Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen

Die Gleichgewichtsbedingungen eines Systems sind Gleichungen in unbekannten Systemvariablen - wie z.B. Stabkräften, Einspannmomenten, Verschiebungen etc. Ein System ist im Gleichgewicht, wenn diese Variablen alle Gleichungen lösen.

Das vektoriellen Kräftegleichgewicht

$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {0}}{\text{ und }}\sum _{i}{\vec {M}}_{i}={\vec {0}}$

liefert die Gleichgewichtsbedingungen der klassischen Mechanik. Damit sind Sie in die Statik starrer Körper und in die Elastostatik gestartet, in der Dynamik starrer Körper kam mit den Newtonschen Gesetzen oder dem Prinzip von d'Alembert der Anteil der Trägheit eines Körpers ins Spiel - der charakteristische Vektorcharakter der Beziehungen blieb derselbe.

Für einfache Aufgaben hat das gut funktioniert, für die Arbeit an praktischen Problemen und mit dem Computer ist der Ansatz unbrauchbar, denn:

1. für lokale Gleichgewichtsbedingungen müssten wir freischneiden - das kann der Computer nicht und
2. uns interessieren als Ingenieure in der Regel Näherungslösungen, bei denen die obigen Gleichgewichtsbeziehungen je Raumrichtung nur näherungsweise erfüllt sind.

Verschiedene Ansätze zu Gleichgewichtsbedingungen von materiellen Körpern

Insbesondere für die beiden Prozessschritte im Lösungsschema der klassischen Mechanik

• Freikörperbild und
• Kräftegleichgewicht

suchen wir also einen Computer-kompatiblen Ersatz.

Es stellt sich heraus, dass es dafür nicht nur einen Ersatz, sondern gleich eine ganze Gruppe gibt, die "Energiemethoden der Mechanik" oder die "Analytische Mechanik".

In der Analytischen Mechanik sind eine Reihe von Gleichgewichtsprinzipen versammelt, die sich ganz elementar von der klassischen Mechanik unterscheiden:

Die Klassische Mechanik	Die Analytische Mechanik
basiert auf (vektoriellen) Kräften, betrachtet Gleichgewichte von Kontinua lokal je differentiellem Massepunkt,	basiert auf (skalaren ) Energien / Arbeiten. betrachtet integrale Gleichgewichte z.B. zwischen der Formänderungsenergie und der Kinetische Energie des Gesamtsystems.

Beide dieser Eigenschaften der Analytische Mechanik werden Sie bei der numerischen Behandlung von Problemen der Strukturmechanik sehr schätzen - obwohl die Erfinder der Analytischen Prinzipe im 18. Jahrhundert da sicher noch nicht dran gedacht haben.

Untergeordnete Seiten

1. Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik
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