Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. April 2021, 06:53 Uhr

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$ berschrieben wird.
Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2018-02-08                            */
/* ref: TM-C, Labor 1                                  */
/* description: analytic solution for EBB with         */
/*              two sections                           */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

\begin{array}{ll} {E I}_{2} & = 2 \cdot {E I}_{1} \\ ℓ_{2} & = \frac{ℓ_{1}}{2} \\ r & = \frac{ℓ_{1}}{4} \\ M_{B} & = q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2} \\ k_{B} & = \frac{3 \cdot {E I}_{1}}{ℓ_{1}^{3}} \\ w_{m a x} & = 90 mm \end{array}

.

Weitere brauchen nicht.

/* parameter */
params : [EI[2]= 2*EI[1],
          l[2] = l[1]/2,
          r=l[1]/4,
          M[B] = q[0]*l[1]^2,
          k[B] = 3*EI[1]/l[1]^3];

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2} mit q (x_{i}) = q_{0} \cdot ϕ_{0} (ξ) + q_{1} \cdot ϕ_{1} (ξ)

,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

\begin{array}{l} w_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 0} + 24 \cdot C_{1, 1} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 2} \cdot x^{2} + 4 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{3} + q_{0} \cdot x^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ ϕ_{1} (x) : = \frac{24 \cdot C_{1, 1} + 24 \cdot C_{1, 2} \cdot x + 12 \cdot C_{1, 3} \cdot x^{2} + 4 \cdot q_{0} \cdot x^{3}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ M_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 2} + 24 \cdot C_{1, 3} \cdot x + 12 \cdot q_{0} \cdot x^{2}}{24} \\ Q_{1} (x) : = - \frac{24 \cdot C_{1, 3} + 24 \cdot q_{0} \cdot x}{24} \end{array}

... für Bereich II:

\begin{array}{l} w_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 0} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{3}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ ϕ_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{2}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ M_{2} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x}{120 \cdot l_{2}} \\ Q_{2} (x) : = - C_{2, 3} \end{array}

.

/* solve partial differential equation ....*/
dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0];

/* generic solution */
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3]           ],
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  ]];

/* section I */
define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));

/* section II */
define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));

Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $M_{A} = 0 mit M_{A} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B 0} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $w_{C} = r \cdot Φ_{C} mit Φ_{C} = - ϕ_{2} (l_{2})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $r \cdot Q_{C} + M_{C} = 0$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

\begin{aligned} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} & = 0 \\ - C_{1, 2} & = 0 \\ \frac{l_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} & = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{l_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{l_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} - C_{2, 3} + C_{1, 3} + q_{0} \cdot l_{1} & = 0 \\ - C_{2, 2} + l_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} + \frac{q_{0} \cdot l_{1}^{2}}{2} & = M_{B} \\ - \frac{l_{2}^{2} \cdot C_{2, 3} \cdot r}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot r}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 1} \cdot r}{{E I}_{2}} & = \frac{l_{2}^{3} \cdot C_{2, 3}}{6 \cdot {E I}_{2}} + \frac{l_{2}^{2} \cdot C_{2, 2}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{l_{2} \cdot C_{2, 1}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ - C_{2, 3} \cdot r - l_{2} \cdot C_{2, 3} - C_{2, 2} & = 0 \end{aligned}

für die Integrationskonstanten.

/* boundary conditions */
node[A]: [ w[1](0) = 0,
           M[1](0) = 0];
node[B]: [ w[1](l[1]) = w[2](0),
           Phi[1](l[1]) = Phi[2](0),
          -Q[1](l[1]) -k[B]*w[2](0) +Q[2](0) = 0,
          -M[1](l[1])               +M[2](0) = M[B]];
node[C]: [-Phi[2](l[2])*r = w[2](l[2]),
          r*Q[2](l[2]) +  M[2](l[2]) = 0];
BCs : expand(append(node[A],node[B],node[C]));         
ICs : [C[1,0],C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[2,0],C[2,1],C[2,2],C[2,3]];

