Gelöste Aufgaben/DGEB

Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe starten wir von "first principles" - hier das Prinzip der virtuellen Verrückungen - und entwicklen die Bewegungsgleichunge für einen schlanken Stab unter Langskräft und Biegemoment.

Lageplan.

Gesucht sind die Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts für den schlanken Stab mit Rechteck-Querschnitt unter Längs- und Querkraft, ausgehend von der Virtuellen Formänderungsenergie δΠ.

Wir finden so die bekannten Differentialbeziehungen für das Timoshenko / Euler-Bernoulli-Modell eines Balkens.

Lösung mit Maxima

Wie alle zentralen Begriffe der Elastizitätstheorie ineinandergreifen, um die virtuelle Formänderungsenergie für den Euler-Bernoulli-Balken zu ermitteln, zeigt diese Aufgabe.

Header

Hier kommen

• das Hook'sche Gesetz in seiner allgemeinen, 3D-Fassung,
• die allgemeinen Verschiebungs-Verzerrungs-Bedingungen,
• die klassischen Annahmen zur Theorie von Stäben zum Einsatz sowie
• die Gleichgewichtsbedingungen nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

zum Einsatz.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2016-03-27                            */
/* ref: Euler-Bernoulli Beam                           */
/* description: derives the equations of motion for    */
/*              the Timoshenko and EBB beam            */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen das volle Instrumentarium der Elastizitätstheorie - angefangen bei einfachen Abkürzungen wie der Querschnittsfläche A bis zu den Flächenmomenten 2. Grades I_y und I_z:

${\begin{array}{ccc}\displaystyle I_{y}&=&{\frac {b\cdot h^{3}}{12}},\\\displaystyle I_{z}&=&{\frac {h\cdot b^{3}}{12}},\\\displaystyle A&=&b\cdot h\end{array}}$

über Lame's Konstante

$\lambda ={\frac {E\cdot \nu }{\left(1-2\cdot \nu \right)\cdot \left(\nu +1\right)}},\mu ={\frac {E}{2\cdot \left(\nu +1\right)}}$,

und dem linearen Werkstoffgesetz, der Spannungs-Dehnungs-Beziehung oder "Hook's Gesetz".

${\underline {\underline {E}}}={\begin{pmatrix}2\cdot \mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\cdot \mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\cdot \mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}$.

Und schließlich wollen wir die |Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung für einen materiellen Punkt P angeben. Grundlage ist die Verschiebung eines Punkte P=[x,y,z] und die gesuchten Koeffizienten u, v, w der Verschiebung in die drei Raumrichtungen

${\underline {r}}_{P}$,

Die Koeffizienten u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) des Ortsvektors r_P beschreiben dabei das Verscheibungsfeld des Balkens. Wir erhalten mit den allgemeinen Komponenten u, v und w des Verschiebungsfeldes

${\underline {r}}_{P}=\left({\begin{array}{l}u(x,y,z)\\v(x,y,z)\\w(x,y,z)\end{array}}\right)$

die Verzerrungen allgemein zu

${\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,x}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot u\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot v\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot w\left(x,y,z\right)\\{{\varepsilon }_{x,y}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot u\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot v\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\\{{\varepsilon }_{x,z}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot u\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,x}}\cdot w\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\\{{\varepsilon }_{y,z}}&={\frac {\displaystyle {\frac {d}{d\,z}}\cdot v\left(x,y,z\right)+\displaystyle {\frac {d}{d\,y}}\cdot w\left(x,y,z\right)}{\displaystyle 2}}\end{array}}$.

Damit das "schöner" aussieht,, kürzen wir im Folgenden ab

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}(.):=(.)_{x},\;\;{\frac {d}{dy}}(.):=(.)_{y},\;\;{\frac {d}{dz}}(.):=(.)_{z},$

und erhalten als |Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung

${\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,x}}&=u_{x}\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=v_{y}\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=w_{z}\\{{\varepsilon }_{x,y}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(u_{y}+v_{x}\right)\\{{\varepsilon }_{x,z}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(u_{z}+w_{x}\right)\\{{\varepsilon }_{y,z}}&={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\left(v_{z}+w_{y}\right)\\\end{array}}$.

Für unser Problem suchen wir jetzt ein konkretes Verschiebungsfeld, das unseren Anforderungen an das Problem genügt.

