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| == Grundlagen ==
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| Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.
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| Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems
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| ::<math>\delta W = \delta W^a - \delta \Pi</math>
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| wobei ''δΠ'' die [[Sources/Lexikon/Virtuelle Formänderungsenergie|Virtuelle Formänderungsenergie]] ist und ''δW<sup>a</sup>'' die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.
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| Darin ist z.B. für den [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken|Euler-Bernoulli-Balken]]
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| ::<math>\displaystyle \delta\Pi = \displaystyle \int_\ell EI\;w''\cdot\delta w''\; dx </math>
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| Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also
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| ::<math>\delta\Pi = \delta\Pi_1+\delta\Pi_2+\ldots +\delta\Pi_N</math>
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| Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise
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| ::<math>\begin{array}{lll} \displaystyle \delta W^a & = \displaystyle \displaystyle \int_\ell \vec{q}(x)\cdot\delta \vec{r}\; dx &\text { für Streckenlasten oder }\\ \displaystyle \delta W^a & = \vec{F}\cdot \delta \vec{r}_F &\text{ für diskrete Kräfte.}\end{array}</math>
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| Das ''δΠ'' sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie ''Π'' der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!
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| Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.
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| Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:
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| * Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
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| * Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
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| * Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!
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| === Stab-Modelle ===
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| Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:
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| Der Ansatz - hier für einen Euler-Bernoulli-Balken - ist wieder allgemein
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| ::<math>\tilde{w}(x) = \displaystyle \sum_I Q_i\cdot \phi_i(x)</math>
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| wobei die ''ϕ<sub>i</sub>'' die linear unabhängigen Trial-Funktionen und die ''Q<sub>i</sub>'' ihre gesuchten "Wichtungsfaktoren" - hier: die gesuchten Auslenkungen und/oder Verdrehungen an den Knoten - sind.
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| Statt Polynome zu wählen, die sich über die gesamte Stab-Länge erstrecken wie beim Verfahren von Ritz, wählen wir hier lokale Ansatzfunktionen je Element, also
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| ::<math>\tilde{w}(x) = \displaystyle \sum_I \tilde{w}_i(x) \text{ mit } \tilde{w}_i(x) = \left\{\begin{array}{cl}\bar{w}(x) &\text{ im Element}\\ 0 &\text{ sonst}\end{array} \right.</math>
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| === Schalen-Modelle ===
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| Bei Schalen-Modellen für ebene Strukturen müssen wir Verschiebungen und/oder Verdrehungen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen - z.B. ''x'' und ''y'' - ausdrücken.
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| ::<math></math>
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| Als Ansatz für eine ebene Scheibe sind die Verschiebungen in der der Schalen-Ebene in die beiden Raumrichtungen
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| ::<math>\begin{array}{l}\tilde{u}_{i,x}(x,y) = \displaystyle \sum_I \sum_J Q_{ij}\cdot \phi_i(x)\cdot \phi_j(y)\\\tilde{u}_{i,y}(x,y) = \displaystyle \sum_K \sum_L Q_{kl}\cdot \phi_k(x)\cdot \phi_l(y)\end{array}</math>
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| In den Knoten-Verschiebungen ''u<sub>ij</sub>'' stehen dann die beiden Knoten-Verschiebungen ''Q<sub>ij</sub>, Q<sub>kl</sub>'', also
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| ::<math>\underline{u}_{ij} = \left(\begin{array}{c}u_{x,ij}\\u_{y,ij} \end{array}\right)</math>
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| die wir wiederum in die Spaltenmatrix der gesuchten Größen ''Q'' einsortieren:
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| ::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}\underline{u}_{00}\\\vdots\\\underline{u}_{ij} \\ \vdots \end{array}\right)</math>
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| Mit linearen Trial-Functions wird die Näherungslösung je Element dann aus diesen Formen zusammengesetzt sein:
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| {| class="wikitable"
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| |+
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| |x
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| |y
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| |}
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| == Das Gleichungssystem für lineare Bewegungsgleichungen ==
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| Weil die Ansatzfunktionen nur im Element gelten, ist
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| ::<math>\delta\Pi = \displaystyle \sum_I \delta\Pi_i</math>
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| die Summe aller virtuellen Formänderungs-Energien aller Elemente.
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| Einsetzen und Ausführen der Integration in ''δΠ'' führt bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) immer auf die Form
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| ::<math>\delta \Pi = \displaystyle \delta\underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{Q} \text{ mit } \underline{Q} = \left(\begin{array}{l}Q_0\\ \vdots \\Q_I\end{array}\right)</math>
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| und ''δW<sup><sub>a</sub></sup>'' hat in der Statik immer die Form
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| ::<math>\delta W^a = \displaystyle \delta\underline{W}^T\cdot \underline{P} </math>
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| also
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| ::<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \displaystyle \delta\underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}}\cdot \underline{Q} - \delta\underline{Q}^T\cdot \underline{P}\\ & = \displaystyle \delta\underline{Q}^T \cdot \left(\underline{\underline{K}}\cdot \underline{Q} - \underline{P}\right) \end{array} </math>
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| Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip der virtuellen Verrückungen lauten:
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| ::<math>\delta W \stackrel{!}{=}0</math>
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| und das sind mehrere, denn:
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| <ul>
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| <li>die einzelnen virtuellen Verrückungen in ''δW'' sind jeweils für sich unabhängig. Die Summe der <br />
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| <math>\delta Q_i \cdot \underbrace{\left(\displaystyle \sum_j k_{ij}\cdot Q_j - b_i \right)}_{\displaystyle \stackrel{!}{=}0} = 0</math><br />
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| wird nur dann Null, wenn die Klammerausdrücke jeweils für sich verschwinden (Null werden).</li>
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| <li>Wir erhalten also ganz automatisch für jede unbekannte Koordinate eine Gleichgewichtsbedingung.</li>
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| </ul>
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| == Ansatzfunktionen ==
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| Finite Elemente benutzen besondere Trial-Functions um die Verschiebungen einer Struktur sehr effizient abbilden zu können. Dies sind
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| * Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome
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| * Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome
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| Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente
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| == Literatur ==
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| * Strang 2008
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| '''Links'''
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| * [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente|Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente]]
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| {{Kategorie:Finite-Elemente-Methode}}
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