Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme

✔ Eigenwertprobleme im Einsatz:

Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs. Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung. Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.

Das klassische Eigenwertproblem

Allgemein ist ein Eigenwertproblem beschreiben durch die Gleichung

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}=\lambda \cdot {\underline {q}}$

mit der n × n-Matrix A.

Gesucht sind also Lösungen q, die ein Vielfaches λ der Abbildung A∙q sind.

Die Umformung der Gleichung auf

$\underbrace {\left({\underline {\underline {A}}}-\lambda \cdot {\underline {\underline {1}}}\right)} _{\displaystyle :={\underline {\underline {D}}}(\lambda )}\cdot {\underline {q}}={\underline {0}}$

zeigt, dass wir ein homogene Gleichungssystem lösen müssen. Das hat nur dann nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösungen, wenn D einen Rangabfall von mindestes 1 hat: die Gleichungen linear abhängig sind.

Dafür müssen wir fordern, dass

$\det \left(D(\lambda )\right){\stackrel {!}{=}}0$.

Der Wert dieser Determinante heißt "charakteristisches Polynom".Die Nullstellen λ_i des charakteristischen Polynoms heißen Eigenwerte.

Für jeden Wert λ_i können wir das Gleichungssystem

${\underline {\underline {D}}}(\lambda _{i})\cdot {\underline {q}}_{i}={\underline {0}}$

lösen und so die Eigenvektoren q_i bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir eine "Freiheit" übrig:

Wenn q_i ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch c∙q_i eine Lösung.

Orthogonalität der Eigenvektoren

Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren q_i untereinander orthogonal sind (also (q_j^T∙q_i)=0), wenn die Matrix A symmetrisch ist, also A = A^T. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für λ_i die Gleichung mit q_j^T multiplizieren, also

${\begin{array}{c}{\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}_{i}=\lambda _{i}\cdot {\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {q}}_{i}\\{\underline {q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}_{j}=\lambda _{j}\cdot {\underline {q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {q}}_{j}\end{array}}$

Wir subtrahieren die beiden Gleichungen voneinander und erhalten

${\begin{array}{cl}{\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}_{i}-{\underline {q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}_{j}&=0\\{\underline {q}}_{j}^{T}\cdot \lambda _{i}\cdot {\underline {q}}_{i}-{\underline {q}}_{i}^{T}\cdot \lambda _{j}\cdot {\underline {q}}_{j}&=0\\(\lambda _{i}-\lambda _{j})\cdot {\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {q}}_{i}&=0\\\end{array}}$.

Die letzte Zeile der Gleichung können wir nun so interpretieren:

Für λ_i≠λ_j ist das Skalarprodukt der beiden Eigenvektoren (q_j^T∙q_i)=0 - sie sind orthogonal zu einander.

Das generalisierte Eigenwertproblem

Bei einem generalisierten Eigenwertproblem ist

${\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {q}}=\lambda \cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {q}}$

mit den quadratischen n×n Matrizen K und M. In technischen Systemen sind diese beiden Matrizen außerdem meist symmetrisch - hier gilt also:

${\underline {\underline {K}}}={\underline {\underline {K}}}^{T}{\text{ und }}{\underline {\underline {M}}}={\underline {\underline {M}}}^{T}$.

So steht bei Modalanalysen von schwingungsfähigen Systemen

• das K für die Steifigkeitsmatrix,
• das M für die Massenmatrix und
• λ für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω₀².

Analog zum Vorgehen oben schreiben wir

$\underbrace {\left({\underline {\underline {K}}}-\lambda \cdot {\underline {\underline {M}}}\right)} _{\displaystyle :={\underline {\underline {D}}}(\lambda )}\cdot {\underline {q}}={\underline {0}}$

und fordern, dass

$\det \left(D(\lambda )\right){\stackrel {!}{=}}0$.

Für jeden Eigenwert λ_i = ω_0,i² können wir das Gleichungssystem

${\underline {\underline {D}}}(\lambda _{i})\cdot {\underline {q}}_{i}={\underline {0}}$

lösen und so die Eigenwerte q_i - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:

Wenn q_i ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch c∙q_i eine Lösung.