Prepare for Solver

Das Gleichungssystem wollen wir als

\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}

schreiben, also

(\begin{matrix} \frac{1}{{E I}_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{k_{B}}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & ℓ_{1} & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2} + r}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{2} + 2 \cdot ℓ_{2} \cdot r}{2 \cdot {E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{3} + 3 \cdot ℓ_{2}^{2} \cdot r}{6 \cdot {E I}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & - r - ℓ_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} C_{1, 0} \\ C_{1, 1} \\ C_{1, 2} \\ C_{1, 3} \\ C_{2, 0} \\ C_{2, 1} \\ C_{2, 2} \\ C_{2, 3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{4}}{24 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} \\ - q_{0} \cdot ℓ_{1} \\ M_{B} - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

.

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

\begin{array}{l} a_{1, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{2, 3} = - 1 \\ a_{3, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{3, 2} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{3, 3} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 4} = ℓ_{1}^{3} / (6 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{4, 2} = 1 / E I_{1} \\ a_{4, 3} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{4, 4} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{4, 6} = - 1 / E I_{2} \\ a_{5, 4} = 1 \\ a_{5, 5} = - k_{B} / E I_{2} \\ a_{5, 8} = - 1 \\ a_{6, 3} = 1 \\ a_{6, 4} = ℓ_{1} \\ a_{6, 7} = - 1 \\ a_{7, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{7, 6} = - (r + ℓ_{2}) / E I_{2} \\ a_{7, 7} = - (2 \cdot ℓ_{2} \cdot r + ℓ_{2}^{2}) / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{7, 8} = - (3 \cdot ℓ_{2}^{2} \cdot r + ℓ_{2}^{3}) / (6 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 7} = - 1 \\ a_{8, 8} = - r - ℓ_{2} \end{array}

und für die rechte Seite

\begin{array}{l} b_{1} = 0 \\ b_{2} = 0 \\ b_{3} = - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{4}) / (24 \cdot E I_{1}) \\ b_{4} = - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}) / (6 \cdot E I_{1}) \\ b_{5} = - q_{0} \cdot ℓ_{1} \\ b_{6} = M_{B} - (q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}) / 2 \\ b_{7} = 0 \\ b_{8} = 0 \end{array}

.

/* rewrite equations for integration constants IC in matrix form */
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
AA :   submatrix(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);
/* display ... */
print(AA,"*",transpose(ICs),"=",bb)$

/* print coefficients of inhomogenous linear equations */
for i: 1 thru 8 do
   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
for i: 1 thru 8 do
   for j: 1 thru 8 do
      if not AA[i][j] = 0 then
          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$

Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

\begin{array}{ll} C_{1, 0} & = 0 \\ C_{1, 1} & = - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{56} \\ C_{1, 2} & = 0 \\ C_{1, 3} & = - \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \\ C_{2, 0} & = 0 \\ C_{2, 1} & = \frac{13 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}^{3}}{84} \\ C_{2, 2} & = - \frac{9 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}^{2}}{14} \\ C_{2, 3} & = \frac{6 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \end{array}

.

/* solving */
D : ratsimp(determinant(AA))$
[ P, L, U] : ratsimp(get_lu_factors(lu_factor(AA)))$
cc : ratsimp(linsolve_by_lu(AA,bb)[1])$
sol : makelist(ICs[i] = cc[i][1],i,1,8)$

Post-Processing

Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung

W^{*} = \frac{5 ℓ_{1}^{4} \cdot q_{0}}{384 E I_{1}}

und dem Winkel

Φ^{*} = \frac{q_{0} ℓ_{1}^{3}}{24 E I_{1}}

Die Ergebnisse sind dann ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte

\begin{array}{l} A_{z} = \frac{q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \\ F_{B} = 0 \\ Q_{C} = - \frac{6 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}}{7} \\ M_{C} = \frac{3 \cdot q_{0} \cdot l_{1}^{2}}{14} \end{array}

.

Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus

W^{*} \overset{!}{=} 10 mm

.

Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung

Φ_{I} (x_{I}^{*}) \overset{!}{=} 0

zu

x_{I}^{*} ≃ 0.67 \cdot ℓ_{1}

.

