Gelöste Aufgaben/UEBO

Aufgabenstellung

Diese Problemstellung liefert einen Näherungsansatz für eine Standardlösung zum Euler-Bernoulli-Balken.

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet. 

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.

(Weg "1" wie in UEBH beschrieben.)

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und
• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens.

Header

Wir berechnen die Potentielle Energie U des Systems in Abhängigkeit von den generalisierten Koordinaten W_i und erhalten aus

$\displaystyle {\frac {d\,U}{d\,W_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$

die Gleichung für den gesuchten Koeffizienten W_i der Trial-Funktionen.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2019-10-13                            */
/* ref: TMC, Labor 4                                   */
/* description: Ritz approach to EBB, load-case 5      */
/*                                                     */
/*******************************************************/

/* declare variables and functions */
declare("Π", alphabetic); /* strain energy */
assume(ℓ>0);
dimless:[x=xi*ℓ,
         a=alpha*ℓ];

Declarations

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des Problems , hier die Beträge der maximalen Auslenkung des Balkens für a = ℓ und der Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a = ℓ/2:

$W^{max}=\displaystyle {\frac {M\,\ell ^{2}}{9{\sqrt {3}}\,\cdot E\,I}}$	die maximale Auslenkung des Balkens für a=ℓ
$\Phi ^{M}=\displaystyle {\frac {M\,\ell }{12\cdot E\,I}}$	die Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a=ℓ/2

Dimensionslose Orts-Koordinaten sind

${\begin{array}{ll}x&=\xi \cdot \ell ,\\a&=\alpha \cdot \ell .\end{array}}$.

/*analytic solution vgl. Lexikon/Euler-Bernoulli-Blaken */
analytic: w(xi) = M*ℓ^2/(6*EI)*(xi^3+xi*(2-6*alpha+3*alpha^2)
/*                                   foeppel-function         */
                       - 3*(if xi<alpha then 0 else xi-alpha)^2);
sectionI : M*ℓ^2/(6*EI)*(xi^3+xi*(2-6*alpha+3*alpha^2));
/* make dim'less with load case #5 */
Phi[C] : subst([xi=1/2],diff(subst([alpha=1/2],sectionI),xi)/ℓ);
W[max] : -subst([alpha=1],subst(solve(
                           diff(subst([alpha=1],sectionI),xi)/ℓ=0,xi)[2],sectionI));

Formfunctions

Bei der Suche nach passenden Trial-Functions ϕ lassen wir uns ebenfalls von der analytischen Lösung des Problems "inspirieren":

$w_{a}=\displaystyle {\frac {M\ell ^{2}}{3EI}}\left(\left(3\cdot {{\alpha }^{2}}-6\cdot \alpha +2\right)\cdot \xi +{{\xi }^{3}}-3<\xi -\alpha >^{2}\right)$

Der Funktionsverlauf von w^a hat zwei charakteristische Ausprägungen:

... für a=0	... für a=ℓ/2
Diese Lösung - mit dem angreifenden Moment in A - hat eine starke symmetrische Komponente bzgl der Stab-Mitte.	Diese Lösung - mit dem angreifenden Moment in der Stab-Mitte - ist punktsymmetrisch zum Momenten-Angriffspunkt.

Und so wählen wir unsere Trial-Functions als

$\phi _{1}=c_{1}\cdot \xi \cdot (1-\xi ){\text{ und }}\phi _{2}=c_{2}\cdot \xi \cdot (1-\xi )\cdot (\alpha -\xi )$.

Trial-Functions

Für α=7∙ℓ/10 sehen sie so aus;

Die Koeffizienten c₁ und c₂ haben wir dabei so gewählt, dass

${\begin{array}{ll}\phi _{1}(\displaystyle {\frac {1}{2}})&=1\\\phi _{2}'(\alpha )&=1\end{array}}$.

Mit den neuen, gesuchten Wichtungsfaktoren q_w und q_ϕ ist die Ansatzfunktion zur Lösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz damit

$\displaystyle w(\xi )={\frac {M\ell ^{2}}{3EI}}\left(q_{w}\left(4{\frac {\xi -\xi ^{2}}{3{\sqrt {3}}}}\right)+q_{\phi }\left(-\xi ^{3}+(1+\alpha )\xi ^{2}-\alpha \xi \right)\right)$

Aufgrund der gewählten Skalierungsfaktoren erwarten wir als Ergebnis näherungsweise

• für α=½: q_w ≈ 0 und q_ϕ ≈ 1,
• für α= 0: q_w ≈ 1 und q_ϕ ≈ 0.

/* derive trial-function(s) */
phi : [c[1]*xi*(1-xi), c[2]*xi*(1-xi)*(alpha-xi)];
GBC: [subst([xi = 1/2 ],      phi[1]      )= 1,
      subst([xi = 1/2 ], diff(phi[2],xi)/ℓ)= 1];
sol[1] : solve(GBC,[c[1],c[2]])[1];
phi: ratsimp(subst(sol[1],phi));

ansatz: [w(xi) = q[w]*W[max]*phi[1] + q[p]*Phi[C]*phi[2]];

preamble: "set yrange [] reverse";
plot2d(subst([alpha=7/10],[phi[1],phi[2]/ℓ]),[xi,0,1],
  [legend, "ϕ1","ϕ2/ℓ"],
  [gnuplot_preamble, preamble],
  [title, "trial-functions für α=7/10"],
  [xlabel, "ξ →"],
  [ylabel, "<- ϕ"] );

Potential Energy

Für die Gleichgewichtsbedingungen setzten wir Π (aus Abschnitt Euler-Bernoulli-Balken) und A in U ein und schreiben die skalare Gleichung allgemein in Matrizenform an. Dabei müssen wir

$\displaystyle {\frac {d\phi }{x}}={\frac {d\phi }{\xi }}\cdot \underbrace {\displaystyle {\frac {d\xi }{x}}} _{\displaystyle ={\frac {1}{\ell }}}$

berücksichtigen und erhalten mit der Arbeitsfunktion des Moments

$A=M\cdot w'|_{\displaystyle \xi =\alpha }$

das Potential in Matrix-Schreibweise:

$U=\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \displaystyle {\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}-{\underline {Q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$.

wobei

${\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}q_{w}\\q_{\phi }\end{array}}\right)$.

Einsetzen der Ansatzfunktion in die Formänderungsenergie und die Arbeitsfunktion liefert für die Matrizen A und b:

${\underline {\underline {A}}}={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {128}{81}}&\displaystyle {\frac {16}{{3}^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {32\cdot \alpha }{{3}^{\frac {5}{2}}}}\\\displaystyle {\frac {16}{{3}^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {32\cdot \alpha }{{3}^{\frac {5}{2}}}}&\displaystyle {\frac {8\cdot {{\alpha }^{2}}}{3}}-{\frac {8\cdot \alpha }{3}}+{\frac {8}{3}}\end{pmatrix}}$,

${\underline {b}}={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {8}{{3}^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {16\cdot \alpha }{{3}^{\frac {3}{2}}}}\\\displaystyle 2\cdot \alpha -2\cdot {{\alpha }^{2}}\end{pmatrix}}$.

/* define potential energy of system */
PMPE : [U = Π - A,
        Π = 1/2*EI/ℓ^3*'integrate('diff(w(xi),xi,2)^2,xi,0,1),
        A = M*Phi(a)];

PMPE: subst([Phi(a) = subst([xi=alpha],diff(subst(ansatz,w(xi))/ℓ,xi))],
      subst(ansatz,
      subst(PMPE[3],subst(PMPE[2], PMPE[1]))));
PMPE : expand(ev(PMPE,nouns));

/* unknowns */
Q : [q[w],q[p]];

Equilibrium Conditions

Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen

$\displaystyle {\frac {dU}{dQ_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$,

wenn

${\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {128}{81}}&\displaystyle {\frac {16}{{3}^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {32\cdot \alpha }{{3}^{\frac {5}{2}}}}\\\displaystyle {\frac {16}{{3}^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {32\cdot \alpha }{{3}^{\frac {5}{2}}}}&\displaystyle {\frac {8\cdot {{\alpha }^{2}}}{3}}-{\frac {8\cdot \alpha }{3}}+{\frac {8}{3}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{{q}_{w}}\\{{q}_{p}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {8}{{3}^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {16\cdot \alpha }{{3}^{\frac {3}{2}}}}\\\displaystyle 2\cdot \alpha -2\cdot {{\alpha }^{2}}\end{pmatrix}}$.

/* equilibrium condition */
eom : makelist(expand(diff(subst(PMPE,U)/(M^2*ℓ/(6*EI)),Q[i])),i,1,2);

A :   funmake('matrix, makelist(makelist(coeff(eom[i],Q[j]),j,1,2),i,1,2));
b : - funmake('matrix, makelist([subst(makelist(Q[j]=0,j,1,2),eom[i])],i,1,2));

print(A,"∙",transpose(Q),"=",b)$

Solving

Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Koordinaten q_w und q_ϕ liefert

${\begin{array}{ll}q_{w}&=-{\frac {3^{\frac {3}{2}}}{8}}\left(-2+7\alpha -9\alpha ^{2}+6\alpha ^{3}\right)\\q_{\phi }&=-{\frac {1}{2}}\left(1-6\alpha +6\alpha ^{2}\right)\end{array}}$.

Damit ist die gesuchte Näherungs-Lösung

$\displaystyle w(\xi )={\frac {M\,\ell ^{2}}{6\,EI}}\left(\left(3\cdot {{\alpha }^{2}}-6\cdot \alpha +2\right)\cdot \xi +\left(-9\cdot {{\alpha }^{2}}+12\cdot \alpha -3\right)\cdot {{\xi }^{2}}+\left(6\cdot {{\alpha }^{2}}-6\cdot \alpha +1\right)\cdot {{\xi }^{3}}\right)$.

