Gelöste Aufgaben/TC12

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Lageplan

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Parameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
   $E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}$ berschrieben wird.
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

📑 toggle code

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-08                            */
/* ref: TM-C, Labor 1                                  */
/* description: analytic solution for EBB with         */
/*              two sections                           */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

$\begin{array}{ll}{{E}{I}}_2& =2\cdot {{E}{I}}_1\\ {\ell }_2& =\frac{{\ell }_1}{2}\\ r& =\frac{{\ell }_1}{4}\\ M_B& =q_0\cdot {\ell }_1^2\\ k_B& =\frac{3\cdot {{E}{I}}_1}{{\ell }_1^3}\\ w_{max}& =90\text{mm}\end{array}$.

Weitere brauchen nicht.

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/* parameter */
params : [EI[2]= 2*EI[1],
          l[2] = l[1]/2,
          r=l[1]/4,
          M[B] = q[0]*l[1]^2,
          k[B] = 3*EI[1]/l[1]^3];

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}\text{ mit }q(x_i)=q_0\cdot {\varphi }_0(\xi )+q_1\cdot {\varphi }_1(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

$\begin{array}{l}{w}_1\left(x\right):=\frac{24\cdot C_{1,0}+24\cdot C_{1,1}\cdot x+12\cdot C_{1,2}\cdot x^2+4\cdot C_{1,3}\cdot x^3+q_0\cdot x^4}{24\cdot {{E}{I}}_1}\\ {\varphi }_1\left(x\right):=\frac{24\cdot C_{1,1}+24\cdot C_{1,2}\cdot x+12\cdot C_{1,3}\cdot x^2+4\cdot q_0\cdot x^3}{24\cdot {{E}{I}}_1}\\ M_1\left(x\right):=-\frac{24\cdot C_{1,2}+24\cdot C_{1,3}\cdot x+12\cdot q_0\cdot x^2}{24}\\ Q_1\left(x\right):=-\frac{24\cdot C_{1,3}+24\cdot q_0\cdot x}{24}\end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l}{w}_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,0}+120\cdot l_2\cdot C_{2,1}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x^2+20\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^3}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ {\varphi }_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,1}+120\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^2}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ M_2\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,2}+120\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x}{120\cdot l_2}\\ Q_2\left(x\right):=-C_{2,3}\end{array}$.

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/* solve partial differential equation ....*/
dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0];

/* generic solution */
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3]           ],
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  ]];

/* section I */
define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));

/* section II */
define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));

Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen $w_1(0)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $M_A=0\text{ mit }{M}_A=-E{I}_1\cdot w^{″}(x){|}_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_1({\ell }_1)=w_2({\ell }_1)$ ${\varphi }_1({\ell }_1)={\varphi }_2({\ell }_1)$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}-M_{B0}+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-k_B\cdot w_B+-Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen $w_C=r\cdot {\mathrm{\Phi }}_C\text{ mit }{\mathrm{\Phi }}_C=-{\varphi }_2(l_2)$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $r\cdot Q_C+M_C=0$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

$\begin{array}{rl}\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}& =0\\ -C_{1,2}& =0\\ \frac{l_1^3\cdot C_{1,3}}{6\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{l_1^2\cdot C_{1,2}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{l_1\cdot C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,0}}{{{E}{I}}_1}+\frac{q_0\cdot l_1^4}{24\cdot {{E}{I}}_1}& =\frac{C_{2,0}}{{{E}{I}}_2}\\ \frac{l_1^2\cdot C_{1,3}}{2\cdot {{E}{I}}_1}+\frac{l_1\cdot C_{1,2}}{{{E}{I}}_1}+\frac{C_{1,1}}{{{E}{I}}_1}+\frac{q_0\cdot l_1^3}{6\cdot {{E}{I}}_1}& =\frac{C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}\\ -\frac{C_{2,0}\cdot k_B}{{{E}{I}}_2}-C_{2,3}+C_{1,3}+q_0\cdot l_1& =0\\ -C_{2,2}+l_1\cdot C_{1,3}+C_{1,2}+\frac{q_0\cdot l_1^2}{2}& =M_B\\ -\frac{l_2^2\cdot C_{2,3}\cdot r}{2\cdot {{E}{I}}_2}-\frac{l_2\cdot C_{2,2}\cdot r}{{{E}{I}}_2}-\frac{C_{2,1}\cdot r}{{{E}{I}}_2}& =\frac{l_2^3\cdot C_{2,3}}{6\cdot {{E}{I}}_2}+\frac{l_2^2\cdot C_{2,2}}{2\cdot {{E}{I}}_2}+\frac{l_2\cdot C_{2,1}}{{{E}{I}}_2}+\frac{C_{2,0}}{{{E}{I}}_2}\\ -C_{2,3}\cdot r-l_2\cdot C_{2,3}-C_{2,2}& =0\end{array}$

