Gelöste Aufgaben/FEAA

Aufgabenstellung

Hier geht es darum, ein Verständnis für Näherunglösungen mit dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie zu bekommen. Wir suchen die Näherungslösung für die statische Auslenkung des skizzierten Feder-Masse Systems, hier indem wir die Anzahl der Freiheitsgrade von Zwei auf Eins reduzieren.

Und das als Vorbereitung für die Methode der Finiten Elemente, bei der wir die Anzahl der Freiheitsgraden von unendlich auf einige Hundert reduzieren.

Lageplan

Gesucht ist eine Näherungslösung für die statische Auslenkung der beiden Massen für ein System mit einem Freiheitsgrad. Wir arbeiten dabei mit dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und wählen eine Auslenkung als Funktion der zweiten.

Lösung mit Maxima

Header

Koordinaten w₁, w₂

Als Koordinaten führen wir die Auslenkungen der Massen aus Ihrer Referenzlage ein, in der Referenzlage sind die Federn entspannt.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-09-14                            */
/* ref: FEM, PVMPE using two coordinates               */
/* description: solve by principle of minimum of p. E. */
/*******************************************************/

Equlibrium Conditions

Das Potential für das Aufstellen der Gleichgewichtsbeziehung lautet

$U=\Pi -A$

wobei

${\begin{array}{ll}\displaystyle A&={{w}_{2}}\cdot g\cdot m+{{w}_{1}}\cdot g\cdot m,\\\Pi &\displaystyle ={\frac {{{\left({{w}_{2}}-{{w}_{1}}\right)}^{2}}\cdot k}{2}}+{\frac {{{w}_{1}^{2}}\cdot k}{2}}\end{array}}$

/* Potential Energy of system (equilibrium condition) */
parts : [/* work of gravitationaö forces */
         A = m*g*w[1]+m*g*w[2],
         /* strain energy*/
         Pi = 1/2*k*w[1]^2 + 1/2*k*(w[2]-w[1])^2];
 
PMPE : U= Pi-A;
PMPE : subst(parts,PMPE);

Solving

Um zu zeigen, wie eine Näherungslösung "geht", wählen wir hier einen geschätzten (falschen = nicht analytisch richtigen) Zusammenhang zwischen w₁ und w₂:

$w_{1}={\frac {\displaystyle w_{2}}{\displaystyle 2}}$

Das Potential 'U' lautet nun

$\displaystyle U={\frac {k}{4}}\cdot {w}_{2}^{2}-{\frac {3\,g\,m}{2}}\cdot {{w}_{2}}$

und liefert mit der Gleichgewichtsbeziehung des Prinzips vom Minimum der Potentiellen Energie

$\displaystyle {\frac {dU}{dw_{2}}}{\stackrel {!}{=}}0$.

die Gleichung

$\displaystyle {\frac {3g\,m}{2}}-{\frac {k}{2}}\cdot {{w}_{2}}=0$.

mit der Lösung

$\displaystyle {{w}_{2}}={\frac {3g\,m}{k}}$

/* choose approximation */
approx: [w[1] = w[2]/2];
 
PMPE: subst(approx, PMPE);
 
/* pick individual equations */
equ : diff(subst(PMPE, -U),w[2])=0;
 
/* -> here we employ the shortcut via "solve" */
sol: solve(equ,w[2])[1];

Post-Procesing

Potentielle Energie - hier als Funktion von w₁.

Das dimensionslose-gemachte Potential U ist hier über w₂ aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.

/* plot results */
pltfct : expand(subst([w[2] = m*g/k*W[2]],
              subst(approx,subst(parts, subst(PMPE,U/(m^2*g^2/k))))));
plot2d(pltfct,
    [W[2],3-10,3+10],
    [legend, "potential energy"],
    [xlabel, "w[2]/(mg/k) →"], [ylabel, "U →"]);

Links

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Literature

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