Gelöste Aufgaben/Kita: Unterschied zwischen den Versionen

Aus numpedia
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Visuell
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
(30 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 11: Zeile 11:
==Aufgabenstellung==
==Aufgabenstellung==
<onlyinclude>
<onlyinclude>
[[Datei:Kita-01.png|120px|left|mini|Lageplan]]
[[Datei:Kita-01.png|150px|left|mini|Lageplan]]
Das skizzierte System ist ein Mast unter einer linear veränderlichen Windlast, der durch drei gleichmäßig über den Umfang verteilten Stäbe abgestützt wird.
Das skizzierte System ist ein Mast unter einer linear veränderlichen Windlast, der durch drei gleichmäßig über den Umfang verteilten Stäbe abgestützt wird.


Gesucht ist die analytische Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell des elastischen Mastes und der drei Dehnstäbe.
Gesucht ist die analytische Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell des elastischen Mastes und der drei Dehnstäbe.
</onlyinclude>
</onlyinclude>
[[Datei:Kita-02.png|210px|right|mini|Sicht auf den Mast]]
[[Datei:Kita-02.png|190px|right|mini|Sicht auf den Mast]]
Der Mast steht senkrecht dabei auf einer ebenen Unterlage mit dem festen Gelenklager „''O''“ und ist durch drei Stäbe abgestützt. Alle Stäbe sind in Punkt „''H''“ mit dem Mast verbunden und in den Punkten „''A''“, „''B''“ und „''C''“ gelenkig gelagert.
Der Mast steht senkrecht dabei auf einer ebenen Unterlage mit dem festen Gelenklager „''O''“ und ist durch drei Stäbe abgestützt. Alle Stäbe sind in Punkt „''H''“ mit dem Mast verbunden und in den Punkten „''A''“, „''B''“ und „''C''“ gelenkig gelagert.
Die Lager A, B und C sind gleichmäßig in einem Radius von R um O herum auf der Unterlage verteilt. Die Windlast hat den Maximalwert ''q<sub>T</sub>'' und wirkt in der Ebene, die durch die Punkte A, O und H aufgespannt werden. Für die Geometrie des Masts gilt <i>h<sub>1</sub> = 2 h<sub>2</sub>, h<sub>2</sub> = √2 R</i>, außerdem sei die Dehnsteifigkeiten der Stäbe <i>E A<sub>2</sub>=2 E A<sub>1</sub>,E A<sub>3</sub>=E A<sub>1</sub></i>.
Die Lager A, B und C sind gleichmäßig in einem Radius von ''R'' um ''O'' herum auf der Unterlage verteilt. Die Windlast hat den Maximalwert ''q<sub>T</sub>'' und wirkt in der Ebene, die durch die Punkte ''A, O'' und ''H'' aufgespannt werden. Für die Geometrie des Masts gilt <i>h<sub>1</sub> = 2 h<sub>2</sub>, h<sub>2</sub> = √2 R</i>, außerdem sei die Dehnsteifigkeiten der Stäbe <i>E A<sub>2</sub>=2 E A<sub>1</sub>,E A<sub>3</sub>=E A<sub>1</sub></i>.


[[Datei:Kita-03.png|80px|left|mini|Mastpril-Querschnitt]]
Der Mast hat ein zylindrisches Profil mit Innen- und Außendurchmesser <i>d<sub>i</sub>, d<sub>a</sub></i>.
Der Mast hat ein zylindrisches Profil mit Innen- und Außendurchmesser <i>d<sub>i</sub>, d<sub>a</sub></i>.
[[Datei:Kita-03.png|65px|mini|Mastprofil]]


Ein Knicken der drei Stäbe sei ausgeschlossen.
Ein Knicken der drei Stäbe sei ausgeschlossen.
Zeile 31: Zeile 31:
<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Header
{{MyCodeBlock|title=Header
|text=Kern der Lösung ist die Berechnung der Integrationskonstanten des Euler-Bernoulli-Balkens. In diesem Beispiel führen wir zusätzliche Konstanten ein, um die Rand- und Übergangsbedingungen einfacher formulieren zu können.
|text=Kern der Lösung ist die Berechnung der Integrationskonstanten des Euler-Bernoulli-Balkens. In diesem Beispiel führen wir zusätzliche Abkürzungen als Variablen ein, um die Rand- und Übergangsbedingungen einfacher formulieren zu können.
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 53: Zeile 53:
EA_2& = &2 EA_1,\\
EA_2& = &2 EA_1,\\
EA_3& = &EA_1,\\
EA_3& = &EA_1,\\
h_1 & = &2 h_2, \\
h_1 & = &2\;h_2, \\
h_2 & = &\sqrt{2*R} \text{ und }\\
h_2 & = &\sqrt{2}\;R \text{ und }\\
EA_1& = &\alpha EI/R^2
EA_1& = &\alpha\;EI/R^2
\end{array}</math>
\end{array}</math>
 
[[Datei:Kita-14.png|150px|right|mini|''x-y-z''-Koordinaten]]
und definieren für die Berechnung der Stabkräfte die Referenzorte von <i>A, B, C</i> und <i>H</i> wie skizziert im <i>x, y, z</i> Koordinatensystem zu
und definieren für die Berechnung der Stabkräfte die Referenzorte von <i>A, B, C</i> und <i>H</i> wie rechts skizziert im <i>x, y, z</i> Koordinatensystem zu
::<math>
::<math>
     \underline{r}_H = \begin{pmatrix}h_1\\0\\ 0\end{pmatrix},
     \underline{r}_H = \begin{pmatrix}h_1\\0\\ 0\end{pmatrix},
Zeile 68: Zeile 68:
::<math>
::<math>
\underline{r}_1 = \underline{r}_A-\underline{r}_H,
\underline{r}_1 = \underline{r}_A-\underline{r}_H,
\underline{r}_2 = \underline{r}_B-\underline{r}_H und  
\underline{r}_2 = \underline{r}_B-\underline{r}_H \text{ und }
\underline{r}_3 = \underline{r}_C-\underline{r}_H,
\underline{r}_3 = \underline{r}_C-\underline{r}_H,
</math>
</math>
Zeile 113: Zeile 113:
Wir nutzen die Standard-Nomenklatur für den Euler-Bernoulli-Balken und schrieben jeweils die Gleichgewichtsbedingungen
Wir nutzen die Standard-Nomenklatur für den Euler-Bernoulli-Balken und schrieben jeweils die Gleichgewichtsbedingungen
<table style="background-color:white; margin-right:14px;">
<table style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th></th><th> ... in z-Richtung als</th><th> ... in y-Richtung als</th></tr>
<tr><th></th><th> ... in ''z''-Richtung als</th><th> ... in ''y''-Richtung als</th></tr>
<tr><td></td>
<tr><td></td>
     <td><math>{\displaystyle E\,I\,w_{i}^{IV}(x)=q_{z},\;\;i=\{1,2\}}</math>.</td>
     <td><math>{\displaystyle E\,I\,w_{i}^{IV}(x)=q_{z},\;\;i=\{1,2\}}</math>.</td>
Zeile 122: Zeile 122:
<tr><td>... die Querschnitts-Auslenkung:  </td><td><math>w_{i}(x)</math></td>
<tr><td>... die Querschnitts-Auslenkung:  </td><td><math>w_{i}(x)</math></td>
                                               <td><math>v_{i}(x)</math></td></tr>
                                               <td><math>v_{i}(x)</math></td></tr>
<tr><td>... die Querschnitts-Verdrehung:  </td><td><math>\phi _{i}(x)=    \frac{\displaystyle d    \,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x    }</math></td>
<tr><td>... die Querschnitts-Verdrehung:  </td><td><math>\varphi _{i}(x)=    \frac{\displaystyle d    \,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x    }</math></td>
                                               <td><math>\psi _{i}(x)=    \frac{\displaystyle d    \,v_{i}(x)}{\displaystyle d\,x    }</math></td></tr>
                                               <td><math>\psi _{i}(x)=    \frac{\displaystyle d    \,v_{i}(x)}{\displaystyle d\,x    }</math></td></tr>
<tr><td>... das Biege-Moment:            </td><td><math>  M_{y,i}(x)=-EI \frac{\displaystyle d^{2}\,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{2}}</math></td>
<tr><td>... das Biege-Moment:            </td><td><math>  M_{y,i}(x)=-EI \frac{\displaystyle d^{2}\,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{2}}</math></td>
Zeile 130: Zeile 130:
</table>
</table>


Für die Streckenlasten auf den Mast gilt je Bereich "i":
Für die Streckenlasten auf den Mast gilt je Bereich "i" die lineare Funktion:
* ... in z-Richtung: <math>q_{z,i}(x) = q_{z,i-1}\cdot(1-\frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i})+q_{z,i}\cdot \frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i}</math> und
* ... in ''z''-Richtung: <math>q_{z,i}(x) = q_{z,i-1}\cdot(1-\frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i})+q_{z,i}\cdot \frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i}</math> und
* ... in y-Richtung: <math>q_{y,i}(x) = 0 </math>  
* ... in ''y''-Richtung: <math>q_{y,i}(x) = 0 </math>  
wobei
wobei an den Knotenpunkten dies gilt:
::<math>
::<math>
\begin{array}{ccl}
\begin{array}{ccl}
q_{z,0} &=& 0\\
q_{z,2} &=& {\color{red}-}q_T\\
q_{z,1} &=& {\color{red}-}q_T\cdot\frac{\displaystyle h_1}{\displaystyle h_1+h_2}\\
q_{z,1} &=& {\color{red}-}q_T\cdot\frac{\displaystyle h_1}{\displaystyle h_1+h_2}\\
q_{z,2} &=& {\color{red}-}q_T\\
q_{z,0} &=& 0.
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Mit diesen Ansätzen erhalten wir aus der Integration der Differentialbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken diese generischen (weil mit Integrationskonstanten) Lösungen:
Mit diesen Ansätzen erhalten wir aus der Integration der Differentialbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken diese generischen (weil mit Integrationskonstanten behaftete) Lösungen:
<table style="background-color:white; margin-right:14px;">
<table style="background-color:white; margin-right:14px;">
<tr><th>Richung ...</th><th>z</th><th>y</th></tr>
<tr><th>Richung ...</th><th>''z''</th><th>''y''</th></tr>
<tr><th>Bereich  I:</th><td><math>w_{ I}(x)=-\frac{q_T x^5}{120 \left( {h_2}+{h_1}\right) EI}+{c_1} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_2} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_3}\; x+{c_4}</math></td>
<tr><th>Bereich  I:</th><td><math>w_{ I}(x)=-\frac{q_T x^5}{120 \left( {h_2}+{h_1}\right) EI}+{c_1} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_2} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_3}\; x+{c_4}</math></td>
                         <td><math>v_{ I}(x)={c_5} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_6} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_7}\;x+{c_8}</math></td></tr>
                         <td><math>v_{ I}(x)={c_5} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_6} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_7}\;x+{c_8}</math></td></tr>
Zeile 149: Zeile 149:
                         <td><math>v_{II}(x)={c_{13}} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_{14}} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_{15}}\;x+{c_{16}}</math></td></tr>
                         <td><math>v_{II}(x)={c_{13}} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_{14}} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_{15}}\;x+{c_{16}}</math></td></tr>
</table>
</table>
Wir haben also Bereich I und II für Richtungen z und y mit jeweils 4 integrationskonstanten - insgesamt 16.
Wir haben also Bereich I und II für Richtungen z und y mit jeweils 4 integrationskonstanten - das macht insgesamt 16 zu bestimmende Variablen.
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 183: Zeile 183:
Die Zugkräfte <i>S<sub>i</sub></i> in den drei Dehnstäben erhalten wir aus der Stab-Längung <math>\Delta L_i</math>, also
Die Zugkräfte <i>S<sub>i</sub></i> in den drei Dehnstäben erhalten wir aus der Stab-Längung <math>\Delta L_i</math>, also
::<math>S_i = EA_i \frac{\displaystyle \Delta L_i}{\displaystyle L}</math>
::<math>S_i = EA_i \frac{\displaystyle \Delta L_i}{\displaystyle L}</math>
Dabei ist <math>\Delta L_i</math> die Längung von Stab <i>i</i>. Die Kraft hat als Richtung <math>\underline{e}_i</math>, also ist
[[Datei:Kita-11.png|150px|right|mini|Freikörperbild in der x-z-Ebene]]
::<math>\underline{S}_i = S_i \cdot \underline{e}_i</math>
[[Datei:Kita-12.png|180px|right|mini|Freikörperbild in der y-z-Ebene]]
Die Bilder rechts zeigen die Stabkräfte am freigeschnittenen Punkt <i>H</i> des Masts.
Bei der Berechnung der Stabkräfte ist <math>\Delta L_i</math> die Längung von Stab <i>i</i>. Die Kraft hat als Richtung <math>\underline{e}_i</math>, also ist
::<math>\underline{S}_i = S_i \cdot \underline{e}_i</math>.
Es fehlt nur noch die Stablängung <math>\Delta L_i</math> je Stab – und die bekommen wir aus dem Vergleich der Geometrie des Stabes im verformten und unverformten Zustand.
Es fehlt nur noch die Stablängung <math>\Delta L_i</math> je Stab – und die bekommen wir aus dem Vergleich der Geometrie des Stabes im verformten und unverformten Zustand.