Hier ist

W^{*} ≃ \frac{0.01073 \cdot q_{0} \cdot ℓ_{1}^{4}}{E I_{1}}

und damit ist das erforderliche Flächenmoment

I_{1}^{*} ≃ 53646 {mm}^{4}

und damit

h^{*} ≃ 28 mm .

.

/* plot displacements */
fcts : [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
        [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
        [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
        [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
fcts : subst(params,subst(sol,fcts));
facts: [384*EI[1]/(5*l[1]^4*q[0]),24*EI[1]/(l[1]^3*q[0]),1/(l[1]^2*q[0]),1/(l[1]^1*q[0])];

textlabels : [" w(x)/W*) →", "w'(x)/Φ* →", "M(x)/M[B] →", "Q(x)/(q[0] l[1]) →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(params,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
  f1 : f[1],  f2 : f[2],
  toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
            if xi < 1 then 0 else f2],
  yRange : if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(params,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, yRange],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
              F[B] = k[B]*w[2](0),
              Q[C] = Q[2](l[2]),
              M[C] = M[2](l[2])];

print(ratsimp(expand(subst(params,subst(sol, reactForces)))));

/****************************************/
/* required cross sectional properties: */
max: ratsimp(solve(subst(params,subst(sol,Phi[1](x)))=0,x)[3]);
W : float(ratsimp(subst(params,subst(sol,subst(max,w[1](x))))));
 
post: solve(subst([EI[1] = E*I[1], E=2*10^11*N/(1000*mm)^2, l[1]=1000*mm, q[0]=10*N/mm],-W=90*mm),I[1]);
solve(subst(post,h*h^3/12 = I[1]),h)[4];

Links

...

Literature

...

Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. April 2021, 06:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

Boundary Conditions

Aus Rand "A"

Aus Übergang "B"

Aus Rand "C"

