Anfangswertprobleme

Computer haben die Sicht auf Anfangswertprobleme komplett verändert.

Bis ca. 1960 waren Ingenieure darauf angewiesen, analytische Lösungen in Form von Funktionen für Bewegungen zu finden. Bahnen von Raketen und Raumkapseln konnte man nur über Funktionen für periodische Orbits oder Parabelflüge angeben. Die ersten Großrechner öffneten den Weg für einfache numerische Berechnungen: sie konnten Bahnen von Körpern durch eine endliche - aber sehr große - Anzahl von Raumpunkten erfassen und diese mit großer Geschwindigkeit berechnen. Lösungen zu beliebigen Flugphasen konnte man nun numerisch finden →.

Leonhard Euler hatte das Verfahren dazu 1768 beschrieben - ohne Computer war es aber fast ohne praktischen Nutzen. Das änderte sich mit den ersten Computern nachhaltig.

Ingenieure nutzen numerische Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme heute selten. Selten, weil die Menge an Daten, die numerische Integrationsverfahren produzieren, unüberschaubar groß werden kann. Während wir für linearen Bewegungsgleichungen mit analytischen Verfahren das Eigenwertproblem lösen - und Eigenwerte und Eigenvektoren als Ergebnisse erhalten - ist das Ergebnis einer numerischen Integration eine große Tabelle der Werte der Zustandsgrößen zu bestimmten Zeitpunkten.

Und es gibt Anwendungen, da geht es nicht ohne die numerische Lösung. Dazu zählen alle Anwendungen im Zeitbereich, die sich nicht linearisieren lassen - wie Stoßvorgänge, Grenzzyklen von Schwingungen mit Selbsterregung oder Prozesse, bei denen inherent nichtlineare Prozesse zu unüberschaubaren Wechselwirkungen der Zustandsgrößen führen (wie bei Klimamodellen).

Look Ahead!

1. Ausgewählte Beispiele zu Anfangswertproblemen
2. Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen