Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft

Die D'Alembert'sche Trägheitskraft ist Teil des Prinzip von d'Alembert. Mit seinem Prinzip lassen sich Trägheitskräfte in beschleunigten Systemen durch äquivalente eingeprägte, äußere Kräfte ersetzen. Damit ist es ein Konkurrenzangebot zur Mechanik von Newton.

Wie bei der Analytischen Mechanik ist der Ausgangspunkt der Überlegung wieder die Kopplung von Systemen durch Rand- und Übergangsbedingungen. D'Alembert trennt die Kräfte an einem System in solche, die zu einer Beschleunigung des Systems in einer Koordinate (hier φ) führen und solchen, die als Reaktionskräfte für diese Bewegung "verloren" sind (hier in Stab-Längsrichtung).

Pendel im Erd-Schwerefeld	D'Alembert'sches Trägheitsmoment

Die D'Alembert'sche Trägheitskraft (hier das Trägheitsmoment)

$-\;J\cdot {\ddot {\varphi }}$

führt das Problem der Dynamik auf ein Problem der Statik zurück: wir können wie gewohnt das Kräftegleichgewicht am System - wie in der Statik - ansetzen.

Das Prinzip von D'Alembert ist unabhängig von den Prinzipen der Analytischen Mechanik (D'Alembert schrieb sein Prinzip im Jahr 1743 auf - Lagrange folgte mit dem  Prinzip der virtuellen Arbeit erst 20 Jahre später), die beiden werden aber oft in einem Atemzug genannt, weil sie einander so gut ergänzen. Allerdings hat Lagrange das D'Alembert'sche Prinzip für die Erfordernisse des Prinzips der virtuellen Arbeit adaptiert - in Lehrbüchern firmiert es deshalb oft unter der Bezeichung "Prinzip von D’Alembert in der Lagrange’schen Fassung".

So ist die virtuelle Arbeit dieser äußeren, eingeprägten Kraft (hier des Moments)

$\delta W^{a}=-J{\ddot {\varphi }}\cdot \delta \varphi$,

also die Trägheitskraft multipliziert mit der Variation der Koordinate mit einem Minuszeichen (der Bewegungsrichtung entgegengesetzt).Und dabei brauchen wir weder freizuschneiden noch über das Vorzeichen nachzudenken.

Newton, der in seinen Überlegungen von den Anforderungen an eine "Himmelsmechanik" - und damit freie Massempunkte - geprägt war, hat die Bewegung von Körpern unter Zwangsbedingungen nicht in dieser Klarheit berücksichtigt.

Von zentraler Bedeutung wird das Prinzip von d'Alembert bei der Dynamik von Konituna. So können wir mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen die Virtuelle Arbeit von D'Alembert'schen Trägheitkräfte für einen Euler-Bernoulli-Balken mit der Querschnittsfläche A und der Dichte ρ anschreiben als:

$\displaystyle \delta W^{a}=\int _{\ell }\varrho A\cdot {\ddot {w}}\cdot \delta w\;dx$