Sources/Lexikon/Modalanalyse

Die Eigenfrequenzen und deren Eigenschwingungsformen reichen meist vollständig aus, um das charakteristische Verhalten von schwingungsfähigen, linearen  Systemen zu erfassen. Eine Stimmgabel z.B. schwingt hauptsächlich mit 440 Hz - dem Kammerton "a" - und dient damit als Referenz beim Stimmen von Musikinstrumenten. Musikinstrumente, Getriebe und die Oberfläche von Flugzeug-Triebwerken haben ähnliche Schwingungs-Charakteristika, die maßgeblich Ihre strukturellen Belastungen und Schall-Emission steuern.

Eigenwert und Eigenform

Die Modalanalyse ist ein mathematisches Werkzeug zur Schwingungsanalyse, zur Ermittlung der charakteristischen modalen Parameter

• Eigenfrequenz und
• Eigenschwingungsform.

Ausgangspunkt sind meist N lineare Bewegungsgleichungen 2-ter Ordnung eines technischen Systems der Mechanik. Wir schreiben Sie in Matrix-Form

${\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\ddot {Q}}}+{\underline {\underline {B}}}\cdot {\underline {\dot {Q}}}+{\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {P}}(t)$

mit

${\underline {Q}}(t)=\left({\begin{array}{c}q_{1}(t)\\q_{1}(t)\\\vdots \\q_{N}(t)\\\end{array}}\right)$.

Die Modalanalyse liefert nun den Anteil der Lösung der homogenen Bewegungsgleichung, also von  

${\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\ddot {Q}}}+{\underline {\underline {B}}}\cdot {\underline {\dot {Q}}}+{\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {0}}$

mit dem Ansatz

${\underline {Q}}(t)={\hat {\underline {Q}}}\cdot e^{\displaystyle \lambda \cdot t}$.

Nach dem Einsetzen und Herauskürzen von $e^{\lambda t}$ aus der Bewegungsgleichung taucht die Zeit t nicht mehr in dem homogenen Gleichungssystem auf:

$\underbrace {\left(\lambda ^{2}\;{\underline {\underline {M}}}+\lambda \;{\underline {\underline {B}}}+{\underline {\underline {K}}}\right)} _{=:\displaystyle {\underline {\underline {A}}}(\lambda )}\cdot {\underline {\hat {Q}}}={\underline {0}}$.

Aus dem System von Bewegungsdifferentialgleichungen ist das System linearer, gewöhnlicher, homogener Gleichungen

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}={\underline {0}}$

geworden. Wir brauchen also nur noch die λ's zu bestimmen, für die das homogene Gleichungssystem eine nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösung ${\underline {\hat {Q}}}$ hat. Davon gibt es genau N Stück.

✔ Tipp:

Die Matrix A ist für die berechneten Eigenwerte singulär. Das heißt: wir haben nur N-1 unabhängige Gleichungen zur Bestimmung der N Komponenten des Eigenvektors.  Ist also ${\underline {\hat {Q}}}_{k}$ ein Eigenvektor, dann ist es auch $C\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}$. Oft nutzt man diese Freiheit, um eine zusätzliche Bedingung einzuführen, nämlich $\left\vert \left\vert {\underline {\hat {Q}}}_{k}\right\vert \right\vert =1$, der Eigenvektor ist dann ein Einheits-Eigenvektor.

Die Kombination aus dem Quadrat des Eigenwerts (→ Eigenfrequenz) und zugeordnetem Eigenvektor (→ Schwingungsform)

$\left(\lambda _{n}^{2},{\hat {Q}}_{n}\right),n=1,\ldots ,N$

heißt Eigenlösung (vgl. Eigenwertanalyse).

Die Gesamtlösung setzen wir aus den Eigenlösungen zusammen mit

$\displaystyle Q(t)=\sum _{k}Q_{k}(t)$

und

${\underline {Q}}_{k}(t)={\hat {\underline {Q}}}_{k}\cdot e^{\displaystyle \lambda _{k}\cdot t}$.