für die Integrationskonstanten.

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/* boundary conditions */
node[A]: [ w[1](0) = 0,
           M[1](0) = 0];
node[B]: [ w[1](l[1]) = w[2](0),
           Phi[1](l[1]) = Phi[2](0),
          -Q[1](l[1]) -k[B]*w[2](0) +Q[2](0) = 0,
          -M[1](l[1])               +M[2](0) = M[B]];
node[C]: [-Phi[2](l[2])*r = w[2](l[2]),
          r*Q[2](l[2]) +  M[2](l[2]) = 0];
BCs : expand(append(node[A],node[B],node[C]));         
ICs : [C[1,0],C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[2,0],C[2,1],C[2,2],C[2,3]];

Prepare for Solver

Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$

schreiben, also

$\left(\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{{{E}{I}}_1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^3}{6\cdot {{E}{I}}_1}& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1}{{{E}{I}}_1}& \frac{{\ell }_1^2}{2\cdot {{E}{I}}_1}& 0& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& -\frac{k_B}{{{E}{I}}_2}& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& {\ell }_1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{1}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2+r}{{{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^2+2\cdot {\ell }_2\cdot r}{2\cdot {{E}{I}}_2}& -\frac{{\ell }_2^3+3\cdot {\ell }_2^2\cdot r}{6\cdot {{E}{I}}_2}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1& -r-{\ell }_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{C}_{1,0}\\ C_{1,1}\\ C_{1,2}\\ C_{1,3}\\ C_{2,0}\\ C_{2,1}\\ C_{2,2}\\ C_{2,3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -\frac{q_0\cdot {\ell }_1^4}{24\cdot {{E}{I}}_1}\\ -\frac{q_0\cdot {\ell }_1^3}{6\cdot {{E}{I}}_1}\\ -q_0\cdot {\ell }_1\\ M_B-\frac{q_0\cdot {\ell }_1^2}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l}{a}_{1,1}=1/E{I}_1\\ a_{2,3}=-1\\ a_{3,1}=1/E{I}_1\\ a_{3,2}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{3,3}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{3,4}={\ell }_1^3/(6\cdot E{I}_1)\\ a_{3,5}=-1/E{I}_2\\ a_{4,2}=1/E{I}_1\\ a_{4,3}={\ell }_1/E{I}_1\\ a_{4,4}={\ell }_1^2/(2\cdot E{I}_1)\\ a_{4,6}=-1/E{I}_2\\ a_{5,4}=1\\ a_{5,5}=-k_B/E{I}_2\\ a_{5,8}=-1\\ a_{6,3}=1\\ a_{6,4}={\ell }_1\\ a_{6,7}=-1\\ a_{7,5}=-1/E{I}_2\\ a_{7,6}=-(r+{\ell }_2)/E{I}_2\\ a_{7,7}=-(2\cdot {\ell }_2\cdot r+{\ell }_2^2)/(2\cdot E{I}_2)\\ a_{7,8}=-(3\cdot {\ell }_2^2\cdot r+{\ell }_2^3)/(6\cdot E{I}_2)\\ a_{8,7}=-1\\ a_{8,8}=-r-{\ell }_2\\ \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l}{b}_1=0\\ b_2=0\\ b_3=-(q_0\cdot {\ell }_1^4)/(24\cdot E{I}_1)\\ b_4=-(q_0\cdot {\ell }_1^3)/(6\cdot E{I}_1)\\ b_5=-q_0\cdot {\ell }_1\\ b_6=M_B-(q_0\cdot {\ell }_1^2)/2\\ b_7=0\\ b_8=0\end{array}$.