/*******************************************************/
/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic); /* virtual work */
declare("δA", alphabetic); /* virtual work of implied external forces */
declare("δΠ", alphabetic); /* virtual strain energy */
declare("δu", alphabetic); /* variation of u */
declare("δw", alphabetic);
declare("δφ", alphabetic);
declare("δη", alphabetic);
declare("δθ", alphabetic);
declare("λ" , alphabetic); /* otherwise, this is the lambda fct. */
declare("μ" , alphabetic);
declare("Δr", alphabetic); /*displacement of material point [x,y,z] */
declare("δΔr",alphabetic); /* variation of Δr */
declare("δZ", alphabetic); /* variation of strain */

/*******************************************************/
/* parameters */
/* abbreviate: */
geometry  : [h^3 = 12*I[y]/b, b^3 = 12*I[z]/h, b = A/h];
/* Lame's Constants                                */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
lameConst : [λ = e*nu/((1+nu)*(1-2*nu)), μ = e/(2*(1+nu))];

/* relation: hook's law, modulus of elasticity     */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
E :  matrix([2*μ+λ,     λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ, 2*μ+λ,     λ,  0,  0,  0],
            [    λ,     λ, 2*μ+λ,  0,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  μ,  0,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  μ,  0],
            [    0,     0,     0,  0,  0,  μ]);

/* Strain Displacement Relation */
/* see https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law */
StrainDispl(arg) := [epsilon[x,x] =      diff(arg[1],x),
                     epsilon[y,y] =      diff(arg[2],y),
                     epsilon[z,z] =      diff(arg[3],z),
                     epsilon[x,y] = 1/2*(diff(arg[1],y) + diff(arg[2],x)),
                     epsilon[x,z] = 1/2*(diff(arg[1],z) + diff(arg[3],x)),
                     epsilon[y,z] = 1/2*(diff(arg[2],z) + diff(arg[3],y))];

Euler Rotation

Wir definieren später ein Modell, bei dem Querschnitte um eine Achse senkrecht zur Papierebene kippen kann. Das beschreiben wir mit der linearisierten Euler-Rotation:

${{D}_{2}}\left({\mathit {arg}}\right)={\begin{pmatrix}1&0&-{\mathit {arg}}\\0&1&0\\{\mathit {arg}}&0&1\end{pmatrix}}$,

die für arg << 1 gilt.

/*******************************************************/
/* kinematics: Euler-rotation about y-Axis */
D[2](arg) := [[  1   ,   0  ,-arg ],
              [  0   ,   1  ,  0  ],
              [+arg  ,   0  ,  1  ]];

Stress-Strain-Relations for a Rod

Die Komponenten des Spannungs- und Verzerrungs-Tensors fassen in den Matrizen

${\underline {\sigma }}={\begin{pmatrix}{{\sigma }_{x,x}}\\{{\sigma }_{y,y}}\\{{\sigma }_{z,z}}\\{{\sigma }_{y,z}}\\{{\sigma }_{x,z}}\\{{\sigma }_{x,y}}\end{pmatrix}}$

und

${\underline {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}{{\varepsilon }_{x,x}}\\{{\varepsilon }_{y,y}}\\{{\varepsilon }_{z,z}}\\{{\varepsilon }_{y,z}}\\{{\varepsilon }_{x,z}}\\{{\varepsilon }_{x,y}}\end{pmatrix}}$

zusammen - und damit können wir nun anfangen zu arbeiten.

Die wichtigsten Annahmen zu Spannungen in einem einfachen Stab mit symmetrischen Profil sind:

${\begin{pmatrix}{{\sigma }_{y,y}}=0\\{{\sigma }_{z,z}}=0\\{{\sigma }_{y,z}}=0\\{{\sigma }_{x,y}}=0\end{pmatrix}}$

Die ersten beiden Zeilen sind klar: die Hauptspannungen senkrecht zur Stab-Längsachse verschwinden. Ausnahmen machen hier nur Stäbe, die z.B. durch großen Drücke belastet sind wie bei Bohrsträngen.

Scherung - nicht betrachtet.

Die Zeilen 3 und 4 gehören zu Spannungen, die einen Querschnitt in der skizzierten Weise verformen (schweren) würden. Das passiert bei symmetrischen Querschnitten wie hier einem Rechteck-Querschnitt nicht.

Mit diesen vier Annahmen können wir aus der Beziehung

${\underline {\sigma }}={\underline {\underline {E}}}\cdot {\underline {\varepsilon }}$

vier Gleichungen herausnehmen und wählen

${\begin{array}{ll}{{\varepsilon }_{x,y}}&=0\\{{\varepsilon }_{y,z}}&=0\\{{\varepsilon }_{y,y}}&=\displaystyle -{\frac {{{\varepsilon }_{x,x}}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\\{{\varepsilon }_{z,z}}&=\displaystyle -{\frac {{{\varepsilon }_{x,x}}\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\end{array}}$.