Zeile 191: Zeile 194:
und die Koeffizienten der Stab-Vektoren sind nun
und die Koeffizienten der Stab-Vektoren sind nun
::<math>\tilde{\underline{r}}_1 = \underline{r}_A - \tilde{\underline{r}}_H, \ldots</math>.
::<math>\tilde{\underline{r}}_1 = \underline{r}_A - \tilde{\underline{r}}_H, \ldots</math>.
Die Differenzlänge erhalten wir – nach dem gleichen Schema wie oben aus
Die Differenzlänge erhalten wir – nach dem gleichen Schema wie oben – aus
::<math>\Delta L_i = ||\tilde{\underline{r}}_i||-L</math>.
::<math>\Delta L_i = ||\tilde{\underline{r}}_i||-L</math>.
In
In
Zeile 197: Zeile 200:
steht nun allerdings ein komplizierter, nichtlinearer Ausdruck.
steht nun allerdings ein komplizierter, nichtlinearer Ausdruck.
Den linearisieren wir, schreiben also
Den linearisieren wir, schreiben also
::<math>\Delta L_i \approx \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial V_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot V_H + \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial W_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot W_H</math>
::<math>\Delta L_i := \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial V_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot V_H + \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial W_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot W_H</math>
und erhalten damit
und erhalten damit
::<math>\begin{array}{llll}S_1 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_1}{\displaystyle L^2}&\;\;\cdot\;W_H\\
::<math>\begin{array}{llll}S_1 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_1}{\displaystyle L^2}&\cdot\;\;\;\;\;\;\;W_H\\
                           S_2 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_2}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H + \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right)\\
                           S_2 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_2}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H + \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right)\\
                           S_3 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_3}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H - \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right)
                           S_3 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_3}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H - \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right)
\end{array}</math>
\end{array}</math>
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
 
/*******************************************************/
CODE
/* forces S[i] in supporing rods                      */
 
/* S[i] as a function of W[H] and V[H] *****************/
/* *****************************************************/
ΔL: subst(geo,[r[A] - (r[H]+matrix([0,V[H],W[H]])),
              r[B] - (r[H]+matrix([0,V[H],W[H]])),
              r[C] - (r[H]+matrix([0,V[H],W[H]]))]);
ΔL: makelist(sqrt(ΔL[i].ΔL[i])-subst(geo,L),i,1,3);
displ: [W[H],V[H]];
null : makelist(displ[i]=0,i,1,2);
/* linearize .... */
ΔL: sum(subst(null, diff(ΔL,displ[j]))*displ[j],j,1,2);
S : makelist(EA[i]*ΔL[i]/subst(geo,L),i,1,3);
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}


<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Boundary- and Transition-Conditions
{{MyCodeBlock|title=Boundary- and Transition-Conditions
|text= TEXT
|text=  
Aus der Lösung der Differentialgleichungen für zwei Raumrichtungen und zwei Bereiche haben wir 16 Integrationskonstanten, die wir bestimmen müssen. Hinzu kommen <i>V<sub>H</sub></i> und <i>W<sub>H</sub></i> für den Knoten <i>H</i>. Um hier konsistent zu sein, führen wir für die Knoten <i>H</i> und <i>T</i> – "Top", die Mastspitze – die Koordinaten der Auslenkung und Kippung der Querschnitte ein, also zusammen die 8 Knotenvariablen
<table style="background-color:white; margin-right:14px; border: 1px solid black; border-spacing: 30px;">
<tr><th>Richtung</th><th>z</th><th>y</th></tr>
<tr><td>Knoten T<br/>Auslenkung<br/>Kippwinkel</td><td><br/><math>W_T</math>,<br/><math>\Phi_T</math></td><td><br/><math>V_T</math>,<br/><math>\Psi_T</math></td></tr>
<tr><td>Knoten H<br/>Auslenkung<br/>Kippwinkel</td><td><br/><math>W_H</math>,<br/><math>\Phi_H</math></td><td><br/><math>V_H</math>,<br/><math>\Psi_H</math></td></tr>
<tr><td>Knoten 0<br/>Auslenkung<br/>Kippwinkel</td><td><br/><math> 0 </math>,<br/><math> c_3  </math></td><td><br/><math> 0 </math>,<br/><math> c_7  </math></td></tr>
</table>
In ''O'' hätten wir auch noch die Variablen <math>\Phi_O</math> und <math>\Psi_O</math> einführen könnten. Die sind allerdings identisch mit <math>c_3</math> und <math>c_7</math>.


