Werkzeuge/Lösungsverfahren für Bewegungsgleichungen

Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen für physikalische Systeme. Sie sind in der Technischen Mechanik meist Gleichgewichtsbeziehungen zwischen abhängigen Variablen, bei denen auch Ableitungen dieser Variablen vorkommen.

Für einen Euler-Bernoulli-Balken ist die gesuchte Variable z.B. der Verlauf des Schnittmoments M(x) in der Statik starrer Körper oder der Auslenkung w(x) in der Elastizitätstheorie. Die Bewegungsgleichungen lauten dann in x für

• $M(x):M''(x)=-q(x)$
• $w(x):\displaystyle EI\cdot w^{IV}(x)=+q(x){\text{ ( falls EI konstant ist )}}$

Die Bewegungsgleichungen zu technischen System beschreiben die "Bewegung" (auch wenn es ein Problem der Statik ist) im Gebiet einer Struktur. Zur Lösung der Bewegungsgleichungen muss ich definieren, welchen Bedingungen die abhängigen Variablen am Rand des Gebiets unterliegen. Also gehören zu Aufgabenstellungen

• die Lösung der "Bewegung" im Gebiet, also die Lösung einer Differentialgleichung und
• die algebraischen Bedingungen für die Bewegung an einem oder mehreren Rändern:

So kann der Balken am linken Rand gelenkig gelagert sein - hier gilt also M=0.

Oder ein Golfball wird unter einer bestimmten Geschwindigkeit und Winkel vom Referenzpunkt abgeschlagen.

Wir unterscheiden zwischen Randwert- und Anfangswertproblemen.

Randwertprobleme geben Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen an den Rändern des Gebiets vor. Bei Stäben heißt das: an "beiden" Seiten des Gebiets (two-point-boundary value problem).

Anfangswertprobleme geben nur an einem Rand - am Anfang - Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen vor.

Alle Probleme der Strukturmechanik sind Randwertprobleme. Viele Probleme der nichtlinearen Dynamik werden als Anfangswertprobleme gelöst. Und bei Schwingungen von Kontinua sind Randwertproblem und Anfangswertproblem gemischt.

Alle Gleichgewichtsbedingungen der Stukturmechanik für Kontinua sind über Differentialgleichungen formuliert. Für uns Ingenieure sind sie deshalb die zentralen Bausteine für die Modellbildung und Simulation. Dabei sind praktisch alle relevanten Bewegungsgleichungen der Stukturmechanik Modelle, denen zum Teil gravierende Vereinfachungen zu Grunde liegen. So gelten die Bewegungsgleichungen für den Euler-Bernoulli-Balken oben nur, wenn

• der Balken in seiner unausgelenkten Lage gerade ist,
• Schubverformungen der Querschnitte klein sind,
• jeder Querschnitt eben bleibt und senkrecht zur Mittellinie,
• die Verschiebungen klein gegenüber der Balken-Länge sind und
• die Verzerrungen des Balkens im linearen Bereich bleiben.

Bei der Lösung von Differentialgleichungen lösen wir also bestimmte Modelle von Bewegungsgleichungen von Strukturen. Dabei beschreibt eine Bewegungsgleichung die Änderung der Variablen in den unabhängigen Variablen. So liest man die zwei Gleichgewichtsbedingungen

$M'(x)=Q(x){\text{ und }}Q'(x)=-q(x)$

so:

• Die Änderung des Schnittmoments M(x) entlang der Koordinate x ist gleich der Querkraft im Balken.
• Die Änderung der Querkraft Q(x) entlang der Koordinate x ist gleich der negativen äußeren Streckenlast im Balken.

Für eine Reihe von einfachen Bewegungsgleichungen von eindimensionalen Kontinua (Euler-Bernoulli-Balken, Dehnstab, Torsionsstab) finden wir analytische Lösungen. Das sind die absoluten Ausnahmen. In der Regel muss man mit numerischen Näherungsverfahen arbeiten.