/*******************************************************/
/* definitions: components of stress / strain tensors */
Sigma   : matrix([sigma[x,x]], [sigma[y,y]], [sigma[z,z]], 
                 [sigma[y,z]], [sigma[x,z]], [sigma[x,y]]);
Epsilon : matrix([epsilon[x,x]], [epsilon[y,y]], [epsilon[z,z]],
                 [epsilon[y,z]], [epsilon[x,z]], [epsilon[x,y]]);

/* Stress Strain Relation */
StressStrain : solve(args(transpose(Sigma - E.Epsilon)[1]),args(transpose(Sigma)[1]))[1];

/* assumptions for stresses: */
assumptions : [sigma[y,y]=0,sigma[z,z]=0,sigma[y,z]=0, sigma[x,y]=0];

/* this implies for the strains: */
consequence : solve(subst(StressStrain, assumptions),
                       [epsilon[x,y],epsilon[y,z],epsilon[y,y],epsilon[z,z]])[1];

Displacement Variables

Wir starten, indem wir die Koordinaten der Verschiebung aller Punkte auf dem Querschnitt festlegen:

$u(x)$	...	Auslenkung des Punktes (x,0,0) in Stab-Längsrichtung 'x',
$w(x)$	...	Auslenkung des Punktes '(x,0,0)' in 'z'-Richtung,
$\phi (x)$	...	Drehung des Querschnitts 'x' um die 'y'-Achse,
$\eta (y,z)$	...	eine Funktion, die die Verschiebung der materiellen Punkte des Querschnitts in 'y'-Richtung erfasst,
$\theta (y,z)$	...	eine Funktion, die die Verschiebung der materiellen Punkte des Querschnitts in 'z'-Richtung erfasst

und mit diesen die Komponenten des Verschiebungsvektors

$\Delta {\underline {r}}=\left({\begin{array}{c}u-\phi \cdot z\\\eta (y,z)\\w+\theta (y,z)\end{array}}\right)$.

Für die verformte Struktur können wir die Koordinaten in eine Skizze eintragen, um sie besser zu verstehen:

Koordinaten u, w.

Koordinate ϕ

Besonders die Verschiebung in "x"-Richtung z∙ϕ durch eine Kippung des Querschnitts schauen wir uns genauer an:

Verscheibung eines materiellen Punktes in x-Richtung.

Analog gehen wir für die Variation des Verschiebungsvektors und seiner Koordinaten vor.

/*******************************************************/
/* coordinates of cross-section displacement and their variations */
coords : [[ u(x), w(x),phi(x),eta(y,z),theta(y,z)],
          [δu(x),δw(x), δφ(x), δη(y,z),   δθ(y,z)]];

/* coordintes od displancemnt (d) for any material point */
d: Δr  = expand([x+u(x),0,w(x)] + [0,y+eta(y,z),z+theta(y,z)].D[2](-phi(x))) - [x,y,z];
/* linearize wrt. theta, phi << 1 */
d: subst(0,phi(x)*theta(y,z),d);

/*  and variation of Δr */
d: [d, δΔr = sum(subst(0,kappa,diff(
                         subst(coords[1][i]+kappa*coords[2][i],coords[1][i],subst(d,Δr))
                                                                 ,kappa)),i,1,length(coords[1]))];

Virtual Strain Energy

Jetzt haben wir alles parat, um die Virtuelle Formänderungsenergie hinzuschreiben, nämlich die Spannungen

${\underline {\sigma }}={\begin{pmatrix}\displaystyle \lambda \cdot \left(u_{x}(x)-\phi _{x}(x)\cdot z-{\frac {2\cdot \left(u_{x}(x)-\phi _{x}(x)\cdot z\right)\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\right)+2\cdot \left(u_{x}(x)-\phi _{x}(x)\cdot z\right)\cdot \mu \\0\\0\\0\\\displaystyle {\frac {\left(\displaystyle w_{x}(x)-\phi \left(x\right)\right)\cdot \mu }{2}}\\0\end{pmatrix}}$

und die Variation der Dehnung, nämlich

$\delta {\underline {\epsilon }}={\begin{pmatrix}\displaystyle \delta u_{x}(x)-\delta \phi _{x}(x)\cdot z\\\displaystyle -{\frac {\left(\delta u_{x}(x)-\delta \phi _{x}(x)\cdot z\right)\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\\\displaystyle -{\frac {\left(\delta u_{x}(x)-\delta \phi _{x}(x)\cdot z\right)\cdot \lambda }{2\cdot \mu +2\cdot \lambda }}\\0\\\displaystyle {\frac {\delta w_{x}(x)-\delta \phi (x)\left(x\right)}{2}}\\0\end{pmatrix}}$