Alle Unbekannten fassen wir nun in
::<math>\underline{c} = \left(\begin{array}{l}c_{01}\\c_{02}\\\ldots\\c_{15}\\c_{16}\\W_H\\V_H\\\Phi_H\\\Psi_H\\W_T\\V_T\\\Phi_T\\\Psi_T\end{array}\right)</math>
zusammen.


==== ... aus Rand <i>O</i>====
Für diese 24 Unbekannten brauchen wir nun 24 Gleichungen – Geometriebedingungen und Kräfte-/Momentengleichgewichte.


==== ... aus Rand "<i>O</i>"====
Das gelenkige Lager in ''O'' erlaubt keine Verschiebung und es nimmt keine Momente auf.
Daraus ergeben sich die '''Geometrischen Bedingungen:'''
<ol start="1">
<li><math>w_{ I}(0) = 0</math></li>
<li><math>v_{ I}(0) = 0</math></li>
</ol>
und die '''Kraft- und Momenten-Randbedingungen:'''
<ol start="3">
<li><math>M_{z, I}(0) = 0</math></li>
<li><math>M_{y, I}(0) = 0</math></li>
</ol>


==== ... aus Übergang <i>H</i>====
==== ... aus Übergang "<i>H</i>"====
'''Geometrische Bedingungen:'''


<ol start="5">
<li><math>w_{ I}(h_1) = W_H</math></li>
<li><math>v_{ I}(h_1) = V_H</math></li>
<li><math>w_{II}( 0 ) = W_H</math></li>
<li><math>v_{II}( 0 ) = V_H</math></li>
<li><math>\varphi_{ I}(h_1) = \Phi_H</math></li>
<li><math>\psi_{ I}(h_1) = \Psi_H</math></li>
<li><math>\varphi_{II}( 0 ) = \Phi_H</math></li>
<li><math>\psi_{II}( 0 ) = \Psi_H</math></li>
</ol>


'''Kraft- und Momenten-Randbedingungen:'''
Hier wird es spannend: durch die drei Stäbe werden Kräfte eingeleitet,
[[Datei:Kita-13.png|180px|right|mini|Schnittbild für Knoten ''H''<br/>hier ohne Schnittmomente]]
Einfach sind die Momenten-Gleichgewichtsbedingungen am Knoten ''H'' - hier wird kein externes Moment eingeleitet, die beiden Schnittmomente müssen gleich sein:
<ol start="13">
<li><math>M_{y, I}(h_1) = M_{y,II}( 0 )</math></li>
<li><math>M_{z, I}(h_1) = M_{z,II}( 0 )</math></li>
</ol>
Für die Kraft-Übergangsbedingungen in <i>y</i>- und <i>z</i>-Richtung müssen wir nun allerdings die Seilkräfte mit einbeziehen.
<ol start="15">
<li><math>Q_{y, I}(h_1) = Q_{y,II}( 0 ) + \sum_{k=1}^3 S_i \cdot e_{i,y}</math></li>
<li><math>Q_{z, I}(h_1) = Q_{z,II}( 0 ) + \sum_{k=1}^3 S_i \cdot e_{i,z}</math></li>
</ol>
Dabei nehmen wir vom Einheitsvektor nur die Komponente der jeweiligen Raumrichtung, also z.B. <math>e_{i,y}</math> aus <math>\underline{e}_{i}=\left(\begin{array}{c}e_{i,x}\\e_{i,y}\\e_{i,z}\end{array}\right)</math>.
==== ... aus Rand "<i>T</i>"====
'''Geometrische Bedingungen:'''
Für die geometrischen Randbedingen haben wir nur die Gleichungen, die unsere Abkürzungen einführen, also
<ol start="17">
<li><math>w_{II}(h_2) = W_T </math></li>
<li><math>v_{II}(h_2) = V_T </math></li>
<li><math>\varphi_{II}(h_2) = \Phi_T </math></li>
<li><math>\psi_{II}(h_2) = \Psi_T </math></li>
</ol>


