Sources/Lexikon/Eulersche Winkel: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| (5 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 5: | Zeile 5: | ||
Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten. | Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten. | ||
<table class="wikitable" style="background-color:white; float: | <table class="wikitable" style="background-color:white; float: right; margin-right:14px;"> | ||
"> | <tr><td width="320px">[[Datei:Drehungen mit Eulerwinkel.gif|mini|none|Koordinaten-Transformation (Drehung) mit Eulerwinkeln: Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen.]] | ||
<tr><td>[[Datei:Drehungen mit Eulerwinkel.gif|mini|Koordinaten-Transformation (Drehung) mit Eulerwinkeln: Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen.]]< | |||
<small> | |||
This is a file from the [https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page Wikimedia Commons].<br/> | This is a file from the [https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page Wikimedia Commons].<br/> | ||
Euler2.gif: Juansemperederivative work: Xavax [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 CC BY-SA 3.0] or [http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDL] via Wikimedia Commons | Euler2.gif: Juansemperederivative work: Xavax [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 CC BY-SA 3.0] or [http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDL] via Wikimedia Commons. | ||
</small> | |||
</td></tr> | </td></tr> | ||
</table> | </table>Bei Drehungen im Raum wird es komplizierter: wir müssen formaler vorgehen. | ||
Dazu beschrieben wir - wie in der Animation links - eine Drehung des Körpers durch eine sukzessive Drehung aus seinem Koordinatensystem in der Referenzlage (blau) in sein körperfestes Koordinatensystem (rot). | |||
Die drei Drehungen heißen Euler-Winkel und die Abfolge der Drehungen ist relevant: der Köper wird durch eine Abfolge von Drehungen um seine jeweiligen '''Körperachsen''' beschrieben! | |||
In der Luftfahrt heißen die Drehungen Roll-, Nick- und Gierwinkel und gehören zu Drehungen um die ''z<sub>0</sub>-, y<sub>1</sub>-'' und ''x<sub>2</sub>''-Achse. | |||
Bei jeder Drehung werden die Einheits-Richtungsvektoren | |||
::<math>\underline{\vec{e}}_i=\left(\begin{array}{c}\vec{e}_{x,i}\\\vec{e}_{y,i}\\\vec{e}_{z,i}\end{array}\right)</math> | |||
um einen Winkel bezüglich einer Achse gedreht. So wird die erste Drehung des Referenz-Koordinatensystems mit Index "0" um die vertikale (''z-'') Achse gedreht - die Transformationsbeziehung lautet | |||
::<math>\underline{\vec{e}}_1=\underline{\underline{D}}_3(\varphi)\cdot \underline{\vec{e}}_0</math>. | |||
Die Lage der Koordinatenachsen für diese beiden Koordinatensysteme sehen sie hier: | |||
[[Datei:Euler2a-step-1+.png|links|mini|250px|Koordinaten zur Euler-Transformation]] | |||
Die Transformations-Matrix | |||
::<math>\underline{\underline{D}}_3(\varphi)</math> | |||
heißt Drehmatrix. Sie dreht das (blaue) Koordinatensystem um den Winkel φ bezüglich der z- (3-) Achse und ist | |||
::<math>\displaystyle \underline{\underline{D}}_3(\varphi) =\left(\begin{array}{ccc}\;\;\;\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\-\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\0&0&1\end{array}\right)</math>. | |||
Eine Abfolge von von Drehungen um die um die z0-, y1- und x2-Achse wie in der Animation oben erfassen wir dann also durch | |||
::<math>\underline{\vec{e}}_1=\underline{\underline{D}}_1(\varphi_1)\cdot \underline{\underline{D}}_2(\varphi_2)\cdot \underline{\underline{D}}_3(\varphi_3)\cdot \underline{\vec{e}}_0</math>. | |||
Auch hier wird ersichtlich; die Abfolge der Drehungen ist nicht beliebig, weil die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist! | |||
'''Links''' | |||
# [[Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten|Kugelkoordinaten]] | |||
Aktuelle Version vom 4. April 2022, 11:39 Uhr
Wenn wir in technischen Systemen die Bewegung eines Körpers (Flugzeug, Roboterarm, ...) beschreiben, brauchen wir dafür Koordinaten der Translation (hier u und v) und der Rotation (hier φ).
Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten.
This is a file from the Wikimedia Commons. |
Bei Drehungen im Raum wird es komplizierter: wir müssen formaler vorgehen.
Dazu beschrieben wir - wie in der Animation links - eine Drehung des Körpers durch eine sukzessive Drehung aus seinem Koordinatensystem in der Referenzlage (blau) in sein körperfestes Koordinatensystem (rot).
Die drei Drehungen heißen Euler-Winkel und die Abfolge der Drehungen ist relevant: der Köper wird durch eine Abfolge von Drehungen um seine jeweiligen Körperachsen beschrieben!
In der Luftfahrt heißen die Drehungen Roll-, Nick- und Gierwinkel und gehören zu Drehungen um die z0-, y1- und x2-Achse.
Bei jeder Drehung werden die Einheits-Richtungsvektoren
um einen Winkel bezüglich einer Achse gedreht. So wird die erste Drehung des Referenz-Koordinatensystems mit Index "0" um die vertikale (z-) Achse gedreht - die Transformationsbeziehung lautet
- .
Die Lage der Koordinatenachsen für diese beiden Koordinatensysteme sehen sie hier:
Die Transformations-Matrix
heißt Drehmatrix. Sie dreht das (blaue) Koordinatensystem um den Winkel φ bezüglich der z- (3-) Achse und ist
- .
Eine Abfolge von von Drehungen um die um die z0-, y1- und x2-Achse wie in der Animation oben erfassen wir dann also durch
- .
Auch hier wird ersichtlich; die Abfolge der Drehungen ist nicht beliebig, weil die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist!
Links