/* solve */
sol[2] : ratsimp(solve(equcon,[W,Phi]))[1];
/* ... or in dimensionless coordinates */
sol[3] : ratsimp(solve(subst(dimless[1],equcon),[q[w],q[phi]]))[1];
/* approximated solution */
ritz : w(xi)=ratsimp(subst(sol[2],subst(dimless[2],rhs(trial))));

Post-Processing

Verlauf der Koordinaten q_w, q_ϕ

Die gesuchten Koordinaten  q_w und q_Φ sind dimensionslos. Wir können sie direkt für verschiedene Werte von α auftragen.

Wir sehen:

• für α=½: die Lösung wird - wie erwartet - nur durch ϕ₂ beschreiben - also q_w ≈ 0 und q_ϕ ≈ 1; allerdings ist die Qualität der Lösung mit q_ϕ = 1/4 sehr schlecht - hier drückt der Sprung in der Momenten-Kennlinie der analytischen Lösung auf das Ergebnis (s.u.).
• für α= 0: die Lösung wird - wie erwartet - primär durch ϕ₁ beschreiben, also q_w ≈ 1 und q_ϕ ≈ 0. Hier zeigt die Lösung mit q_w = 1.3 und q_ϕ = -0.5 einen recht großen Lösungs-Anteil der punktsymmetrischen Trial-Function.

Parameterstudie Biegelinie

Und so sieht die normierte Biegelinie des Balkens im Vergleich von Ritz-Näherung zu analytischer Lösung für verschiedene Werte von a aus:

Die dicken Linien gehören zu Näherung nach dem Ritz-Ansatz, die dünnen zur analytischen Lösung. Je weiter der Momenten-Angriffspunkt in die Balken-Mitte rückt und besonders für α=1/2 liefert der Ritz-Ansatz kein überzeugendes Ergebnis. Hier müssten wir mehr Trial-Functions "spendieren".

Vergleich: analytische / numerische Lösung für den Biegemomenten-Verlauf.

/* post-processing */
/* plot solutions */
preamble: "set yrange [] reverse";

plot2d([subst(sol[2],q[w]),subst(sol[2],q[p])],[alpha,0,1],
  [legend, "q[w]", "q[Φ]"],
  [gnuplot_preamble, preamble],
  [xlabel, "α →"],
  [ylabel, "q[w],q[Φ] →"] );

/* plot w(x) for different αs */
/* and compare analytic with Ritz-solution */

leg : append([legend], makelist(simplode (["α = ",i,"/10"]),i,1,9,2));
toPlot : [makelist(subst([alpha=i/10],ratsimp(subst(ritz,w(xi))/W[max])), i,1,9,2),
          makelist(subst([alpha=i/10],ratsimp(subst(analytic,w(xi))/W[max])), i,1,9,2)];
plot2d(append(toPlot[1],toPlot[2]),[xi,0,1],
  leg,
  [color, green, blue, red, magenta, black],
  [style, [lines,3], [lines,3], [lines,3], [lines,3], [lines,3], [lines,1], [lines,1], [lines,1], [lines,1], [lines,1]],
  [gnuplot_preamble, preamble],
  [xlabel, "x/ℓ →"],
  [ylabel, "w(x)/W →"] );

Post-Processing - Nachtrag

Wieso die Näherungslösung - besonders für α=½ - so schlecht ist, erkennt man beim Auftragen der Biegemomente im Stab für

• die analytische Lösung

$\displaystyle {\frac {M(x)}{M}}=\left\{{\begin{array}{cl}-\xi &\ldots {\text{ für }}\xi <{\frac {1}{2}}\\1-\xi &\ldots {\text{ sonst. }}\end{array}}\right.$ und

• die numerische Lösung

$\displaystyle {\frac {M(x)}{M}}={\frac {1}{4}}(2\xi -1)$.

/* Vergleich der Momenten-Kennlinien */
displacements : M*ℓ^2/(6*EI)*[[(xi^3+xi*(2-6*alpha+3*alpha^2)), (xi^3+xi*(2-6*alpha+3*alpha^2) - 3*(xi-alpha)^2)],
                             [((3*alpha^2-6*alpha+2)*xi+(-9*alpha^2+12*alpha-3)*xi^2+(6*alpha^2-6*alpha+1)*xi^3)]];
bendingmoments: subst([xi=t],subst([alpha=1/2],-EI*diff(displacements,xi,2)/ℓ^2/M));

plot2d([[parametric, t, bendingmoments[1][1], [t, 0, 1/2]],
        [parametric, t, bendingmoments[1][2], [t, 1/2, 1]],
        [parametric, t, bendingmoments[2][1], [t,  0 , 1]]],
        [color, red, red, blue],
        [style, [lines,1], [lines,1], [lines,3]],
        [legend, "analytic, section I", "analytic, section II", "Rayleigh-Ritz"],
        [xlabel, "x/ℓ →"],
        [ylabel, "M(x)/M →"] );

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Links

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Literature

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