==== ... aus Rand <i>T</i>====
'''Kraft- und Momenten-Randbedingungen:'''
Hier ist Rand frei: Kräfte und Momente in ''T'' müssen Null sein:
<ol start="21">
<li><math>M_{y,II}(h_2) = 0 </math></li>
<li><math>M_{z,II}(h_2) = 0 </math></li>
<li><math>Q_{y,II}(h_2) = 0 </math></li>
<li><math>Q_{z,II}(h_2) = 0 </math></li>
</ol>
Damit sind wir komplett - wir haben 24 Gleichungen für 24 Unbekannte.
Das Gleichungssystem können wir nun als
::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{c}=\underline{b}</math>
schreiben - oder mit den oben angegebenen Systemparametern ausgeschreiben als
::<math>
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -EI & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & EI & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\frac{{{h}_{1}^{3}}}{6} & \frac{{{h}_{1}^{2}}}{2} & {h_1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{1}^{3}}}{6} & \frac{{{h}_{1}^{2}}}{2} & {h_1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\frac{{{h}_{1}^{2}}}{2} & {h_1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{1}^{2}}}{2} & {h_1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-{h_1} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & {h_1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\left( {EA_3}+{EA_2}+4 {EA_1}\right)  {{R}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}_{1}^{2}}} \left( 4 EI {{R}^{2}}+4 {{h}_{1}^{2}}\, EI\right) } & \frac{\left( \sqrt{3} {EA_3}-\sqrt{3} {EA_2}\right)  {{R}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}_{1}^{2}}} \left( 4 EI {{R}^{2}}+4 {{h}_{1}^{2}}\, EI\right) } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{\left( \sqrt{3} {EA_3}-\sqrt{3} {EA_2}\right)  {{R}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}_{1}^{2}}} \left( 4 EI {{R}^{2}}+4 {{h}_{1}^{2}}\, EI\right) } & \frac{\left( 3 {EA_3}+3 {EA_2}\right)  {{R}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}_{1}^{2}}} \left( 4 EI {{R}^{2}}+4 {{h}_{1}^{2}}\, EI\right) } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{2}^{3}}}{6} & \frac{{{h}_{2}^{2}}}{2} & {h_2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{2}^{3}}}{6} & \frac{{{h}_{2}^{2}}}{2} & {h_2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{2}^{2}}}{2} & {h_2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{{{h}_{2}^{2}}}{2} & {h_2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -{h_2} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {h_2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\cdot \underline{c}
=  
\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\\
0\\
\frac{{{h}_{1}^{5}} {q_T}}{\left( 120 {h_2}+120 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
0\\
0\\
\frac{{{h}_{1}^{4}} {q_T}}{\left( 24 {h_2}+24 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
0\\
0\\
-\frac{{{h}_{1}^{3}} {q_T}}{\left( 6 {h_2}+6 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
-\frac{{{h}_{1}^{2}} {q_T}}{\left( 2 {h_2}+2 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
\frac{\left( {{h}_{2}^{5}}+5 {h_1} {{h}_{2}^{4}}\right)  {q_T}}{\left( 120 {h_2}+120 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
\frac{\left( {{h}_{2}^{4}}+4 {h_1} {{h}_{2}^{3}}\right)  {q_T}}{\left( 24 {h_2}+24 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
-\frac{\left( {{h}_{2}^{3}}+3 {h_1} {{h}_{2}^{2}}\right)  {q_T}}{\left( 6 {h_2}+6 {h_1}\right) \, EI}\\
0\\
-\frac{\left( {{h}_{2}^{2}}+2 {h_1} {h_2}\right)  {q_T}}{\left( 2 {h_2}+2 {h_1}\right) \, EI}\\
0\end{pmatrix}
</math>


|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/******************************************************/
/* Boundary Value Problem Formulation                */
/* ****************************************************/


CODE
/* point "O" - geometry */
BC: [subst(x=  0  ,  subst(sol[1][1],w(x))    )=  0 ,
    subst(x=  0  ,  subst(sol[2][1],v(x))    )=  0 ,
/* point "O" - bending moments */               
    subst(x=  0  ,  subst(sol[1][1],M[y](x))  )=  0 ,
    subst(x=  0  ,  subst(sol[2][1],M[z](x))  )=  0 ,
/* point "H" - geometry */
    subst(x= h[1],  subst(sol[1][1],w(x))    )=W[H],
    subst(x= h[1],  subst(sol[2][1],v(x))    )=V[H],
    subst(x=  0  ,  subst(sol[1][2],w(x))    )=W[H],
    subst(x=  0  ,  subst(sol[2][2],v(x))    )=V[H],
    subst(x= h[1],  subst(sol[1][1],φ(x))    )=Φ[H],
    subst(x= h[1],  subst(sol[2][1],ψ(x))    )=Ψ[H],
    subst(x=  0  ,  subst(sol[1][2],φ(x))    )=Φ[H],
    subst(x=  0  ,  subst(sol[2][2],ψ(x))    )=Ψ[H],
/* point "H" - bending moments */               
    subst(x= h[1],  subst(sol[1][1],M[y](x))  )=subst(x=  0  ,  subst(sol[1][2],M[y](x))  ),
    subst(x= h[1],  subst(sol[2][1],M[z](x))  )=subst(x=  0  ,  subst(sol[2][2],M[z](x))  ),
/* point "H" - forces */
    subst(x= h[1],  subst(sol[1][1],Q[z](x))  )=subst(x=  0  ,  subst(sol[1][2],Q[z](x))  ) + sum(S[i]*subst(geo,e[i]),i,1,3)[1][3],
    subst(x= h[1],  subst(sol[2][1],Q[y](x))  )=subst(x=  0  ,  subst(sol[2][2],Q[y](x))  ) + sum(S[i]*subst(geo,e[i]),i,1,3)[1][2],
/* point "T" (Top) - geometry */
    subst(x= h[2],  subst(sol[1][2],w(x))    )=W[T],
    subst(x= h[2],  subst(sol[2][2],v(x))    )=V[T],
    subst(x= h[2],  subst(sol[1][2],φ(x))    )=Φ[T],
    subst(x= h[2],  subst(sol[2][2],ψ(x))    )=Ψ[T],
/* point "T" (Top) - bending moment */
    subst(x= h[2],  subst(sol[1][2],M[y](x))  ) = 0,
    subst(x= h[2],  subst(sol[2][2],M[z](x))  ) = 0,
/* point "T" (Top) - forces */
    subst(x= h[2],  subst(sol[1][2],Q[z](x))  ) = 0,
    subst(x= h[2],  subst(sol[2][2],Q[y](x))  ) = 0];


C: append(makelist(c[i],i,16), [W[H],V[H],Φ[H],Ψ[H],W[T],V[T],Φ[T],Ψ[T]]);
scale: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
        1,1,EI,EI,EI,EI,1,1,1,1,
        EI,EI,EI,EI];
for i:1 thru 24 do BC[i]:BC[i]/scale[i];
ACM: ratsimp(augcoefmatrix(BC,C));
a: submatrix(ACM,25);
b:-col(ACM,25);
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}
Zeile 238: Zeile 414:
<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Solving
{{MyCodeBlock|title=Solving
|text= TEXT
|text= Dieses lineare Gleichungssystem kann man gerade noch analytisch lösen - wir finden die gesuchten Integrationskonstanten und Knotenvariablen
 