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/* rewrite equations for integration constants IC in matrix form */
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
AA :   submatrix(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);
/* display ... */
print(AA,"*",transpose(ICs),"=",bb)$

/* print coefficients of inhomogenous linear equations */
for i: 1 thru 8 do
   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
for i: 1 thru 8 do
   for j: 1 thru 8 do
      if not AA[i][j] = 0 then
          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$

Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{ll}{C}_{1,0}& =0\\ C_{1,1}& =-\frac{q_0\cdot {\ell }_1^3}{56}\\ C_{1,2}& =0\\ C_{1,3}& =-\frac{q_0\cdot {\ell }_1}{7}\\ C_{2,0}& =0\\ C_{2,1}& =\frac{13\cdot q_0\cdot {\ell }_1^3}{84}\\ C_{2,2}& =-\frac{9\cdot q_0\cdot {\ell }_1^2}{14}\\ C_{2,3}& =\frac{6\cdot q_0\cdot {\ell }_1}{7}\end{array}$.

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/* solving */
D : ratsimp(determinant(AA))$
[ P, L, U] : ratsimp(get_lu_factors(lu_factor(AA)))$
cc : ratsimp(linsolve_by_lu(AA,bb)[1])$
sol : makelist(ICs[i] = cc[i][1],i,1,8)$

Post-Processing

Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die  Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung

$W^{*}=\frac{5{\ell }_1^4\cdot q_0}{384E{I}_1}$

und dem Winkel

${\mathrm{\Phi }}^{*}=\frac{q_0{\ell }_1^3}{24E{I}_1}$

Die Ergebnisse sind dann ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte

$\begin{array}{l}{A}_z=\frac{q_0\cdot {\ell }_1}{7}\\ F_B=0\\ Q_C=-\frac{6\cdot q_0\cdot {\ell }_1}{7}\\ M_C=\frac{3\cdot q_0\cdot l_1^2}{14}\end{array}$.

Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus

$W^{*}\stackrel{!}{=}10\text{mm}$.

Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung

${\mathrm{\Phi }}_I(x_I^{*})\stackrel{!}{=}0$ zu $x_I^{*}\simeq 0.67\cdot {\ell }_1$.

Hier ist

$W^{*}\simeq \frac{0.01073\cdot q_0\cdot {\ell }_1^4}{{E}{{I}}_{{1}}}$

und damit ist das erforderliche Flächenmoment

$I_1^{*}\simeq 53646{\text{ mm}}^4$ und damit $h^{*}\simeq 28\text{mm}.$.

📑 toggle code

/* plot displacements */
fcts : [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
        [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
        [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
        [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
fcts : subst(params,subst(sol,fcts));
facts: [384*EI[1]/(5*l[1]^4*q[0]),24*EI[1]/(l[1]^3*q[0]),1/(l[1]^2*q[0]),1/(l[1]^1*q[0])];

textlabels : [" w(x)/W*) →", "w'(x)/Φ* →", "M(x)/M[B] →", "Q(x)/(q[0] l[1]) →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(params,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
  f1 : f[1],  f2 : f[2],
  toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
            if xi < 1 then 0 else f2],
  yRange : if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(params,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, yRange],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
              F[B] = k[B]*w[2](0),
              Q[C] = Q[2](l[2]),
              M[C] = M[2](l[2])];

print(ratsimp(expand(subst(params,subst(sol, reactForces)))));

/****************************************/
/* required cross sectional properties: */
max: ratsimp(solve(subst(params,subst(sol,Phi[1](x)))=0,x)[3]);
W : float(ratsimp(subst(params,subst(sol,subst(max,w[1](x))))));
 
post: solve(subst([EI[1] = E*I[1], E=2*10^11*N/(1000*mm)^2, l[1]=1000*mm, q[0]=10*N/mm],-W=90*mm),I[1]);
solve(subst(post,h*h^3/12 = I[1]),h)[4];

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Links

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Literature

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