Gelöste Aufgaben/StaF

Aufgabenstellung

Wir untersuchen die Belastung eines ebenen Stabwerks. Die Stäbe haben wie skizziert die Länge ℓ bzw. ℓ/2. Die Struktur wird mit der Kraft F belastet.

Stabwerk mit in den Knoten fest verbundenen Stäben.

Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die FEM-Lösung der Felddifferentialgleichung im Vergleich zur Lösung in Problemstellung „Stab“.

Wir stellen das Modell des Stabwerks mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf und vergleichen, wie sich diese von der Herangehensweise aus „Stab“ mit der analytischen Lösung unterscheidet.

Lösung mit Maxima

Wir nutzen das Computer-Algebra-System Maxima zur Lösung. Das macht hier Sinn, weil wir die Herangehensweise mit der aus Stab vergleichen wollen – für die wir ebenfalls Maxima eingesetzt haben.

Declarations

Wir übernehmen alle Vereinbarungen und Parameter aus der Problemformulierung „Stab“.

Gleichgewichtsbedingungen

Für die Gleichgewichtsbedingung nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen

${\begin{array}{ccc}\delta W&{\stackrel {!}{=}}&0\\&=&\delta \Pi -\delta W^{a}\end{array}}$

benötigen wir die virtuelle Formänderungsenergie $\delta \Pi$ und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft $\delta W^{a}$ der äußeren Kräfte und Momente.

Mit den Konventionen für die Knoten-Verschiebungen aus Stab ist

$\delta W^{a}=+\delta W_{4,0}\cdot F$.

Für $\delta \Pi$ gilt

$\delta \Pi =\sum _{i=0}^{4}\delta \Pi _{i}$

mit den virtuellen Formänderungsarbeiten der vier Stäbe.

Dabei haben wir Anteile der Arbeit aus der [Biegung] und der Längs-Dehnung des Stabes.

Für den Stab k mit den Knoten I und J haben wir als Koodinaten der Knoten

$U_{I,k},W_{I,k},\Phi _{I,k}$ und $U_{J,k},W_{J,k},\Phi _{J,k}$.

Damit haben wir

$\delta \Pi _{k}=\left(\delta W_{I,k},\delta \Phi _{I,k},\delta \Phi _{J,k},\delta W_{J,k}\right)\cdot {\frac {EI}{\ell _{i}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}12&6\,{\ell _{i}}&-12&6\,{\ell _{i}}\\6\,{\ell _{i}}&4\,{\ell _{i}^{2}}&-6\,{\ell _{i}}&2\,{\ell _{i}^{2}}\\-12&-6\,{\ell _{i}}&12&-6\,{\ell _{i}}\\6\,{\ell _{i}}&2\,{\ell _{i}^{2}}&-6\,{\ell _{i}}&4\,{\ell _{i}^{2}}\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{c}W_{I,k}\\\Phi _{I,k}\\W_{J,k}\\\Phi _{J,k}\end{array}}\right)+\left(\delta U_{I,k},\delta U_{J,k}\right)\cdot {\frac {EA}{\ell _{i}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{c}U_{I,k}\\U_{J,k}\end{array}}\right)$

Für den Stab k definieren wir

${\underline {Q}}_{k,k}=\left({\begin{array}{c}U_{I,k}\\W_{I,k}\\\Phi _{I,k}\\U_{J,k}\\W_{J,k}\\\Phi _{J,k}\\\end{array}}\right)$ sowie $\delta {\underline {Q}}_{k,k}=\left({\begin{array}{c}\delta U_{I,k}\\\delta W_{I,k}\\\delta \Phi _{I,k}\\\delta U_{J,k}\\\delta W_{J,k}\\\delta \Phi _{J,k}\\\end{array}}\right)$

und finden damit

$\delta \Pi _{k}=\delta {\underline {Q}}_{k,k}^{T}\cdot {\underline {\underline {K}}}_{k,k}\cdot {\underline {Q}}_{k,k}$

mit der Element-Steifigkeitsmatrix des Elements k im k-Koordinatensystem

${\underline {\underline {K}}}_{k,k}={\frac {EI}{\ell _{i}^{3}}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&12&6\,{\ell _{i}}&0&-12&6\,{\ell _{i}}\\0&6\,{\ell _{i}}&4\,{\ell _{i}^{2}}&0&-6\,{\ell _{i}}&2\,{\ell _{i}^{2}}\\0&0&0&0&0&0\\0&-12&-6\,{\ell _{i}}&0&12&-6\,{\ell _{i}}\\0&6\,{\ell _{i}}&2\,{\ell _{i}^{2}}&-0&6\,{\ell _{i}}&4\,{\ell _{i}^{2}}\end{pmatrix}}+{\frac {EA}{\ell _{i}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Transformation der Koordinaten in das globale System