Orthogonalität der Eigenvektoren

Auch für das generalisierte Eigenwertproblem finden wir Orthogonalitätsbeziehungen. Analog zu unserem Vorgehen oben schreiben wir

${\begin{array}{c}{\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {q}}_{i}=\lambda _{i}\cdot {\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {q}}_{i}\\{\underline {q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {q}}_{j}=\lambda _{j}\cdot {\underline {q}}_{i}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {q}}_{j}\end{array}}$

und erhalten aus K = K^T die Beziehung

$(\lambda _{i}-\lambda _{j})\cdot {\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {q}}_{i}=0$.

Die Eigenvektoren q_j^T, q_i zu verschiedenen Eigenwerten, also λ_i≠λ_j , sind im Sinne des Skalarprodukts

${\underline {q}}_{j}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {q}}_{i}$

orthogonal zueinander.

Die Modal-Matrix

In der Schwingungslehre fasst man die n Spaltenmatrizen der Eigenvektoren q_i zur Modalmatrix zusammen:

${\underline {\underline {Q}}}:=\left({\underline {q}}_{1},{\underline {q}}_{2},\ldots ,{\underline {q}}_{n}\right)=\left({\begin{array}{ccc}q_{11}&\ldots &q_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\q_{n1}&\ldots &q_{nn}\end{array}}\right)$

Analog verfährt ,am mit den Eigenwerten, die man zur Diagonalmatrix Λ zusammenfasst:

${\underline {\underline {\Lambda }}}:={\text{diag}}(\lambda _{i})=\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}&&0\\&\ddots &\\0&&\lambda _{n}\end{array}}\right)$

Das Eigenwertproblem können wir jetzt umschreiben zu

$\underbrace {{\underline {\underline {Q}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}\cdot {\underline {\underline {Q}}}} _{\displaystyle :={\underline {\underline {\tilde {K}}}}}=\underbrace {{\underline {\underline {Q}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {M}}}\cdot {\underline {\underline {Q}}}} _{\displaystyle :={\underline {\underline {\tilde {M}}}}}\cdot {\underline {\underline {\Lambda }}}$

mit der modalen Massenmatrix und modalen Steifigkeitsmatrix

${\underline {\underline {\tilde {M}}}};{\underline {\underline {\tilde {K}}}}$.

Diese beiden Matrizen sind Diagonalmatrizen - aufgrund der Orthogonalität der Eigenvektoren (Spaltenmatrizen der ~) - ebenfalls Diagonalmatrizen. Also ist

${\textstyle {\underline {\underline {\tilde {M}}}}:={\text{diag}}({\tilde {m}}_{i})=\left({\begin{array}{ccc}{\tilde {m}}_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&{\tilde {m}}_{n}\end{array}}\right)}$ und ${\textstyle {\underline {\underline {\tilde {K}}}}:={\text{diag}}({\tilde {k}}_{i})=\left({\begin{array}{ccc}{\tilde {k}}_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&{\tilde {k}}_{n}\end{array}}\right)}$.

Jeden einzelnen der Eigenvektoren q_i dürfen wir mit einer Konstanten multiplizieren, die modalen Massen und Steifigkeiten sind deshalb nicht für das Ausgangssystem spezifisch. Aus dem Eigenwertproblem folgt jedoch nun

${\textstyle {\tilde {k}}_{i}\cdot {\underline {q}}_{i}=\lambda _{i}\cdot {\tilde {m}}_{i}\cdot {\underline {q}}_{i}}$ sowie ${\textstyle {\tilde {k}}_{i}=\lambda _{i}\cdot {\tilde {m}}_{i}}$.

Durch die Modalkoordinaten können wir die Bewegungsgleichungen also entkoppeln.

Für ein schwingungsfähiges System folgt für die Eigenkreisfrequenz nun

$\displaystyle \omega _{0,i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}=\pm {\sqrt {\frac {{\tilde {k}}_{i}}{{\tilde {m}}_{i}}}}$.