Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt P im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Kugelkoordinaten r, φ₁, φ₂ eines Punktes P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x₁, x₂,x₃.

So ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P

${\vec {r}}=r\cdot {\vec {e}}_{r}$

mit

${\vec {e}}_{r}=\left({\begin{array}{c}\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\\cos(\varphi _{1})\end{array}}\right)$.

Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den Euler-Winkeln -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen. Mit dem Flächen-Normalenvektor ${\vec {e}}_{r}$ und den Tangentialvektoren ${\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}$ zu φ₁ und φ₂ wird dabei eine neue Basis ${\vec {\underline {e}}}_{K}$ aufgespannt.

Einheitsvektoren der Orthogonalbasis ${\vec {\underline {e}}}_{K}=\left[{\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2},{\vec {e}}_{r}\right]$, die in Punkt P der Kugel mit ${\vec {e}}_{r}$ die Flächennormale definieren und mit ${\vec {e}}_{\varphi ,1},{\vec {e}}_{\varphi ,2}$ die Tangentialebene aufspannen.

Die Koordinatentransformation erfolgt über

$\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{\varphi ,1}\\{\vec {e}}_{\varphi ,2}\\{\vec {e}}_{r}\end{array}}\right)={\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{x,1}\\{\vec {e}}_{x,2}\\{\vec {e}}_{x,3}\end{array}}\right)$

mit der Transformationsmatrix

${\underline {\underline {D}}}_{12}\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)\right)={\begin{pmatrix}\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&-\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\\-\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&0\\\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\sin {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}(t)\right)}&\cos {\left({{\varphi }_{1}}(t)\right)}\end{pmatrix}}$

Umrechnen von Euler-Winkel in Kugel-Koordinaten

Oft kann man räumliche Polarkoordinaten anschaulicher interpretieren als Euler-Winkel. Polarkoordinaten können allerdings zu Singularitäten führen wie in GYRQ. Wir schreiben hier deshalb eine Transformationsvorschrift an, mit der wir Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten können.

Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts P mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden. Wir wählen hier für die Euler-Transformation

${\underline {\underline {D}}}_{[2,1,3]}^{E}(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})={\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi _{3})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{1}(\varphi _{1})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{2}(\varphi _{2})$

mit den Winkeln φ₁, φ₂, φ₃ sowie die Polarkoordinaten mit einer anschließenden Drehung um die ${\vec {e}}_{r}$-Achse

${\underline {\underline {D}}}_{[1/2,3]}^{K}(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})={\underline {\underline {D}}}_{3}(\theta _{3})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{12}(\theta _{1},\theta _{2})$

mit den Winkeln θ₁, θ₂, θ₃.

Damit ein beliebiger Punkt nach beiden Transformationen gleich ist, muss

$\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)\cdot {\underline {\underline {D}}}_{[2,1,3]}^{E}(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})=\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)\cdot {\underline {\underline {D}}}_{[1/2,3]}^{K}(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$

gelten. Diese Beziehungen kann man sukzessive nach den sin- und cos-Koeffizienten auflösen. Sie liefern

${\begin{array}{lcl}{{\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}^{2}}&=&\displaystyle {\frac {{{\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}}^{2}}{{\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}^{2}}+2\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}+\left(1-{{\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}}^{2}}\right){{\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}}^{2}}{{\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}^{2}}}{1-{{\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}}^{2}}{{\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}}^{2}}}}\\\cos {\left({{\theta }_{3}}\right)}&=&\displaystyle {\frac {\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}+\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}{{\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}^{2}}-\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}{{\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}^{2}}}{\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}}\\\sin {\left({{\theta }_{2}}\right)}&=&\displaystyle -{\frac {\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}{\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}+\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}}\\\cos {\left({{\theta }_{2}}\right)}&=&\displaystyle {\frac {\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}{\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}+\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}}\\\sin {\left({{\theta }_{1}}\right)}&=&\displaystyle {\frac {\sin {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\sin {\left({{\varphi }_{3}}\right)}+\sin {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{3}}\right)}}{\sin {\left({{\theta }_{3}}\right)}}}\\\cos {\left({{\theta }_{1}}\right)}&=\displaystyle &\cos {\left({{\varphi }_{1}}\right)}\cos {\left({{\varphi }_{2}}\right)}\\\end{array}}$

/* Euler-Winkel */
D[1](φ) := matrix([1,0,0],[0,cos(φ),sin(φ)],[0,-sin(φ),cos(φ)]);
D[2](φ) := matrix([cos(φ),0,-sin(φ)],[0,1,0],[sin(φ),0,cos(φ)]);
D[3](φ) := matrix([cos(φ),sin(φ),0],[-sin(φ),cos(φ),0],[0,0,1]);

/* Kugelkoordinanten */
D[12](θ,φ):= matrix([ cos(θ)*cos(φ), cos(θ)*sin(φ), -sin(θ)],
                    [       -sin(φ),        cos(φ),     0  ],
                    [ sin(θ)*cos(φ), sin(θ)*sin(φ),  cos(θ)]);



/* Zusammenhang Euler-Winkel - Kugelkoordinaten*/
/* Euler -> Kugel */

equ: matrix([a[x],a[y],a[z]]).D[3](θ[3]).D[12](θ[1],θ[2]) - matrix([a[x],a[y],a[z]]).D[3](φ[3]).D[1](φ[1]).D[2](φ[2]);
equ: flatten(makelist(coeff(args(equ),[a[x],a[y],a[z]][i]),i,1,3));
equ: makelist(equ[i]=0,i,1,9);
repl: solve([equ[5],equ[6],equ[7],equ[8],equ[9]],[cos(θ[3]),sin(θ[2]),cos(θ[2]),sin(θ[1]),cos(θ[1])])[1];
equ: transpose(subst(repl,equ));
repl: append(trigsimp(repl), subst([sin(φ[1])^2=1-cos(φ[1])^2],trigsimp(solve(equ[1],sin(θ[3])^2))));
equ: trigsimp(transpose(subst(repl,equ)));

Links

1. Kugelkoordinaten auf Wikipedia
2. Sources/Lexikon/Eulersche Winkel
3. Quaternionen für Drehungen
4. Geographische Koordinaten

Literature

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