In den Ausdrücken der virtuellen Formänderungsenergie stehen die Koordinaten des lokalen Koordinatensystems von k. Die müssen wir, wie in Stab mit der Euler-Drehmatrix ineinander überführen.

Dafür haben wir

$\left({\begin{array}{c}U_{I,0}\\W_{I,0}\\\Phi _{I,0}\end{array}}\right)={\underline {\underline {D}}}_{R}(\alpha _{k})\cdot \left({\begin{array}{c}U_{I,k}\\W_{I,k}\\\Phi _{I,k}\end{array}}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underline {\underline {D}}}_{R}(\alpha _{k})=\left({\begin{array}{c}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})&0\\-\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})&0\\0&0&1\end{array}}\right).$

Es ist praktisch, an dieser Stelle die Abkürzung

${\underline {q}}_{I,0}=\left({\begin{array}{c}U_{I,0}\\W_{I,0}\\\Phi _{I,0}\end{array}}\right)$

für die Koordinaten eines Knoten im Referenzsystem einzuführen. Also ist

$\left({\begin{array}{c}U_{I,k}\\W_{I,k}\\\Phi _{I,k}\end{array}}\right)={\underline {\underline {D}}}_{R}^{T}(\alpha _{k})\cdot {\underline {q}}_{I,0}.$

Damit wir für die Elementsteifigkeitsmatrix - mit beiden Anfangs- und Endknoten des Elements - vom "0"-System ins "k"-System transformieren, brauchen wir die neue Transformations-Matrix

${\underline {\underline {T}}}(\alpha _{k}):=\left({\begin{array}{cc}{\underline {\underline {D}}}_{R}^{T}(\alpha _{k})&{\underline {\underline {0}}}\\{\underline {\underline {0}}}&{\underline {\underline {D}}}_{R}^{T}(\alpha _{k})\end{array}}\right)$

Mit diesen ist

$\delta \Pi =\sum _{k=1}^{4}\delta {\underline {Q}}_{k,0}^{T}\cdot \underbrace {{\underline {\underline {T}}}^{T}(\alpha _{k})\cdot {\underline {\underline {K}}}_{k,k}\cdot {\underline {\underline {T}}}(\alpha _{k})} _{:={\underline {\underline {K}}}_{k,0}}\cdot {\underline {Q}}_{k,0}$

Die resultierenden Element-Steifigkeitsmatrizen sind im folgenden aufgeschreiben:

Element-Steigigkeitsmatrizen mit globalen Koordinaten
Element #1
${\underline {\underline {K}}}_{1,0}={\begin{pmatrix}{\frac {8{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}&0&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}&-\left({\frac {8{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}\right)&0&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}\\0&{\frac {2AE}{\ell _{0}}}&0&0&-\left({\frac {2AE}{\ell _{0}}}\right)&0\\{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}&0&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}\right)&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\\-\left({\frac {8{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}\right)&0&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}\right)&{\frac {8{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}&0&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}\right)\\0&-\left({\frac {2AE}{\ell _{0}}}\right)&0&0&{\frac {2AE}{\ell _{0}}}&0\\{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{2}}}\right)&0&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\end{pmatrix}}$
Element #2
${\underline {\underline {K}}}_{2,0}={\begin{pmatrix}{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\\{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}\\-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)\\-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\end{pmatrix}}$
Element #3
${\underline {\underline {K}}}_{3,0}={\begin{pmatrix}{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\\-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}\\-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)\\{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}\right)&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{\ell _{0}^{2}}AE}{4{\ell _{0}^{3}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{\ell _{0}^{2}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\end{pmatrix}}$
Element #4
${\underline {\underline {K}}}_{4,0}={\begin{pmatrix}{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}\right)&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}\\0&{\frac {AE}{\ell _{0}}}&0&0&-\left({\frac {AE}{\ell _{0}}}\right)&0\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}\right)&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}\\-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}\right)&0&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{\ell _{0}^{3}}}&0&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}\right)\\0&-\left({\frac {AE}{\ell _{0}}}\right)&0&0&{\frac {AE}{\ell _{0}}}&0\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{\ell _{0}^{2}}}}\right)&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\end{pmatrix}}$

