Sources/Lexikon/Eulersche Winkel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. April 2022, 11:39 Uhr

Wenn wir in technischen Systemen die Bewegung eines Körpers (Flugzeug, Roboterarm, ...) beschreiben, brauchen wir dafür Koordinaten der Translation (hier u und v) und der Rotation (hier φ).

Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten.

Koordinaten-Transformation (Drehung) mit Eulerwinkeln: Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen. This is a file from the Wikimedia Commons. Euler2.gif: Juansemperederivative work: Xavax CC BY-SA 3.0 or GFDL via Wikimedia Commons.

Bei Drehungen im Raum wird es komplizierter: wir müssen formaler vorgehen.

Dazu beschrieben wir - wie in der Animation links - eine Drehung des Körpers durch eine sukzessive Drehung aus seinem Koordinatensystem in der Referenzlage (blau) in sein körperfestes Koordinatensystem (rot).

Die drei Drehungen heißen Euler-Winkel und die Abfolge der Drehungen ist relevant: der Köper wird durch eine Abfolge von Drehungen um seine jeweiligen Körperachsen beschrieben!

In der Luftfahrt heißen die Drehungen Roll-, Nick- und Gierwinkel und gehören zu Drehungen um die z₀-, y₁- und x₂-Achse.

Bei jeder Drehung werden die Einheits-Richtungsvektoren

{\underline {\vec {e}}}_{i}=\left({\begin{array}{c}{\vec {e}}_{x,i}\\{\vec {e}}_{y,i}\\{\vec {e}}_{z,i}\end{array}}\right)

um einen Winkel bezüglich einer Achse gedreht. So wird die erste Drehung des Referenz-Koordinatensystems mit Index "0" um die vertikale (z-) Achse gedreht - die Transformationsbeziehung lautet

{\underline {\vec {e}}}_{1}={\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )\cdot {\underline {\vec {e}}}_{0}

.

Die Lage der Koordinatenachsen für diese beiden Koordinatensysteme sehen sie hier:

Die Transformations-Matrix

{\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )

heißt Drehmatrix. Sie dreht das (blaue) Koordinatensystem um den Winkel φ bezüglich der z- (3-) Achse und ist

\displaystyle {\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi )=\left({\begin{array}{ccc}\;\;\;\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{array}}\right)

.

Eine Abfolge von von Drehungen um die um die z0-, y1- und x2-Achse wie in der Animation oben erfassen wir dann also durch

{\underline {\vec {e}}}_{1}={\underline {\underline {D}}}_{1}(\varphi _{1})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{2}(\varphi _{2})\cdot {\underline {\underline {D}}}_{3}(\varphi _{3})\cdot {\underline {\vec {e}}}_{0}

.

Auch hier wird ersichtlich; die Abfolge der Drehungen ist nicht beliebig, weil die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist!

Links

Kugelkoordinaten

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 Bei zweidimensionalen Problemen ist das - wie oben - anschaulich und bereitet keine mathematischen Schwierigkeiten.
-[[Datei:Drehungen mit Eulerwinkel.gif|mini|Koordinaten-Transformation (Drehung) mit Eulerwinkeln: Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen.
-<br/>
+<table class="wikitable" style="background-color:white; float: right; margin-right:14px;">
-This is a file from the [https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page Wikimedia Commons].
+<tr><td width="320px">[[Datei:Drehungen mit Eulerwinkel.gif|mini|none|Koordinaten-Transformation (Drehung) mit Eulerwinkeln: Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen.]]
-Euler2.gif: Juansemperederivative work: Xavax [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 CC BY-SA 3.0] or [http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDL] via Wikimedia Commons]]
+<small>
+This is a file from the [https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page Wikimedia Commons].<br/>
+Euler2.gif: Juansemperederivative work: Xavax [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 CC BY-SA 3.0] or [http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDL] via Wikimedia Commons.
+</small>
+</td></tr>
+</table>Bei Drehungen im Raum wird es komplizierter: wir müssen formaler vorgehen.
+Dazu beschrieben  wir - wie in der Animation links - eine Drehung des Körpers durch eine sukzessive Drehung aus seinem Koordinatensystem in der Referenzlage (blau) in sein körperfestes Koordinatensystem (rot).
+Die drei Drehungen heißen Euler-Winkel und die Abfolge der Drehungen ist relevant: der Köper wird durch eine Abfolge von Drehungen um seine jeweiligen '''Körperachsen''' beschrieben!
+In der Luftfahrt heißen die Drehungen Roll-, Nick- und Gierwinkel und gehören zu Drehungen um die ''z<sub>0</sub>-, y<sub>1</sub>-'' und ''x<sub>2</sub>''-Achse.
+Bei jeder Drehung werden die Einheits-Richtungsvektoren
+::<math>\underline{\vec{e}}_i=\left(\begin{array}{c}\vec{e}_{x,i}\\\vec{e}_{y,i}\\\vec{e}_{z,i}\end{array}\right)</math>
+um einen Winkel bezüglich einer Achse gedreht. So wird die erste Drehung des Referenz-Koordinatensystems mit Index "0" um die vertikale (''z-'') Achse gedreht - die Transformationsbeziehung lautet
+::<math>\underline{\vec{e}}_1=\underline{\underline{D}}_3(\varphi)\cdot \underline{\vec{e}}_0</math>.
+Die Lage der Koordinatenachsen für diese beiden Koordinatensysteme sehen sie hier:
+[[Datei:Euler2a-step-1+.png|links|mini|250px|Koordinaten zur Euler-Transformation]]
+Die Transformations-Matrix
+::<math>\underline{\underline{D}}_3(\varphi)</math>
+heißt Drehmatrix. Sie dreht das (blaue) Koordinatensystem um den Winkel φ bezüglich der z- (3-) Achse und ist
+::<math>\displaystyle \underline{\underline{D}}_3(\varphi)  =\left(\begin{array}{ccc}\;\;\;\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\-\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\0&0&1\end{array}\right)</math>.
+Eine Abfolge von von Drehungen um die um die z0-, y1- und x2-Achse wie in der Animation oben erfassen wir dann also durch
+::<math>\underline{\vec{e}}_1=\underline{\underline{D}}_1(\varphi_1)\cdot \underline{\underline{D}}_2(\varphi_2)\cdot \underline{\underline{D}}_3(\varphi_3)\cdot \underline{\vec{e}}_0</math>.
+ Auch hier wird ersichtlich; die Abfolge der Drehungen ist nicht beliebig, weil die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist!
+'''Links'''
+# [[Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten|Kugelkoordinaten]]

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