::<math>
 
\begin{array}{l}
{c_1}=0\\
{c_2}=0\\
{c_3}=\frac{{{2}^{\frac{9}{2}}} {{R}^{3}} {q_T} \alpha -2187 {{R}^{3}} {q_T}}{180 EI \alpha }\\
{c_4}=0\\
{c_5}=0\\
{c_6}=0\\
{c_7}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }\\
{c_8}=0\\
{c_9}=\frac{5 R {q_T}}{3 \sqrt{2} EI}\\
{c_{10}}=-
\frac{8 {{R}^{2}} {q_T}}{9 EI}\\
{c_{11}}=-\frac{{{2}^{\frac{13}{2}}} {{R}^{3}} {q_T} \alpha +2187 {{R}^{3}} {q_T}}{180 EI \alpha }\\
{c_{12}}=-\frac{243 {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha }\\
{c_{13}}=0\\
{c_{14}}=0\\
{c_{15}}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }\\
{c_{16}}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha }\\
{W_H}=-\frac{243 {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha }\\
{V_H}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha }\\
{{\Phi }_H}=-\frac{{{2}^{\frac{13}{2}}} {{R}^{3}} {q_T} \alpha +2187 {{R}^{3}} {q_T}}{180 EI \alpha }\\
{{\Psi }_H}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }\\
{W_T}=-
\frac{70 {{R}^{4}} {q_T} \alpha +2187 \sqrt{2} {{R}^{4}} {q_T}}{60 EI \alpha }\\
{V_T}=-\frac{{{3}^{\frac{9}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 {{2}^{\frac{3}{2}}} EI \alpha }\\
{{\Phi }_T}=-\frac{119 \sqrt{2} {{R}^{3}} {q_T} \alpha +2187 {{R}^{3}} {q_T}}{180 EI \alpha }\\
{{\Psi }_T}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }
\end{array}
</math>
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
/* solve for integration constants                    */
/* *****************************************************/
consts: ratsimp(solve(ratsimp(subst(params,BC)),C)[1]);


CODE
sol: subst(consts,sol);
 
toReplace: [x=ξ*h[1],x=ξ*h[2]];
for dir: 1 thru 2 do
  for sec: 1 thru 2 do
    (print(dir,sec),
      for elem: 1 thru 4 do
      sol[dir][sec][elem]: lhs(sol[dir][sec][elem])=subst(toReplace[sec],rhs(sol[dir][sec][elem])));
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}
Zeile 252: Zeile 465:
<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
|text= TEXT
|text=Die Verläufe der Auslenkung und Schnittkräfte - hier exemplarisch das Biegemoment - können wir nun plotten:
<table>
<tr><td>[[Datei:Kita-21.png|500px|mini|Auslenkung der Querschnitte]]</td><td>[[Datei:Kita-22.png|500px|mini|Biegemomente]]</td></tr>
</table>




|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
/* post-processing                                    */
/*******************************************************/
/* what is a reasonable size is α ?                              */
/* geopar: [A[1]= π/ 4*d[r]^2, d[r]=1*cm,                         
            I  = π/64*(d[o]^4-d[i]^4), d[o]=10*cm, d[i]=9*cm,   
            R  = h[2]/sqrt(2), h[2]=500*cm,
            α  = A[1]*R^2/I              ]                        */
sol: ratsimp(subst([α=500],subst(params,sol)));


CODE
toPlot: ratsimp([subst(sol[1][1],w(x)/R),subst(sol[1][2],w(x)/R),subst(sol[2][1],v(x)/R),subst(sol[2][2],v(x)/R)]/(q[T]*R^3/6/EI));
plot2d([[parametric, ξ, toPlot[1], [ξ,0,1]],
        [parametric, 1+ξ*subst(params,h[2]/h[1]), toPlot[2], [ξ,0,1]],
        [parametric, ξ, toPlot[3], [ξ,0,1]],
        [parametric, 1+ξ*subst(params,h[2]/h[1]), toPlot[4], [ξ,0,1]]],
        [legend, "w(x), sec 1", "w(x), sec 2", "v(x), sec 1", "v(x), sec 2"],
        [xlabel, "x/h_1->"],[ylabel, "w(x)/W_0, v(x)/V_0 ->"])$


toPlot: ratsimp([subst(sol[1][1],M[y](x)),subst(sol[1][2],M[y](x)),subst(sol[2][1],M[z](x)),subst(sol[2][2],M[z](x))]/(q[T]*R^2));
plot2d([[parametric, ξ, toPlot[1], [ξ,0,1]],
        [parametric, 1+ξ*subst(params,h[2]/h[1]), toPlot[2], [ξ,0,1]],
        [parametric, ξ, toPlot[3], [ξ,0,1]],
        [parametric, 1+ξ*subst(params,h[2]/h[1]), toPlot[4], [ξ,0,1]]],
        [legend, "M_y(x), sec 1", "M_y(x), sec 2", "M_z(x), sec 1", "M_z(x), sec 2"],
        [xlabel, "x/h_1->"],[ylabel, "M(x)/M_0 ->"])$
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}

Aktuelle Version vom 15. September 2022, 13:55 Uhr


Aufgabenstellung

Lageplan

Das skizzierte System ist ein Mast unter einer linear veränderlichen Windlast, der durch drei gleichmäßig über den Umfang verteilten Stäbe abgestützt wird.

Gesucht ist die analytische Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell des elastischen Mastes und der drei Dehnstäbe.

