Sources/Lexikon/Eulersche Winkel

Wenn wir in technischen Systemen die Bewegung eines Körpers (Flugzeug, Roboterarm, ...) beschreiben, brauchen wir dafür Koordinaten der Translation (hier u und v) und der Rotation (hier φ).

Koordinaten in der Ebene

Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten.

Bei Drehungen im Raum wird es komplizierter: wir müssen formaler vorgehen.

Dazu beschrieben  wir - wie in der Animation links - eine Drehung des Körpers durch eine sukzessive Drehung aus seinem Koordinatensystem in der Referenzlage (blau) in sein körperfestes Koordinatensystem (rot).

Die drei Drehungen heißen Euler-Winkel und die Abfolge der Drehungen ist relevant: der Köper wird durch eine Abfolge von Drehungen um seine jeweiligen Körperachsen beschrieben!

In der Luftfahrt heißen die Drehungen Roll-, Nick- und Gierwinkel und gehören zu Drehungen um die z₀-, y₁- und x₂-Achse.

Bei jeder Drehung werden die Einheits-Richtungsvektoren

${\underline {\vec {e}}}_{i}=\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{x,i}\\{\vec {e}}_{y,i}\\{\vec {e}}_{z,i}\end{array}}\right)$

um einen Winkel bezüglich einer Achse gedreht. So wird die erste Drehung des Referenz-Koordinatensystems mit Index "0" um die vertikale (z-) Achse gedreht - die Transformationsbeziehung lautet

${\underline {\vec {e}}}_{1}={\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )\cdot {\underline {\vec {e}}}_{0}$.

Die Lage der Koordinatenachsen für diese beiden Koordinatensysteme sehen sie hier:

Koordinaten zur Euler-Transformation

Die Transformations-Matrix 

${\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )$

heißt Drehmatrix. Sie dreht das (blaue) Koordinatensystem um den Winkel φ bezüglich der z- (3-) Achse und ist

$\displaystyle {\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )=\left({\begin{array}{ccc}\;\;\;\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{array}}\right)$.

Eine Abfolge von von Drehungen um die um die z0-, y1- und x2-Achse wie in der Animation oben erfassen wir dann also durch

${\underline {\vec {e}}}_{1}={\underline {\underline {D}}}_{1}(\varphi _{1})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{2}(\varphi _{2})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi _{3})\cdot {\underline {\vec {e}}}_{0}$.

 Auch hier wird ersichtlich; die Abfolge der Drehungen ist nicht beliebig, weil die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist!

Links

1. Kugelkoordinaten