Gelöste Aufgaben/Tzul

Aufgabenstellung

Hier spielt das Prinzip der virtuellen Verrückungen seine Stärke voll aus:

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Auf der skizzierten Scherenbühne mit Stablänge ℓ steht eine Masse m.

Berechnen Sie die Kraft F als Funktion der Höhe h.

Hinweis: diese Aufgabe lässt sich gut mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit unter Verwendung der Koordinate u lösen.

Gegeben: ℓ, m, g

Lösung mit Maxima

Die Kinematik, also den Zusammenhang zwischen u und h erhalten wir aus dem Satz von Pythagoras:

$u^2+\left(\frac{h}{4}\right)={\ell }^2$.

Daraus kommt:

$u=\frac{\sqrt{16\cdot l^2-h^2}}{4}$ und,

${\delta }{u}=-\frac{h\cdot {\delta }{h}}{4\cdot \sqrt{16\cdot {\ell }^2-h^2}}$.

Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet die Gleichgewichtsbedingung:

$\begin{array}{ll}\delta W& =-F\cdot \delta u-G\cdot \delta h;\\ & \stackrel{!}{=}0\end{array}$

Die erforderliche Kraft F ist:

$F=\frac{4\cdot \sqrt{16\cdot {\ell }^2-h^2}\cdot G}{h}$

Erforderliche Kraft F/G

Auftragen von F über den Scherenwinkel liefert

Implementierung in Maxima

Die Formeln lassen sich leicht in Maxima schrieiben:

📑 toggle code

/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
declare("δh", alphabetic);

/* Principle of virtual Work */
δW : -F*δu - G*δh;

/* kinematics */
kin: solve(u^2+(h/4)^2=l^2,u)[2];
varia: [δu = diff(rhs(kin),h)*δh];

/* solve */
sol: solve(subst(varia,δW)=0,F);

/* plot results */
plot2d(4/tan(phi),[phi,0,%pi/4], [x,0,%pi/4], [y,0,100],
                [ylabel, "F/G ->"], [xlabel, "φ->"]);

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