|
|
| (15 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| == Grundlagen ==
| |
| Die Methode der Finiten Elemente (FEM) arbeitet mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] für die Gleichgewichtsbedingungen und einfachen, lokalen Polynom-Ansätzen.
| |
|
| |
|
| Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems
| |
|
| |
| ::<math></math>
| |
|
| |
| Für die Gleichgewichtsbedingung brauchen wir die allgemeinen Terme der virtuellen Arbeit des Systems
| |
|
| |
| ::<math></math>
| |
|
| |
| wobei ''δΠ'' die [[Sources/Lexikon/Virtuelle Formänderungsenergie|Virtuelle Formänderungsenergie]] ist und ''δW<sup>a</sup>'' die virtuelle Arbeit von äußeren, eingeprägten Lasten.
| |
|
| |
| Darin ist z.B. für den [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken|Euler-Bernoulli-Balken]]
| |
|
| |
| ::<math></math>
| |
|
| |
| Die gesamte Virtuelle Formänderungsarbeit setzt sich damm additiv aus den Anteilen aller N elastischen Bauteile zusammen, also
| |
|
| |
| ::<math></math>
| |
|
| |
| Die Arbeit von äußeren, eingeprägten Kräften ist beispielsweise
| |
|
| |
| ::<math></math>
| |
|
| |
| Das ''δΠ'' sieht ganz ähnlich aus wie die Formänderungsenergie ''Π'' der Potentiellen Energie - hier fehlt allerdings der Faktor 1/2!
| |
|
| |
| Der Prozess, in dem wir eine Striktur in Finite Elemente unterteilen, nennen wir Diskretisierung. Denn an dieser Stellen werden aus den unendlich vielen Freiheitsgraden endlich viele.
| |
|
| |
| Als Trial-Formfunktionen für die Approximation der exakten Lösung wählen wir Polynome, die wir in die Raumrichtungen aneinanderstückeln - und zwar immer wieder die selben! Jeder Abschnitt des Struktur,, in dem wir eine Trial-Funktion ansetzen, nennen wir Finites Element, jede "Stoßstelle" zwischen den Elementen nennen wir Node (Knoten). Was hier wenig dramatisch daherkommt, ist die Grundlage für den unglaublichen Erfolg der FEM:
| |
|
| |
| * Wiederholung: Alle Trial-Funktionen sind gleich!
| |
| * Simplizität: Jede Trial-Funktion ist ein sehr einfaches Polynom - oft reicht erster Ordnung!
| |
| * Skalierbarkeit: die Genauigkeit steigern wir durch die Unterteilung in kleinere Finite Elemente!
| |
|
| |
| === Stab-Modelle ===
| |
| Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:
| |
|
| |
| Der Ansatz - hier für einen Euler-Bernoulli-Balken - ist wieder allgemein
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
| wobei die ''ϕ<sub>i</sub>'' die linear unabhängigen Trial-Funktionen und die ''Q<sub>i</sub>'' ihre gesuchten "Wichtungsfaktoren" - hier: die gesuchten Auslenkungen und/oder Verdrehungen an den Knoten - sind.
| |
|
| |
| Statt Polynome zu wählen, die sich über die gesamte Stab-Länge erstrecken wie beim Verfahren von Ritz, wählen wir hier lokale Ansatzfunktionen je Element,
| |
|
| |
| also
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
|
| |
| === Schalen-Modelle ===
| |
| Bei Schalen-Modellen für ebene Strukturen müssen wir Verschiebungen und/oder Verdrehungen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen - z.B. ''x'' und ''y'' - ausdrücken.
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
| Als Ansatz für eine ebene Scheibe sind die Verschiebungen in der der Schalen-Ebene in die beiden Raumrichtungen
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
| In den Knoten-Verschiebungen ''u<sub>ij</sub>'' stehen dann die beiden Knoten-Verschiebungen ''Q<sub>ij</sub>, Q<sub>kl</sub>'', also
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
| die wir wiederum in die Spaltenmatrix der gesuchten Größen ''Q'' einsortieren:
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
|
| |
| Mit linearen Trial-Functions wird die Näherungslösung je Element dann aus diesen Formen zusammengesetzt sein:
| |
| {| class="wikitable"
| |
| |+
| |
| |x
| |
| |y
| |
| |}
| |
|
| |
| == Das Gleichungssystem für lineare Bewegungsgleichungen ==
| |
| Weil die Ansatzfunktionen nur im Element gelten, ist
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
| die Summe aller virtuellen Formänderungs-Energien aller Elemente.
| |
|
| |
| Einsetzen und Ausführen der Integration in ''δΠ'' führt bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) immer auf die Form
| |
|
| |
|
| |
| XX
| |
|
| |
|
| |
| und ''δW<sup><sub>a</sub></sup>'' hat in der Statik immer die Form
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
|
| |
| also
| |
|
| |
|
| |
| XXX
| |
|
| |
|
| |
| Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip der virtuellen Verrückungen lauten:
| |
|
| |
| XXX
| |