Damit setzen wir an

$\delta \Pi =\displaystyle \int _{A}{\underline {\sigma }}\cdot \delta {\underline {\epsilon }}\;dA$

Der Ausdruck für die virtuelle Formänderungsenergie ist noch etwas sperrig, aber das gibt sich gleich, wenn wir die Integration über den Querschnitt A ausführen und

$A=b\cdot h,\;\;I_{y}=\displaystyle {\frac {b\cdot h^{3}}{12}}$

setzen.

/*******************************************************/
/* stresses and strains under assumptions made and displacement-coordinates given */
stress : S = subst(StrainDispl(
                        subst(d[1],Δr)),subst(consequence,
                                   subst(StressStrain,subst(assumptions,Sigma))));
strain :δZ = subst(StrainDispl(subst(d[2],δΔr)),subst(consequence,Epsilon));

/* virtual strain energy */
VSE : δΠ = integrate(integrate(expand(
                     subst(strain, subst(stress,
                                        S.δZ
                                            ))
                                     ), y,-b/2,b/2),z,-h/2,h/2);
/* simplify */
VSE : ratsimp(expand(subst(lameConst,subst(geometry, expand(VSE)))));

Timoshenko-Beam

Dann erhalten wir - sortiert nach den den Bewegungsgleichungen (Feld-Differentialgleichungen) für u, w und ϕ:

${\begin{array}{rc}\delta \Pi =&E\;A\;\;\;u_{x}\cdot \delta u_{x}\\+&\displaystyle {\frac {1}{4}}G\;A\;\left(w_{x}-\phi \right)\cdot \delta w_{x}\\+&\displaystyle {\frac {1}{4}}G\;A\;\left(\phi -w_{x}\right)\cdot \delta \phi +E\;I_{y}\;\phi _{x}\cdot \delta \phi _{x}\end{array}}$.

Hier treten Ableitungen nur noch nach der Koordinate x auf, wir können die Bewegungsgleichungen nun in gewohnter Form mit

$\displaystyle {\frac {d(.)}{dx}}=(.)_{x}=:(.)'$

als

${\begin{array}{c}E\;A\;u'\cdot \delta u'=0\\\displaystyle {\frac {1}{4}}G\;A\;\left(w'-\phi \right)\cdot \delta w'=0\\\displaystyle {\frac {1}{4}}G\;A\;\left(\phi -w'\right)\cdot \delta \phi +E\;I_{y}\;\phi '\cdot \delta \phi '=0\end{array}}$

schreiben.

/*******************************************************/
/* first result: general equations of motion incl. Timoshenko-Beam and tension rod */

collect : [ δu(x), δw(x), δφ(x)]$
collect: append(collect,diff(collect,x));

take: expand(subst(VSE, δΠ));
tmb : ratsimp(makelist(
  coeff(take,collect[i])*collect[i] + coeff(take,collect[i+3])*collect[i+3]=0,
                        i,1,3));
sub : alpha=8*nu+8;
tmb : expand(subst(sub,expand(subst(solve(sub,nu),tmb))));

shearModulus: [G = e/(2*(1+nu))];
tmb : expand(subst(solve(shearModulus,nu),tmb));

Euler-Bernoulli-Balken

Noch einfacher wird es mit dem Ansatz von Euler-Bernoulli, die mit der zusätzlichen Vereinfachung

$\displaystyle \phi (x)={\frac {dw(x)}{dx}}\;\;\;$bzw.

$\displaystyle \delta \phi (x)={\frac {d\;\delta w(x)}{dx}}$

auf

${\begin{array}{c}E\;A\;u'\cdot \delta u'=0\\E\;I_{y}\;w''\cdot \delta w''=0\end{array}}$

führt.

/*******************************************************/
/* further simplify to Euler - Bernoulli-Hypothesis
   (cross sections to remain perpendicular to neutral fiber (axis)) */
EBhypothesis : [phi(x)=-diff( w(x),x),
                 δφ(x)=-diff(δw(x),x)];

ebb : expand(subst(EBhypothesis,tmb));
ebb : ev(ebb,nouns);
ebb : expand(subst(sub,expand(subst(solve(sub,nu),ebb))));
ebb : [ebb[1],subst(ebb[2],ebb[3])];

Links

• Timoshenko-Beam on Wikipedia

Literature

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