Prepare for Solver

Solving

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte

Navigationsmenü

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:
-# zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in ''AB'' und ''BC'' durch eine Streckenlast ''q'' belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
+<ol>
-<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\}</math> berschrieben wird.
+<li>zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in ''AB'' und ''BC'' durch eine Streckenlast ''q'' belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung<br/>
-# Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten ''A, B, C''
+<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\}</math> berschrieben wird.</li>
+<li>Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten ''A, B, C''</li>
+</ol>
 Wir verwenden ''x<sub>i</sub>'' und ''ξ<sub>i</sub>'' als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:
-==tmp==
+<table class="wikitable" style="background-color:white;">
+<tr><th>Rand<br/>A</th><th>Bereich I</th><th>Übergang<br/>B</th><th>Bereich II</th><th>Rand<br/>C</th></tr>
+<tr><td></td><td>[[Datei:TC12-11AB.png|rahmenlos|alternativtext=|250x250px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11BC.png|rahmenlos|alternativtext=|150x150px]]</td><td></td></tr>
+<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|77x77px|rahmenlos|alternativtext=]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|100x100px]]</td><td></td><td>[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|116x116px]]<br/>
+[[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos|alternativtext=|116x116px]]
+</td></tr>
+</table>
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+Weitere brauchen nicht.
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-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam
-|text=Text
+|text=
+In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung
+::<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,
+die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.
+So gilt für Bereich II: ''q<sub>0</sub> = 0''.
+Die allgemeine Lösung ist mit
+... für Bereich I:
+::<math>\begin{array}{l} {{w}_{1}}\left( x\right) := \frac{24\cdot {{C}_{1,0}}+24\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+{{q}_{0}}\cdot {{x}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}   \\ {{\phi}_{1}}\left( x\right) := \frac{24\cdot {{C}_{1,1}}+24\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{3}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{M}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{24\cdot {{C}_{1,2}}+24\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+12\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{2}}}{24}\\ {{Q}_{1}}\left( x\right) := -\frac{24\cdot {{C}_{1,3}}+24\cdot {{q}_{0}}\cdot x}{24}\end{array}</math>
+... für Bereich II:
+::<math>\begin{array}{l} {{w}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{M}_{2}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}\\ {{Q}_{2}}\left( x\right) :=-{{C}_{2,3}} \end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* solve partial differential equation ....*/
+dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0];
+/* generic solution */
+displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
+sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3]           ],
+           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  ]];
+/* section I */
+define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
+define(Phi[1](x),  diff(w[1](x),x  ));
+define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
+define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));
+/* section II */
+define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
+define(Phi[2](x),  diff(w[2](x),x  ));
+define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
+define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
-|text=Text
+|text=Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten
+::<math>\left[ C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]</math>
+suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.
+Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten ''A, B, C'' und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.
+====Aus Rand "A"====
+<table class="wikitable" style="background-color:white;">
+<tr><td>[[Datei:TC12-11A.png|rahmenlos|alternativtext=|90x90px]]
+</td><td>''Geometrische Randbedingungen''
+# <math>w_1(0)=0</math>
+''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
+#<math>M_{A} = 0 \text{ mit } M_{A} = - EI_1\cdot w''(x)|_{x=0}</math>
+</td></tr>
+</table>
+====Aus Übergang "B"====
+<table class="wikitable" style="background-color:white;">
+<tr><td>[[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos|alternativtext=|120x120px]]
+</td><td>''Geometrische Randbedingungen''
+# <math>w_1(\ell_1)=w_2(\ell_1)</math>
+# <math>\phi_1(\ell_1) = \phi_2(\ell_1)</math>
+''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
+#<math>-M_{B,-} - M_{B0} + M_{B,+} = 0</math>