Sicht auf den Mast

Der Mast steht senkrecht dabei auf einer ebenen Unterlage mit dem festen Gelenklager „O“ und ist durch drei Stäbe abgestützt. Alle Stäbe sind in Punkt „H“ mit dem Mast verbunden und in den Punkten „A“, „B“ und „C“ gelenkig gelagert. Die Lager A, B und C sind gleichmäßig in einem Radius von R um O herum auf der Unterlage verteilt. Die Windlast hat den Maximalwert qT und wirkt in der Ebene, die durch die Punkte A, O und H aufgespannt werden. Für die Geometrie des Masts gilt h1 = 2 h2, h2 = √2 R, außerdem sei die Dehnsteifigkeiten der Stäbe E A2=2 E A1,E A3=E A1.

Der Mast hat ein zylindrisches Profil mit Innen- und Außendurchmesser di, da.

Mastprofil

Ein Knicken der drei Stäbe sei ausgeschlossen.

Lösung mit Maxima

Mit Maxima berechnen wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens und geben die Rand- und Übergangsbedingungen an. Der Mast soll in Längsrichtung nicht signifikant durch die Stabkräfte verformt werden, als Koordinaten der Verschiebung haben hier also nur die Auslenkungen Querrichtung sowie die Verdrehungen um diese Koordinatenrichtungen. Die Stabkräfte berechnen wir aus der Längung der Stäbe, dabei linearisieren wir bezüglich der Mast-Auslenkungen.

Header

Kern der Lösung ist die Berechnung der Integrationskonstanten des Euler-Bernoulli-Balkens. In diesem Beispiel führen wir zusätzliche Abkürzungen als Variablen ein, um die Rand- und Übergangsbedingungen einfacher formulieren zu können.



Declarations

Wir übernehmen die Parameter aus der Aufgabenstellung, also

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ccl} EA_2& = &2 EA_1,\\ EA_3& = &EA_1,\\ h_1 & = &2\;h_2, \\ h_2 & = &\sqrt{2}\;R \text{ und }\\ EA_1& = &\alpha\;EI/R^2 \end{array}}
x-y-z-Koordinaten

und definieren für die Berechnung der Stabkräfte die Referenzorte von A, B, C und H wie rechts skizziert im x, y, z Koordinatensystem zu

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{r}_H = \begin{pmatrix}h_1\\0\\ 0\end{pmatrix}, \underline{r}_A = R \begin{pmatrix} 0 \\ \sin( 0 )\\-\cos( 0 \end{pmatrix}, \underline{r}_B = R \begin{pmatrix} 0 \\ \sin(-2 \pi/3)\\-\cos(-2 \pi/3)\end{pmatrix}, \underline{r}_C = R \begin{pmatrix} 0 \\ \sin(+2 \pi/3)\\-\cos(+2 \pi/3)\end{pmatrix}. }

Die Koordinaten der Vektoren, die jeweils in Stablängsrichtung von H zu den Lagerpunkten zeigen, sind dann

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{r}_1 = \underline{r}_A-\underline{r}_H, \underline{r}_2 = \underline{r}_B-\underline{r}_H \text{ und } \underline{r}_3 = \underline{r}_C-\underline{r}_H, }

die Referenz-Länge aller drei Stäbe ist damit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = ||\underline{r}_i||, i=1,2 \text{ oder } 3} .

Und wir schreiben damit die Koordinaten der Einheitsvektoren dieser Stab-Längsrichtungen als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{e}_i = \frac{\displaystyle \underline{r}_i}{\displaystyle L}, i=1,2, 3} .




Integration Of Differential Equation for Euler-Bernoulli-Beam

In den Bereichen I und II haben wir jeweils eine Auslenkung des Masts in zwei Richtungen: z und y.

Wir nutzen die Standard-Nomenklatur für den Euler-Bernoulli-Balken und schrieben jeweils die Gleichgewichtsbedingungen

... in z-Richtung als ... in y-Richtung als
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle E\,I\,w_{i}^{IV}(x)=q_{z},\;\;i=\{1,2\}}} . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle E\,I\,v_{i}^{IV}(x)=q_{y},\;\;i=\{1,2\}}} .

Für die Auslenkungen in z und y-Richtung geben wir hier die Bedeutung der Koordinaten vi(x), wi(x) je Bereich und deren Ableitungen an. Es ist

... die Querschnitts-Auslenkung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_{i}(x)} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{i}(x)}
... die Querschnitts-Verdrehung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi _{i}(x)= \frac{\displaystyle d \,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x }} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi _{i}(x)= \frac{\displaystyle d \,v_{i}(x)}{\displaystyle d\,x }}
... das Biege-Moment: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{y,i}(x)=-EI \frac{\displaystyle d^{2}\,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{2}}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{z,i}(x)={\color{red}+}EI \frac{\displaystyle d^{2}\,v_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{2}}} und
... die Querkraft: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{z,i}(x)=-EI \frac{\displaystyle d^{3}\,w_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{3}}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{y,i}(x)=-EI \frac{\displaystyle d^{3}\,v_{i}(x)}{\displaystyle d\,x^{3}}}

Für die Streckenlasten auf den Mast gilt je Bereich "i" die lineare Funktion:

  • ... in z-Richtung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_{z,i}(x) = q_{z,i-1}\cdot(1-\frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i})+q_{z,i}\cdot \frac{\displaystyle x_i}{\displaystyle h_i}} und
  • ... in y-Richtung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_{y,i}(x) = 0 }

wobei an den Knotenpunkten dies gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ccl} q_{z,2} &=& {\color{red}-}q_T\\ q_{z,1} &=& {\color{red}-}q_T\cdot\frac{\displaystyle h_1}{\displaystyle h_1+h_2}\\ q_{z,0} &=& 0. \end{array} }

Mit diesen Ansätzen erhalten wir aus der Integration der Differentialbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken diese generischen (weil mit Integrationskonstanten behaftete) Lösungen:

Richung ...zy
Bereich I:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_{ I}(x)=-\frac{q_T x^5}{120 \left( {h_2}+{h_1}\right) EI}+{c_1} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_2} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_3}\; x+{c_4}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{ I}(x)={c_5} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_6} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_7}\;x+{c_8}}
Bereich II:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_{II}(x)=-\frac{\frac{h_1 q_T \left( \frac{x^4}{24}-\frac{x^5}{120 h_2}\right) }{h_2+h_1}+\frac{q_T x^5}{120 h_2}}{EI} +{c_9} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_{10}} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_{11}}\;x+{c_{12}}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{II}(x)={c_{13}} \frac{{{x}^{3}}}{6}+{c_{14}} \frac{{{x}^{2}}}{2}+{c_{15}}\;x+{c_{16}}}

Wir haben also Bereich I und II für Richtungen z und y mit jeweils 4 integrationskonstanten - das macht insgesamt 16 zu bestimmende Variablen.