Randwert- und Anfangswertprobleme

Typische Randwert- und Anfangswertprobleme im Raum und in der Zeit sehen Sie hier tabelliert:

Randwertprobleme	Anfangswertprobleme
... im Zeitbereich: Flugbahn eines Körpers. Lösungstypen: analytisch: Integration in t. numerisch: mit dem Schiessverfahren	... im Zeitbereich: Flugbahn eines Körpers. Lösungstypen: analytisch: Integration in t (durch eλt-Ansatz). numerisch: Integration in t.
... im Raum: Durchbiegung eines Balkens Lösungstypen: analytisch: Integration in x und Anpassung der Integrationskonstanten an die Randbedingungen analytisch: durch eκx-Ansatz Finite Differenzen Verfahren Finite Elemente Methode Schießverfahren	... im Raum Für Strukturen kenne ich keine praxisrelevanten Anwendungen für eine Lösung als Anfangswertproblem im Raum.

Für einen typische Vertreter je von Randwertproblem und Anfangswertproblem finden Sie hier ein Beispiel:

Für den links und rechts gelenkig gelagerten Balken (Biegesteigifkeit EI, Dichte ρ, Querschnittsfläche A, Länge ℓ) ist $M''(x)=-q(x)$ Die Bedingungen an den Rändern (x=0) und (x=ℓ) sind $M(0)=0$ $M(\ell )=0$	Für einen Golfball (Punktmasse) ist die Bewegungsgleichung in u(t) und v(t) $\left({\begin{array}{c}{\ddot {u}}(t)\\{\ddot {v}}(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\-g\end{array}}\right)$ Die Bedingungen zum Abschlagzeitpunkt(t=0) sind $u(0)=0{\text{ und }}{\dot {u}}(0)=200{\text{km/h}}$ $v(0)=200{\text{ cm}}{\text{ und }}{\dot {v}}(0)=180{\text{ km/h}}$
Die Lösung des BVP mit Maxima liefert	Die Lösung des IVP mit Maxima liefert
/* Maxima */ dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0; sol: ode2(dgl,M(x),x); /* boundary conditions */ bc : [subst([x=0],subst(sol,M(x))) = 0, subst([x=l],subst(sol,M(x))) = 0]; /* integration constants */ ic : [%k1, %k2]; sol: subst([x=xi*l],subst(solve(bc,ic),sol)); plot2d(subst(sol,M(xi*l))/(rho*l^2*A), [xi,0,1], [gnuplot_preamble, "set yrange [] reverse"], [xlabel, "x/l →"], [ylabel, "M/(l^2*a*rho) →"]);	/* Maxima */ units: [cm=1/100*m, km = 1000*m, h=60*60*s]; assume (s>0,m>0); params: [g = 10*m/s^2]; q : [u(t),v(t)]; dgl: ['diff(u(t),t,2) = 0,'diff(v(t),t,2) = -g]; /* initial conditions */ atvalue( u(t) , t=0, 0); atvalue(diff(u(t),t), t=0, 200*km/h); atvalue( v(t) , t=0, 200*cm); atvalue(diff(v(t),t), t=0, 100*km/h); /* solve */ sol : desolve(dgl,q); /* refernce-time: time to touch-down from rest */ td : subst(params,solve(1/2*g*T^2=10*m,T)[2]); plt: subst(td,subst([t=t*T], subst(params,subst(units, subst(sol,[u(t)/m,v(t)/m]))))); plot2d([parametric, plt[1], plt[2],[t,0,4]], [xlabel, "u/m→"],[ylabel, "v/m→"])
den Schnittmomentenverlauf $\displaystyle M(x)={\frac {\ell ^{2}\cdot \rho \cdot A}{2}}\cdot \xi \cdot \left(1-\xi \right)$, mit seiner grafischen Auftragung: Schnittmomentenverlauf	den Verlauf der Koordinaten u, v ${\begin{array}{cc}u\left(t\right)=&\displaystyle {\frac {200\cdot {\mathit {km}}\cdot t}{h}}\\\mathrm {v} \left(t\right)=&\displaystyle -{\frac {g\cdot {{t}^{2}}}{2}}+{\frac {100\cdot {\mathit {km}}\cdot t}{h}}+200\cdot {\mathit {cm}}\end{array}}$, mit der Referenzdauer $\displaystyle T={\frac {2\cdot {\sqrt {5}}\cdot s}{\sqrt {10}}}$ die grafische Auftragung in der Wurfparabel: Wurfparabel Und das geht auch, wenn es keine analytische Lösung mehr gibt! Aufstellen der Bewegungsgleichungen So kann man SEHR komplext Probleme lösen -z.B. Klimamodelle.