+#<math>-Q_{B,-}-k_B\cdot w_B + -Q_{B,+} = 0</math>
+</td></tr>
+</table>
+====Aus Rand "C"====
+<table class="wikitable" style="background-color:white;">
+<tr><td>[[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos|alternativtext=|150px]]<br/>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos|alternativtext=|130px]]
+</td><td>''Geometrische Randbedingungen''
+#<math>w_C = r\cdot\Phi_C \text{ mit } \Phi_C = - \phi_2(l_2)</math>
+''Kraft- und Momenten-Randbedingungen''
+#<math>r\cdot Q_{C} + M_C = 0</math>
+</td></tr>
+</table>
+Einsetzen liefert 8 Gleichungen
+::<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}&=0\\ \displaystyle  -{{C}_{1,2}}&=0\\ \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  \frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  -\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\\ \displaystyle  -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}&={{M}_{B}}\\ \displaystyle  -\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,1}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}&=\displaystyle\frac{{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \displaystyle  -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0 \end{array}
+</math>
+für die Integrationskonstanten.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* boundary conditions */
+node[A]: [ w[1](0) = 0,
+           M[1](0) = 0];
+node[B]: [ w[1](l[1]) = w[2](0),
+           Phi[1](l[1]) = Phi[2](0),
+          -Q[1](l[1]) -k[B]*w[2](0) +Q[2](0) = 0,
+          -M[1](l[1])               +M[2](0) = M[B]];
+node[C]: [-Phi[2](l[2])*r = w[2](l[2]),
+          r*Q[2](l[2]) +  M[2](l[2]) = 0];
+BCs : expand(append(node[A],node[B],node[C]));
+ICs : [C[1,0],C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[2,0],C[2,1],C[2,2],C[2,3]];
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
-|text=Text
+|text=
+Das Gleichungssystem wollen wir als
+::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
+schreiben, also
+::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{{{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & {{\ell}_{1}} & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}}+r}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{2}}+2\cdot {{\ell}_{2}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}+3\cdot {{\ell}_{2}^{2}}\cdot r}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -r-{{\ell}_{2}}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{{C}_{1,0}}\\ {{C}_{1,1}}\\ {{C}_{1,2}}\\ {{C}_{1,3}}\\ {{C}_{2,0}}\\ {{C}_{2,1}}\\ {{C}_{2,2}}\\ {{C}_{2,3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}\\ {{M}_{B}}-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{2}}}{2}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>.
+Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix
+::<math>\begin{array}{l} a_{1,1} = 1/EI_{1}\\ a_{2,3} = -1\\ a_{3,1} = 1/EI_{1}\\ a_{3,2} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{3,3} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{3,4} = \ell_{1}^3/(6\cdot EI_{1})\\ a_{3,5} = -1/EI_{2}\\ a_{4,2} = 1/EI_{1}\\ a_{4,3} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{4,4} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{4,6} = -1/EI_{2}\\ a_{5,4} = 1\\ a_{5,5} = -k_B/EI_{2}\\ a_{5,8} = -1\\ a_{6,3} = 1\\ a_{6,4} = \ell_{1}\\ a_{6,7} = -1\\ a_{7,5} = -1/EI_{2}\\ a_{7,6} = -(r+\ell_{2})/EI_{2}\\ a_{7,7} = -(2\cdot \ell_{2}\cdot r+\ell_{2}^2)/(2\cdot EI_{2})\\ a_{7,8} = -(3\cdot \ell_{2}^2\cdot r+\ell_{2}^3)/(6\cdot EI_{2})\\ a_{8,7} = -1\\ a_{8,8} = -r-\ell_{2}\\ \end{array}</math>
+und für die rechte Seite
+::<math>\begin{array}{l} b_{1} = 0\\ b_{2} = 0\\ b_{3} = -(q_0\cdot\ell_{1}^4)/(24\cdot EI_{1})\\ b_{4} = -(q_0\cdot\ell_{1}^3)/(6\cdot EI_{1})\\ b_{5} = -q_0\cdot\ell_{1}\\ b_{6} = M_B-(q_0\cdot\ell_{1}^2)/2\\ b_{7} = 0\\ b_{8} = 0 \end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* rewrite equations for integration constants IC in matrix form */
+ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
+AA :   submatrix(ACM,9);
+bb : - col(ACM,9);
+/* display ... */
+print(AA,"*",transpose(ICs),"=",bb)$
+/* print coefficients of inhomogenous linear equations */
+for i: 1 thru 8 do
+   print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
+for i: 1 thru 8 do
+   for j: 1 thru 8 do
+      if not AA[i][j] = 0 then
+          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Solving
-|text=Text
+|text=
+Das Lösen des Gleichungssystems liefert
+::<math>\begin{array}{ll} \displaystyle {{C}_{1,0}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{1,1}}&\displaystyle =-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{56}\\ \displaystyle {{C}_{1,2}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{1,3}}&\displaystyle =-\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{C}_{2,0}}&\displaystyle =0\\ \displaystyle {{C}_{2,1}}&\displaystyle =\frac{13\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}{84}\\ \displaystyle {{C}_{2,2}}&\displaystyle =-\frac{9\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{2}}}{14}\\ \displaystyle {{C}_{2,3}}&\displaystyle =\frac{6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7} \end{array}</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* solving */