Wir sammeln nun alle Koordianten der Knoten im 0-System in

${\underline {Q}}_{0}^{T}=\left({\underline {q}}_{1,0}^{T},{\underline {q}}_{2,0}^{T},{\underline {q}}_{3,0}^{T},{\underline {q}}_{4,0}^{T}\right)$

und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen in der Form

$\delta W=\delta {\underline {Q}}_{0}^{T}\cdot \left({\underline {\underline {K}}}_{0}\cdot {\underline {Q}}_{0}-{\underline {P}}\right){\stackrel {!}{=}}0$

an. Dabei kommen die Beiträge zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix (hier noch in der Fassung ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) aus den vier Beiträgen der virtuellen Formänderungsenergie - die wir hier farblich gekennzeichnet haben:

Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.

Einarbeitung der Randbedingungen

Die Randbedingungen arbeiten wir hier durch das Streichen der passenden Zeilen für $\delta U_{1,0},\delta W_{1,0},\delta U_{2,0},\delta W_{2,0}$ sowie der passenden Spalten für $U_{1,0},W_{1,0},U_{2,0},W_{2,0}$ ein.

Das resultierende Gleichungssystem ist dies:

${\begin{pmatrix}{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&0&0&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{2}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&0&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}\\0&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{{\ell }_{0}^{2}}AE}{2{{\ell }_{0}^{3}}}}+{\frac {2AE}{\ell _{0}}}&0&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{2{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)\\-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{2}}}\right)&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{{\ell }_{0}^{2}}AE}{2{{\ell }_{0}^{3}}}}+{\frac {8{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{3}}}&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{2}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\\{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{2{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{2}}}\right)&{\frac {4{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}\\0&0&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}&{\frac {3{{A}^{2}}E\eta +{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}+{\frac {AE}{\ell _{0}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\\0&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{2{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&-\left({\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta -{\sqrt {3}}{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta +3{{\ell }_{0}^{2}}AE}{4{{\ell }_{0}^{3}}}}+{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{{\ell }_{0}^{3}}}&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)\\0&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&-\left({\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}&{\frac {{{A}^{2}}E\eta }{6{\ell _{0}}}}&{\frac {{\sqrt {3}}{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}&-\left({\frac {3{{A}^{2}}E\eta }{4{{\ell }_{0}^{2}}}}\right)&{\frac {2{{A}^{2}}E\eta }{3{\ell _{0}}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{{\Phi }_{1,0}}\\{{\Phi }_{2,0}}\\{W_{3,0}}\\{U_{3,0}}\\{{\Phi }_{3,0}}\\{W_{4,0}}\\{U_{4,0}}\\{{\Phi }_{4,0}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\F\\0\\0\end{pmatrix}}$

Solving

Das Ergebnis ist - für die gleichen Parameter wie in Stab -

${\begin{array}{l}U_{1,0}=0\\W_{1,0}=0\\\Phi _{1,0}=3.97{\frac {F}{Ea^{2}}}\\U_{2,0}=0\\W_{2,0}=0\\\Phi _{2,0}=2.45{\frac {F}{Ea^{2}}}\\U_{3,0}=57.7{\frac {F}{Ea}}\\W_{3,0}=1.67\cdot 10^{2}{\frac {F}{Ea}}\\\Phi _{3,0}=2.06{\frac {F}{Ea^{2}}}\\U_{4,0}=-57.7{\frac {F}{Ea}}\\W_{4,0}=3.67\cdot 10^{2}{\frac {F}{Ea}}\\\Phi _{4,0}=3.12{\frac {F}{Ea^{2}}}\end{array}}$

Und damit sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal auftragen.

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