten a_i,j getrennt voneinander hin.

Diese rechteckige Anordnung unserer Größen nennen wir Matrizen (Singular: Matrix). Im Allgemeinen sind diese Matrizen einfach nur Tabellen, in die wir Objekte hineinschreiben. Einen physikalischen Sinn erhalten sie erst aus dem Kontext der linearen Gleichungen. Mit diesen Matrizen werden wir nach den Regeln der Linearen Algebra umgehen, sie miteinander addieren, subtrahieren und multiplizieren. Damit das in abstrakter Form übersichtlich wird, führen wir eine besondere Nomenklatur für die Abkürzungen von Matrizen ein: Mit

${\underline {\underline {A}}}:=\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots &a_{n,n}\end{array}}\right)$,

${\underline {x}}:=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)$

und

${\underline {b}}:=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)$

kürzen wir dann jedes lineare Gleichungssystem als

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$

ab.

Bezeichnungen

Wir brauchen ein paar Begriffe für den Umgang mit Matrizen:

Begriffe

Wir kennzeichnen Matrizen:

${\underline {\underline {A}}}:{\text{ eine }}n\times n{\text{ Matrix mit }}n>1$

${\underline {b}}:{\text{ eine }}n\times 1{\text{ oder }}1\times n{\text{ Matrix mit }}n>1$

Matrizen mit besondern Eigenschaften sind

• die Einheitsmatrix:
  ${\underline {\underline {1}}}:=\left({\begin{array}{cccc}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{array}}\right)$.
  Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).
• die Nullmatrix 0:
  ${\underline {\underline {0}}}$
  alle Elemente der Matrix sind 0.
• Die Dreiecksmatrix:
  Hier sind alle Elemente ober- oder unterhalb der Haupt-Diagonalen 0.
• symmetrische Matrizen:
  Hier ist
  $a_{i,j}=a_{j,i}$.
• Zeilenmatrix, Spaltenmatrix: Dies sind Matrizen, die nur eine Zeile oder nur eine Spalte besitzen.

🧨 Achtung:

In der Mathematik und Mechanik werden hier unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Mathematik bezeichnet eine Matrix mit nur einer Spalte oder Zeile als Vektor. Auch in Matlab heißt eine solche Matrix "Vektor". Für Ingenieure ist das keine gute Wahl: bei uns sind Vektoren gerichtete und orientierte Größen im Raum, keine Tabelle mit Objekten. Achtung

Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem heißt inhomogen, wenn die rechte Seite des Gleichungssystems b keine Null-Spaltenmatrix - kurz: nicht Null - ist.

Ein inhomogenes Gleichungssystem hat nur dann Lösungen, wenn die Spalten und Zeilen der Systemmatrix A linear unabhängig sind. Das prüft man mit über die Determinante.

Lösungsbeispiele sind:

Matlab	Maxima
x = linsovle(A,b)	x : linsolve_by_lu(A,b);
Code: x = linsolve(A,b)	Code: x : linsolve_by_lu(A,b);

Lösung von homogenen Gleichungssystemen

Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn b = 0 also

Ein homogenes Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale (= von Null verschiedene) Lösungen, wenn Spalten und Zeilen der Systemmatrix A linear abhängig sind. Das prüft man über die Determinante.

$\det({\underline {\underline {A}}})\neq 0$

Damit ist die Lösung nicht eindeutig bestimmt - es gibt in den Lösungen immer mindestens eine Konstante, die frei gewählt werden kann.

Inverse Matrix

Die inverse einer Matrix A^-1 erfüllt

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {\underline {A}}}^{-1}={\underline {\underline {1}}}$.

Für Anwendungen der Mechanik brauchen wir sie nicht.

Insbesondere ist

im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist

• teuer und
• ungenau.