+D : ratsimp(determinant(AA))$
+[ P, L, U] : ratsimp(get_lu_factors(lu_factor(AA)))$
+cc : ratsimp(linsolve_by_lu(AA,bb)[1])$
+sol : makelist(ICs[i] = cc[i][1],i,1,8)$
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Post-Processing
-|text=Text
+|text=
+Zum Auftragen der Ergebnisse nutzen wir die  Standard-Lösungen - Lastfall 3 mit der maximalen Auslenkung
+::<math>W^* = \displaystyle \frac{5\;\ell_1^4\cdot q_0}{384 \; EI_1}</math>
+und dem Winkel
+::<math>\displaystyle \Phi^* = \frac{q_0\;\ell_1^3}{24\;EI_1}</math>
+Die Ergebnisse sind dann ...
+==== ... für w(x): ====
+[[Datei:TC12-21.png|mini|Biegelinie ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]
+==== ... für ''Φ(x)'': ====
+[[Datei:TC12-22.png|mini|Kippung ''w'(x)''|alternativtext=|ohne]]
+==== ... für M(x): ====
+[[Datei:TC12-23.png|mini|Biegemoment M(x)|alternativtext=|ohne]]
+==== ... für Q(x): ====
+[[Datei:TC12-24.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]
+==== ... für die Lager-Reaktionskräfte ====
+::<math>\begin{array}{l}\displaystyle {{A}_{z}}=\frac{{{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{F}_{B}}=0\\ \displaystyle {{Q}_{C}}=-\frac{6\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}}}{7}\\ \displaystyle {{M}_{C}}=\frac{3\cdot {{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{14}\end{array}</math>.
+Die Querschnitts-Parameter für Sektion 1 erhalten wir aus
+::<math>W^* \stackrel{!}{=} 10\text{mm}</math>.
+Die maximale Auslenkung kommt für Sektion I aus der Bedingung
+::<math>\Phi_I(x_I^*) \stackrel{!}{=} 0</math> zu <math>x_I^*\simeq 0.67\cdot\ell_1</math>.
+Hier ist
+::<math>\displaystyle W^* \simeq \frac{0.01073\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{1}^{4}}}{{{\mathit{E\;I_{1}}}}}</math>
+und damit ist das erforderliche Flächenmoment
+::<math>\displaystyle {{I}_{1}^*} \simeq 53646\text{ mm}^4</math> und damit <math>h^* \simeq 28\text{mm}.</math>.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* plot displacements */
+fcts : [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
+        [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
+        [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
+        [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
+fcts : subst(params,subst(sol,fcts));
+facts: [384*EI[1]/(5*l[1]^4*q[0]),24*EI[1]/(l[1]^3*q[0]),1/(l[1]^2*q[0]),1/(l[1]^1*q[0])];
+textlabels : [" w(x)/W*) →", "w'(x)/Φ* →", "M(x)/M[B] →", "Q(x)/(q[0] l[1]) →"];
+for i: 1 thru 4 do(
+  f : expand(subst(params,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
+                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
+  f1 : f[1],  f2 : f[2],
+  toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
+            if xi < 1 then 0 else f2],
+  yRange : if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
+  plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(params,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
+                             [gnuplot_preamble, yRange],
+                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
+                             [ylabel, textlabels[i]]))$
+/* bearing forces and moments */
+reactForces: [A[z] = Q[1](0),
+              F[B] = k[B]*w[2](0),
+              Q[C] = Q[2](l[2]),
+              M[C] = M[2](l[2])];
+print(ratsimp(expand(subst(params,subst(sol, reactForces)))));
+/****************************************/
+/* required cross sectional properties: */
+max: ratsimp(solve(subst(params,subst(sol,Phi[1](x)))=0,x)[3]);
+W : float(ratsimp(subst(params,subst(sol,subst(max,w[1](x))))));
+post: solve(subst([EI[1] = E*I[1], E=2*10^11*N/(1000*mm)^2, l[1]=1000*mm, q[0]=10*N/mm],-W=90*mm),I[1]);
+solve(subst(post,h*h^3/12 = I[1]),h)[4];
 </syntaxhighlight>
 }}
-<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
-">
-<tr><th></th><th></th></tr>
-<tr><td></td><td></td></tr>
-</table>
 <hr />
@@ Zeile 118: / Zeile 330: @@
 '''Literature'''
 * ...
-[[Datei:TC12-11A.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11AB.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11B.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11C1.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11C2.png|rahmenlos]][[Datei:TC12-11BC.png|rahmenlos]]
-[[Datei:TC12-21.png|mini|Biegelinie ''w(x)'']]
-[[Datei:TC12-23.png|mini|Biegemoment ''M(x)'']]
-[[Datei:TC12-24.png|mini|Querkraft ''Q(x)'']]
-[[Datei:TC12-01.png|mini|Lageplan]]
-[[Datei:TC12-22.png|mini|Kippung ''w'(x)'']]

Gelöste Aufgaben/TC12: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. April 2021, 06:53 Uhr

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

Boundary Conditions

Aus Rand "A"

Aus Übergang "B"

Aus Rand "C"

Prepare for Solver

Solving

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte

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