Sources/Lexikon/Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung (Strain-Displacement-Relation)

Der Zusammenhang zwischen Verschiebungen u und Verzerrungen ε ist eine Differentialbeziehung: die Verzerrungen (Dehnungen) ergeben sich aus Ableitungen der Verschiebungen.

In der Nomenklatur der Einstein'schen Summations-Konvention wählt man ein Koordinatensystem mit den Achen x₁, x₂, x₃ und den Verschiebungen in diese Richtungen u= [u₁, u₂, u₃].

Dann sind die Verschiebungen

$u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})$

Funktionen der unabhängigen Koordinaten.

Die Dehnungen ergeben sich aus

${\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\{\underline {\underline {\varepsilon }}}&=\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}$

zu

${\underline {\underline {\varepsilon }}}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{matrix}}\right)$.

In der gewohnten Nomenklatur mit x, y, z -Achse und den Auslenkungen u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) in diese Richtungen ist

${\underline {\underline {\varepsilon }}}==\left({\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial w}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right)$.

Die geometrische Interpretation zu den Verzerrungsgrößen finden Sie in hier.