Forces in Supporting Rods

Die Zugkräfte Si in den drei Dehnstäben erhalten wir aus der Stab-Längung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i} , also

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_i = EA_i \frac{\displaystyle \Delta L_i}{\displaystyle L}}
Freikörperbild in der x-z-Ebene
Freikörperbild in der y-z-Ebene

Die Bilder rechts zeigen die Stabkräfte am freigeschnittenen Punkt H des Masts. Bei der Berechnung der Stabkräfte ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i} die Längung von Stab i. Die Kraft hat als Richtung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{e}_i} , also ist

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{S}_i = S_i \cdot \underline{e}_i} .

Es fehlt nur noch die Stablängung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i} je Stab – und die bekommen wir aus dem Vergleich der Geometrie des Stabes im verformten und unverformten Zustand.

Analog zur Länge des Stabes im unverformten Zustand ist nun der Ort von H

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\underline{r}}_H = \underline{r}_H + \begin{pmatrix}0\\V_H\\W_H\end{pmatrix}}

und die Koeffizienten der Stab-Vektoren sind nun

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\underline{r}}_1 = \underline{r}_A - \tilde{\underline{r}}_H, \ldots} .

Die Differenzlänge erhalten wir – nach dem gleichen Schema wie oben – aus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i = ||\tilde{\underline{r}}_i||-L} .

In

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i =\Delta L_i(V_H, W_H),}

steht nun allerdings ein komplizierter, nichtlinearer Ausdruck. Den linearisieren wir, schreiben also

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta L_i := \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial V_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot V_H + \left.\frac{\partial \Delta L_i}{\partial W_H}\right\vert_{V_H=0, W_H =0} \cdot W_H}

und erhalten damit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{llll}S_1 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_1}{\displaystyle L^2}&\cdot\;\;\;\;\;\;\;W_H\\ S_2 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_2}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H + \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right)\\ S_3 &=&R \cdot \frac{\displaystyle E\,A_3}{\displaystyle L^2}&\cdot\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} W_H - \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2} V_H\right) \end{array}}




Boundary- and Transition-Conditions

Aus der Lösung der Differentialgleichungen für zwei Raumrichtungen und zwei Bereiche haben wir 16 Integrationskonstanten, die wir bestimmen müssen. Hinzu kommen VH und WH für den Knoten H. Um hier konsistent zu sein, führen wir für die Knoten H und T – "Top", die Mastspitze – die Koordinaten der Auslenkung und Kippung der Querschnitte ein, also zusammen die 8 Knotenvariablen

Richtungzy
Knoten T
Auslenkung
Kippwinkel
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_T} ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_T}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_T} ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_T}
Knoten H
Auslenkung
Kippwinkel
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_H} ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_H}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_H} ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_H}
Knoten 0
Auslenkung
Kippwinkel
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 } ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_3 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 } ,
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_7 }

In O hätten wir auch noch die Variablen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_O} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_O} einführen könnten. Die sind allerdings identisch mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_7} .

Alle Unbekannten fassen wir nun in

zusammen.

Für diese 24 Unbekannten brauchen wir nun 24 Gleichungen – Geometriebedingungen und Kräfte-/Momentengleichgewichte.

... aus Rand "O"

Das gelenkige Lager in O erlaubt keine Verschiebung und es nimmt keine Momente auf. Daraus ergeben sich die Geometrischen Bedingungen:

und die Kraft- und Momenten-Randbedingungen:

... aus Übergang "H"

Geometrische Bedingungen:

Kraft- und Momenten-Randbedingungen: Hier wird es spannend: durch die drei Stäbe werden Kräfte eingeleitet,

Schnittbild für Knoten H
hier ohne Schnittmomente

Einfach sind die Momenten-Gleichgewichtsbedingungen am Knoten H - hier wird kein externes Moment eingeleitet, die beiden Schnittmomente müssen gleich sein:

Für die Kraft-Übergangsbedingungen in y- und z-Richtung müssen wir nun allerdings die Seilkräfte mit einbeziehen.

Dabei nehmen wir vom Einheitsvektor nur die Komponente der jeweiligen Raumrichtung, also z.B. aus .

... aus Rand "T"

Geometrische Bedingungen: Für die geometrischen Randbedingen haben wir nur die Gleichungen, die unsere Abkürzungen einführen, also

Kraft- und Momenten-Randbedingungen: Hier ist Rand frei: Kräfte und Momente in T müssen Null sein:

Damit sind wir komplett - wir haben 24 Gleichungen für 24 Unbekannte. Das Gleichungssystem können wir nun als

schreiben - oder mit den oben angegebenen Systemparametern ausgeschreiben als




Solving

Dieses lineare Gleichungssystem kann man gerade noch analytisch lösen - wir finden die gesuchten Integrationskonstanten und Knotenvariablen




Post-Processing

Die Verläufe der Auslenkung und Schnittkräfte - hier exemplarisch das Biegemoment - können wir nun plotten:

Auslenkung der Querschnitte
Biegemomente




Links

  • ...

Literature

  • ...
Abgerufen von „https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gelöste_Aufgaben/Kita&oldid=4510“