Wenn keine gyroskopischen Terme (wie z.B. in FEC1) auftreten, sind die System-Matrizen symmetrisch, dann gilt

${\underline {\underline {M}}}={\underline {\underline {M}}}^{T}$, ${\underline {\underline {B}}}={\underline {\underline {B}}}^{T}$, ${\underline {\underline {K}}}={\underline {\underline {K}}}^{T}$.

Diese Symmetrie werden wir ausnutzen!

Eigenschwingungsformen sind orthogonal zueinander

Was das heißt, können wir besonders einfach zeigen, wenn wir zuerst ohne viskose Dämpfung, also mit

${\underline {\underline {B}}}={\underline {\underline {0}}}$

arbeiten. Dann nämlich sind die Eigenlösung reell! Die Eigenlösung können wir nun als

${\begin{array}{ll}\left(\Lambda _{n},{\hat {Q}}_{n}\right),n=1,\ldots ,N{\text{ mit }}&\Lambda _{n}=\lambda _{n}^{2},\\&\lambda _{n}=j\cdot \omega _{0,n},\\&j={\sqrt {-1}}\end{array}}$

abkürzen. Einsetzten der Eigenlösungen in die homogene Bewegungsgleichung - jeweils einmal für die Lösung n=k und n=l - liefert zwei Gleichungssysteme, die wir mit den Eigenvektoren der jeweils anderen Lösung (rot) durchmultiplizieren.

${\begin{array}{rrr}\Lambda _{k}\;\;\;{\color {red}{{\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}}}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}&+{\color {red}{{\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}}}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}&=0\\\Lambda _{l}\;\;\;{\color {red}{{\underline {\hat {Q}}}_{k}^{T}}}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{l}&+{\color {red}{{\underline {\hat {Q}}}_{k}^{T}}}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{l}&=0\end{array}}$

Jetzt transponieren wir die zweite Zeile und führen die Transposition jeweils auf die Matrix-Ebene zurück, z.B. so:

$\left({\color {red}{\underline {{\hat {Q}}_{k}^{T}}}}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{l}\right)^{T}={\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}^{T}\cdot {\color {red}{\underline {{\hat {Q}}_{k}}}}$

Die beiden Zeilen oben subtrahieren wir nun von einander und finden wegen

${\underline {\underline {K}}}^{T}={\underline {\underline {K}}}$ und ${\underline {\underline {M}}}^{T}={\underline {\underline {M}}}$

die Aussage

$\left(\Lambda _{k}-\Lambda _{l}\right)\;\;\;{\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}=0$.

Dann ist also

1. $\ldots {\text{ für }}k=l:\left(\Lambda _{k}-\Lambda _{l}\right)=0{\text{ und }}$
2. $\ldots {\text{ für }}k\neq l:{\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}=0\;\;\;{\text{ und damit übrigens auch }}{\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}=0$

Die Aussage von 2. ist: Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind im Sinne des Skalarprodukts

${\underline {\hat {Q}}}_{l}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\hat {Q}}}_{k}=0$

orthogonal. Das heißt auch, dass die Eigenvektoren nur dann zueinander selbst orthogonal sind, wenn die Massenmatrix proportional zur Einheitsmatrix ist.

Die Modalmatrix

Die N Eigenlösungen können wir in Matrixform schrieben - und damit die Transformation in Modalkoordinaten vorbereiten.

Dazu definieren wir die Modalmatrix

$\mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} =\left({\underline {\hat {Q}}}_{1},{\underline {\hat {Q}}}_{2},\ldots ,{\underline {\hat {Q}}}_{N}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\hat {q}}_{11}&\ldots &{\hat {q}}_{1N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\hat {q}}_{N1}&\ldots &{\hat {q}}_{NN}\end{array}}\right)$

und die Diagonalmatrix der Eigenwerte

$\mathbf {\underline {\underline {\Lambda }}} ={\text{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{N}\right)=\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}&&0\\&\ddots &\\0&&\lambda _{N}\end{array}}\right)$.

Diagonalisierung der Systemmatrizen und Transformation auf Modalkoordinaten

Die Eigenlösungen können wir nun so zusammenfassen:

$\mathbf {\underline {\underline {\Lambda }}} \cdot \mathbf {{\underline {\underline {\hat {Q}}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot \mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} } +\mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} ^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot \mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} ={\underline {0}}$.

Wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren ist

$\mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} ^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot \mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} =\underbrace {\left({\begin{array}{ccc}{\tilde {m}}_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&{\tilde {m}}_{N}\end{array}}\right)} _{\displaystyle ={\text{diag}}({\tilde {m}}_{k})}$ und $\mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} ^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot \mathbf {\underline {\underline {\hat {Q}}}} =\underbrace {\left({\begin{array}{ccc}{\tilde {k}}_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&{\tilde {k}}_{N}\end{array}}\right)} _{\displaystyle ={\text{diag}}({\tilde {k}}_{k})}$.

Wir definieren

${\underline {\underline {\tilde {M}}}}:={\text{diag}}({\tilde {m}}_{k}){\text{ und }}{\underline {\underline {\tilde {K}}}}:={\text{diag}}({\tilde {k}}_{k})$,

Und wir nennen

${\begin{array}{lcl}{\tilde {m}}_{k}&\ldots &{\text{modale Masse und}}\\{\tilde {k}}_{k}&\ldots &{\text{modale Steifigkeit.}}\end{array}}$.

Statt einem System gekoppelter, linearer Differentialgleichungen erhalten wir mit

${\underline {\underline {\tilde {M}}}}\cdot {\underline {\ddot {P}}}+{\underline {\underline {\tilde {K}}}}\cdot {\underline {P}}={\underline {0}}$

N einzelne, entkoppelte Bewegungsgleichungen

${\tilde {m}}_{k}\cdot {\ddot {p}}_{k}+{\tilde {k}}_{k}\cdot p_{k}=0$

für

${\underline {Q}}_{k}(t)={\underline {\hat {Q}}}_{k}\cdot p_{k}(t)$.

Schauen Sie sich dazu noch einmal den Tipp zur Unbestimmtheit der Eigenvektoren oben an!

Das generalisierte Eigenwertproblem

Für das generalisierte Eigenwertproblem (${\underline {\underline {B}}}\neq {\underline {\underline {0}}}$) findet man zunächst keine Standard-Implementierungen zur Lösung unserer Bewegungsgleichungen 2. Ordnung. Matlab bietet die Routine

[V,D,W] = eig(A,B)

zur Lösung von

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {\hat {U}}}=\lambda \cdot {\underline {\underline {B}}}\cdot {\underline {\hat {U}}}$,

wir müssen also unser System passend umschreiben.

Zentrales Merkmal der Matlab-Routine ist dabei, dass der Eigenwert λ einfach auftaucht, wir also unser System von Bewegungsgleichungen 2. Ordnung auf ein System 1. Ordnung transformieren müssen. Das gelingt mit dem Ansatz

${\underline {R}}={\underline {\dot {Q}}}$ (oder ${\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {R}}={\underline {\dot {Q}}}$)

und wir erhalten

$\underbrace {\begin{pmatrix}{\underline {\underline {M}}}&{\underline {\underline {0}}}\\{\underline {\underline {0}}}&{\underline {\underline {1}}}\\\end{pmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\underline {B}}}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}{\underline {\dot {R}}}(t)\\{\underline {\dot {Q}}}(t)\\\end{pmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\dot {U(t)}}}}+\underbrace {\begin{pmatrix}{\underline {\underline {B}}}&{\underline {\underline {K}}}\\-{\underline {\underline {1}}}&{\underline {\underline {0}}}\\\end{pmatrix}} _{\displaystyle -{\underline {\underline {A}}}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}{\underline {R}}(t)\\{\underline {Q}}(t)\\\end{pmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\underline {U(t)}}}}={\underline {0}}$

Mit dem Ansatz

${\underline {U}}(t)={\underline {\hat {U}}}\cdot e^{\displaystyle \lambda t}$

überführen wir dann unsere Bewegungsgleichungen in die Form, die wir in Matlab angesteuert haben.

Im Allgemeinen sind die Eigenwerte λ_i komplexwertig - und damit auch das ${\underline {\hat {U}}}$. Wir nehmen dann nur den Realteil der Lösung, also

${\underline {U}}(t)=\Re \left({\underline {\hat {U}}}\cdot e^{\displaystyle \lambda t}\right)$.

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Links

• Matlab: Eigenvalue and Eigenvectors